2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷(十五)文科数学

2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷（十五）
文科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题
1.集合{}
2
60A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则A
B =（ ）
A. ()2,3-
B. (),3-∞
C. ()2,2-
D. ()0,2
【答案】A 【解析】 【分析】
先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.
【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<,
即A
B =()2,3-,
故选:A.
【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题. 2.已知a 是实数，1a i
i
+-是纯虚数，则 a 等于（ ）
A. B. 1-
D. 1
【答案】D 【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：
()()()()()()1111112
a i i a a i
a i i i i ++-+++==--+， 1a i
i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩
，据此可知1a =.
本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.若2sin cos 12x x π⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
，则cos2x =（ ） A. 8
9-
B. 79
-
C.
79
D. 1-
【答案】C 【解析】 【分析】
由诱导公式可得1
sin 3
x =
，由余弦的二倍角公式2cos 212sin x x =-运算即可得解. 【详解】解：因为2sin cos 12x x π⎛⎫
+-=
⎪⎝⎭
， 所以2sin sin 1x x +=，即3sin 1x =，即1
sin 3
x =， 则2
2
17cos 212sin 12()3
9
x x =-=-⨯=
，
故选C.
【点睛】本题考查了诱导公式及余弦的二倍角公式，属基础题. 4.已知{}n a 为等比数列，若32a =，58a =，则7a =（ ） A. 32- B. 32 C. 14
D. 32或32-
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质：若2m n k +=，则2
m n k a a a =，将已知条件代入运算即可得解. 【详解】解：因为{}n a 为等比数列，若32a =，58a =，则2
537()a a a =，
所以257364
322
a a a ===， 故选B.
【点睛】本题考查了等比数列项的求法，重点考查了等比数列的性质，属基础题. 5.点P 是ABC △所在平面上一点，若23
55
AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） A.
3
5
B.
52
C.
32
D.
23
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的线性运算可得32=
BP PC ，即点P 在线段AB 上，且3
2
=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解.
【详解】解：因为点P 是ABC △所在平面上一点，又23
55
AP AB AC =+， 所以
2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即3
2
=BP PC ， 则点P 线段BC 上，且3
2
=BP PC ,
又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1
sin 2
ABP S AP BP APB ∆=∠,
又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且3
2
=
BP PC , :ABP S ∆APC
S ∆1sin :2AP BP APB =∠1
sin 2
AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选C.
【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题. 6.下列说法正确的
个数是（ ）
①命题“若4a b +，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ②命题“设,a b ∈R ，若5a b +≠，则3a ≠或2b ≠”是一个真命题
③“0x R ∃∈，2
000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x ->”
④已知x ，y 都是实数，“x y >”是“1x y >+”的充分不必要条件 A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
由四种命题的关系可得选项A 、B 的真假，由特称命题的否定为全称命题可得选项C 的真假，由充分必要条件可得选项D 的真假.
【详解】解：对于①，命题“若4a b +，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题为“若
a ，
b 中至少有一个不小于2，则4a b +”，此命题为假命题，即①错误；
对于②，命题“设,a b ∈R ，若5a b +≠，则3a ≠或2b ≠”的逆否命题为“若3a =且
2b =，则5a b +=”，可得此命题为真命题，即原命题为真命题，即②正确，
对于③，“0x R ∃∈，2
000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x -≥”，即③错误，
对于④，已知x ，y 都是实数，“x y >”不能推出“1x y >+”，即“x y >”不是“1x y >+”的充分不必要条件，即④错误， 综上可得：说法正确的个数是1个， 故选A.
【点睛】本题考查了命题的真假及充要条件，重点考查了简易逻辑，属基础题.
7.下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A. 2||y x x =-
B. ||2x y =
C. 22x
x
y -=-
D.
212
log ||y x x =-
【答案】D 【解析】 【分析】
由偶函数的判断依据为()()f x f x =-，先判断各选项的奇偶性，再判断函数在()0,∞+的增减性，再利用函数的奇偶性判断函数在(),0-∞的增减性即可.
