2021-2022学年福建省福州市莆田第三中学高一数学理模拟试题含解析

2021-2022学年福建省福州市莆田第三中学高一数学理
模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且
f(－x)＝f(x)，则( )
A、单调递减
B、f(x)在在单调递减
C、单调递增
D、f(x)在单调递增
参考答案：
A
2. +2与﹣2两数的等比中项是（）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．
参考答案：
C
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比中项的定义及其性质即可得出．
【解答】解：+2与﹣2两数的等比中项==±1．
故选：C．
【点评】本题考查了等比中项的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17
参考答案：
B
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．
【解答】解：作出不等式组表示的可行域，
如右图中三角形的区域，
作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，
平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．
故选：B．
4. 下列说法正确的是 ( )
A、三点确定一个平面
B、四边形一定是平面图形
C、梯形一定是平面图形
D、两个平面有不在同一条直线上的三个交点
参考答案：
C
5. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）．
A． B．
C． D．
参考答案：
B
略
6. 已知sin θ + cos θ =，θ∈( –，)，则θ的值等于（）
（A）– arccos（B）– arccos（C）– arccos（D）–arccos
参考答案：
D
7. 设角属于第二象限，且，则角属于（）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限参考答案：
C
8. （5分）设min，若函数f（x）=min{3﹣x，log2x}，则f（x）＜的解集为（）
A．（，+