【详解】解：对于选项A, ()||f x x x =-2
，则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0
x >时，2211()()24f x x x x =-=--，则函数()||f x x x =-2
在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
为增
函数，由函数为偶函数，可得函数()||f x x x =-2
在(),0-∞不为增函数，即选项A 不合题意；
对于选项B, ||
()2x f x =，则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，()2x f x =，
则函数||
()2x f x =在()0,∞+为增函数，由函数为偶函数，可得函数||
()2x f x =在(),0-∞为
减函数，即选项B 不合题意；
对于选项C, ()22x x
f x -=-，则()()f x f x =--，即()y f x =为奇函数，即选项C 不合题
意；
对于选项D ，2
12
()log ||f x x x =-,则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，
212
()log f x x x =-，函数212
()log ||f x x x =-在()0,∞+为减函数，由函数为偶函数，可得
函数2
12
()log ||f x x x =-在(),0-∞为增函数，即选项D 符合题意；
故选D.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定及函数单调性的判定，重点考查了函数性质的应用，属中档题.
8.已知定义在R 上的奇函数21()2x x f x a
-=+，则不等式()2
(2)40f x f x -+-<的解集为
A. （-1，6）
B. （-6，1）
C. （-2，3）
D. （-3，2）【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数
的奇偶性定义求出1a=，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解.
【详解】函数
21
()
2
x
x
f x
a
-
=
+
是定义在R上的奇函数
所以
2121
22
x x
x x
a a
-
-
--
=-
++
，化简得1
a=
即
212
()1
2121
x
x x
f x
-
==-
++
且()
f x在R上单调递增
()()
22
(2)404(2)
f x f x f x f x
-+-<⇒-<-
242
x x
∴-<-，解得：32
x
-<<
故选D
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.
9.AOB中，OA a
=，OB b
=，满足2
a b a b
⋅=-=，则a b
+=（）
B. 2
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将向量模的运算转化为向量的平方运算，即
22
4
a b a b a b
+=-+⋅，再将已知条件代入运算即可.
【详解】解：因为
22
4
a b a b a b
+=-+⋅，又2
a b a b
⋅=-=，
所以
22
2
424212
a b a b a b
+=-+⋅=+⨯=，
即a b
+=
【点睛】本题考查了向量模的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
10.已知函数12
2log ,0()log (),0
x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩，则不等式()()f a f a >-的解集是（ ）
A. (1,0)
(0,1)-
B. (,1)(1,)-∞-+∞
C. (1,0)(1,)
D. (,1)(0,1)-∞-
【答案】D 【解析】 【分析】
结合分段函数解析式，分类讨论当0a >时，当0a <时，求解不等式的解集即可.
【详解】解：当0a >时，则0a -<，又()()f a f a >-，则
122
log log [()]a a >--，
即2log 0a <，即01a <<，
当0a <时，则0a ->，又()()f a f a >-，则
212
log ()log ()a a ->-，
即2log ()0a ->，即1a ->，即1a <-，
综上可得不等式()()f a f a >-的解集是(,1)(0,1)-∞-， 故选D.
【点睛】本题考查了与分段函数有关的不等式求解问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
11.已知函数()sin()f x x ω=在区间25,36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A. 30,5
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B. 13,25
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. 15,
22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
求出函数()f x 的含有0的单调增区间和取得最大值时对应的最小正数解，列出不等式组求出
ω的取值范围即可.
【详解】解：由222
2
k x k π
π
πωπ-
≤≤+
，解得
2222k k x π
πππω
ωωω
-
≤≤+， 即函数()f x 的增区间为22,22k k ππππωωωω⎡⎤
-+⎢
⎥⎣⎦
，k Z ∈， 又函数()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上是增函数，则25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,22ππωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
， 则232562π
πωππ
ω
⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ，解得305ω<≤，
令22
x k π
ωπ=+
，则22k x ππ
ωω
=
+，k Z ∈， 因为函数()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则02ππω≤≤，解得1
2
ω≥， 综上可得ω的取值范围是13,25⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
故选B.
【点睛】本题考查了三角函数的单调性及最值问题，重点考查了运算能力，属中档题.
12.已知对任意实数x 都有()(23)()x
f x e x f x '=++，()01f =，若不等式()0f x k -<的
解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A. 21,0e ⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
B. 2311,e e ⎛⎤
-
⎥⎝
⎦ C. 2311,e e ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ D.
21,0e ⎛⎤
- ⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得2
()(31)x
f x x x e =++，利用导数研究其单调性及极值与最值，再画出函数图像观察，再运算即可得解.
【详解】解：令()()x f x g x e =，则''
()()()23x
f x f x
g x x e -==+，
可设2
()3g x x x c =++，
因为(0)(0)g f c ==，又()01f =，则1c =， 所以2
()(31)x
f x x x e =++，
所以'
2
()(54)(1)(4)x
x
f x x x e x x e =++=++，
则函数在(),4-∞-，()1,-+∞为增函数，在()4,1--为减函数，则当4x =-时，函数取极大值，当1x =-时，函数取极小值，又()01f =，()110f e
-=-
< ，()21
20f e -=-<，
()3130f e -=
>，即21
0k e
-<≤时，不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数1,2--，故实数k 的取值范围是21,0e ⎛⎤
- ⎥⎝⎦
， 故选D.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值与最值，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 二、填空题
13.已知实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪
+⎨⎪⎩
则3z x y =+的最小值为___________.
【答案】5- 【解析】 【分析】
先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可.
【详解】解：由实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪
+⎨⎪⎩
，作出可行域如图所示，联立
20
30
x y x y +=⎧⎨
-+=⎩，解得(2,1)A -，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点(2,1)A -时，目标函数取最小值，即当2,1x y =-=时，目标函数z 取最小值3(2)15⨯-+=-，
故答案为5-.
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
14.函数
221
x
x y =+的值域为 ．
【答案】
【解析】
∵221x x y =+，∴201x
y y =>-，即(1)0y y -<，解得0<y<1，即函数221
x x y =+的值域为
15.非零向量a 和b 满足2a b =，()
a a
b ⊥+，则a 与b 的夹角为___________. 【答案】
23
π
【解析】 【分析】
先由向量的数量积运算可得2
a b a ⋅=-，再利用向量的夹角公式cos a b
a b
θ⋅=，再将已知条
件代入运算即可得解.
【详解】解：由非零向量a 和b 满足()
a a
b ⊥+， 则()
2
0a a b a a b ⋅+=+⋅=，即2
a b a ⋅=-，
设a 与b 的夹角为θ，则2
cos a
a b a b a b
θ-⋅=
=
，
又 2a b =，则2cos a
a b
θ-=
=
22
12
2a a
-=-，
又[]0,θπ∈， 所以23πθ=， 故答案为
23
π
.
【点睛】本题考查了向量的数量积公式及向量的夹角公式，重点考查了运算能力，属中档题.
16.已知函数()1ln ,111
,12
2x x f x x x +≥⎧⎪
=⎨+<⎪⎩,若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是________.
【答案】[32ln 2,)-+∞ 【解析】 【分析】
首先可根据题意得出12x x 、不可能同时大于1，然后令121x x ，根据12
2f x f x 即
可得出1
22212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g x
x x x 以及对函数
12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。

【详解】
根据题意以及函数图像可知，12x x 、不可能同时大于1， 因为12x x ≠，所以可以令121x x ，即311
21222ln f x f x x x ，
因为122f x f x ，所以11
1222
ln x x ，1212ln x x =-，1
22212ln x x x x ，
构造函数12ln 1g x x x x ，则21
x
g x
，
令0g x ，则2
10x ，即2x >； 令0g x ，则210x ，即2x =； 令0g x
，则21
0x
，即12x <<；
所以()g x 在1,2上单调递减，在2x =处取得极小值，在2,上单调递增，
所以min
232ln 2g x
g ，32ln 2g x
，12
32ln 2x x ，
故答案为[32ln 2,)-+∞。

【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质、函数值与自变量之间的联系以及导数的相关性质，能否通过题意构造出函数12ln 1g x x x x 是解决本题
的关键，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题。

三、解答题
17.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，1,2,3n =
（1）证明：113n n a a +--=，2,3n =；
（2）求和：12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+
【答案】（1）证明见解析
（2）293322
n n --
【解析】 【分析】
（1）由递推式135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅，取n 为1n -，两式做差即可得证； （2）由（1）得{}2n a 为公差为3，首项为7的等差数列，再利用等差数列前n 项和公式求解即可.
【详解】解：（1）
135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅①
13(1)5,2,3,4n n a a n n -∴+=-+=⋅⋅⋅②
①－②得113,2,3n n a a n +--==⋅⋅⋅ ， 即命题得证；
（2）12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+-+-+
-
21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+- 2462(3)()n a a a a =-⨯+++⋅⋅⋅+
由（1）得{}2n a 为公差为3的等差数列，又由11a =，128,a a +=解得27a =，
12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+∴-+-+-
2(1)933(3)(73)222
n n n n
n -=-⨯+⨯=--
， 故1223344521
2122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+
-+293322
n n
=--
. 【点睛】本题考查了利用数列递推式求解数列的性质，重点考查了等差数列前n 项和公式，属中档题.
18.如图，在ABC △中，M 是边BC 的中点，57cos 14BAM ∠=
，27
cos 7
AMC ∠=-.
（1）求B 的大小； （2）若7AM =ABC △的面积.
【答案】（1）23
π
（23 【解析】 【分析】
（1）由cos cos()B AMC BAM ∠=∠-∠，再结合两角差的余弦公式，将已知条件代入运算即可；
（2）在ABM ∆中，由正弦定理，得sin sin AM BM
B BAM
=∠，求出BM ，再利用2ABC ABM
S S ∆∆=求解即可.
【详解】解：（1）由5721
cos BAM BAM ∠=
∠=
由2721
cos ,sin 77
AMC AMC ∠=-
∠=
又AMC BAM B ∠=∠+∠
cos cos()cos cos sin sin B AMC BAM AMC BAM AMC BAM ∴∠=∠-∠=∠⋅∠+∠⋅∠
=2757212117142
-⋅+⋅=-
因为(0,)B π∈ 故23
B π
=
； （2）在ABM ∆中，由正弦定理，得
sin sin AM BM B BAM =∠sin 1sin AM BAM
BM B
∠∴==∠ 因为M 是边BC 的中点，所以1MC =． 故21
2sin 7137
ABC AMC S S AM MC AMC ∆∆==⋅⋅∠=⋅⋅
=， 故ABC △的面积为3.
【点睛】本题考查了两角差的余弦公式及正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.
19.已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ABCD ⊥底面，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点.
（1）求证：PA MDB ∥平面 （2）求三棱锥P DBM -的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）
1
2
【解析】 【分析】
（1）连结AC ，交BD 于O ，//MO PA ，欲证PA MDB ∥平面，只需证//MO PA 即可，再由题意可证明；
（2）由已知条件可得11
22
P DBM C DMB P CDB P ADB V V V V ----===，再求出P ADB V -的体积即可得解.
【详解】解：（1）连结AC ，交BD 于O ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点 又M 为PC 的中点，//MO PA ，又MO MDB PA MDB ⊂⊄平面，平面
//PA MDB ∴平面
（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD △为正三角形，E 为AD 的中点，由于侧面
PAD ABCD ⊥底面，由面面垂直的性质得PE ABCD ⊥平面，
由,AD PE AD PB ⊥⊥，得AD PEB ⊥平面.60AD EB EAB ︒∴⊥∴∠=， 因为M 为PC 的中点， 所以
1122P DBM C DMB P CDB P ADB V V V V ----===1131
43232
=⨯⨯⨯⨯=，
故三棱锥P DBM -的体积为
1
2
.
【点睛】本题考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求法，重点考查了运算能力，属中档题.
20.已知图22
1:184x y C +=，222:142
x y C +=，斜率为1的
直线l 分别交椭圆1C ，2C 于
,,,A B C D （如图），O 为坐标原点.
（1）证明：||||AB CD =；
（2）若AOB 与BOC 的面积相等，求直线l 的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）212y x =+或21
2
y x =- 【解析】 【分析】
（1）联立直线与椭圆的方程，再结合韦达定理证明AD 的中点的横坐标与BC 的中点的横坐标相等，又它们在同一直线上，即可证明||||AB CD =；
（2）由已知条件可推出3AD BC =，再利用弦长公式得2
21
4
b =
，再代入判断∆进行检验即可得解.
【详解】解：（1）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ， 设直线l 的方程是：y x b =+，
由22
28
y x b x y =+⎧⎨+=⎩，得2234280x bx b ++-=， 由韦达定理，得1443
b x x +=-
， 由22
24
y x b x y =+⎧⎨+=⎩，得2234240x bx b ++-=，
由韦达定理，得231443
b
x x x x +=-
=+， ∴AD 的中点的横坐标与BC 的中点的横坐标相等，又它们在同一直线上 ∴线段AD 与BC 的中点重合，
故AB CD =；
（2）由AOB BOC S S ∆∆=得AB BC =，由（1）知AB BC CD ==，
3AD BC ∴=，
3=，
解得2
214
b =
，而此时222
1612(24)4880b b b ∆=--=->，符合题意，
2
b ∴=
或
故直线l 的方程为2y x =+
或2
y x =-【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，重点考查了弦长公式，属中档题.
21.某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：
他们分别用两种模型①y bx a =+，②bx
y ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
7 30 1464.24 364
（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （Ⅱ）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程； （ⅱ）若广告投入量18x =时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
1
2
1
()()()
n i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-.
【答案】（1）应该选择模型①，理由见解析（2）（ⅰ）38.04y x =+（ⅱ）62.04 【解析】 【分析】
（1）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。

（2）（i ）利用回归直线参数计算方法，分别得到,a b ∧∧
，建立方程，即可。

（ii ）把8x =代入回归方程，计算结果，即可。

【详解】（Ⅰ）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明
模
型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. （Ⅱ）（ⅰ）剔除异常数据，即月份为3的数据后，得
()1
7667.25x =
⨯-=； ()1
30631.829.645
y =⨯-=.
5
1
1464.24631.81273.44i i
i x y
==-⨯=∑；
()
5
2
21
3646328i i x ==-=∑.
5
152
2
1
ˆi i i i i x y nxy b
x nx ==-=-∑∑
1273.4457.229.6432857.27.2-⨯⨯=
-⨯⨯ 206.4
368.8
=
=； 29.6437.28.04ˆˆa
y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为：38.04ˆy
x =+. （ⅱ）把18x =代入回归方程得：3188.046.ˆ204y
=⨯+=， 故预报值约为62.04万元.
【点睛】本道题考查了回归方程的计算方法，难度中等。

22.已知函数sin ()x
f x x
=
，()cos sin g x x x x =⋅- （1）判断函数()g x 在区间()0,3π上零点的个数；
（2）函数()f x 在区间()0,3π上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，证明：()()120f x f x +<. 【答案】（1）两个 （2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）先由原函数求出其导函数，再研究导函数在()0π，，()2ππ，
，(]2,3ππ的符号问题，从而得出函数()g x 在区间()0,3π上的单调性，从而得出函数()g x 在区间()0,3π上零点的个数；
（2）先求出函数sin ()x f x x
=的导函数，再结合（1）的结论及正切函数的性质可得21x x π>+，再结合余弦函数的单调性即可得解.
【详解】解：（1）因为()cos sin g x x x x =⋅-，所以()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=-， 当(]0x π∈，时，sin 0()0x g x '>∴<，
()g x 在0π（，）
上单调递减，()(0)0g x g <=，()g x ∴在(]0π，上无零点； 当(],2x ππ∈时，sin 0()0x g x '<∴>，
()g x 在2ππ（，）
上单调递增，()0,(2)20g g ππππ=-<=>， ()g x ∴在2ππ（，）
上有唯一零点； 当(]2,3x ππ∈时，sin 0()0x g x '>∴<，()g x 在2ππ（，3）
上单调递减， (2)0,(3)0g g ππ><，()g x ∴在(]2,3ππ上有唯一零点，
综上，函数()g x 在区间()0,3π上有两个零点;
（2）因为sin ()x f x x =，所以cos sin ()2
x x x f x x -'=， 由（1）知()f x 在(]0x π∈，无极值点；在(],2x ππ∈有极小值点，即为1x ；
在(]2,3x ππ∈有极大值点，即为2x ，
由cos sin 0,tan n n n n n x x x x x -==，1,2n =,
21211tan tan tan(),x x x x x π>∴>=+
35()0,(
)10,(2)0,()022
g g g g ππππ<=-<><以及tan y x =的单调性, 1235(,),(2,)22x x ππππ∴∈∈, 215,(2,
)2x x πππ+∈，由函数tan y x =在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增, 得21x x π>+， 12121212
sin sin ()()cos cos x x f x f x x x x x ∴+=+=+,
由cos y x =在52,2ππ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
单调递减得211cos cos()cos x x x π<+=-， 即12cos cos 0x x +<，
故12()()0f x f x +<.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数的零点，主要考查了三角函数的单调性，重点考查了运算能力，属综合性较强的题型.。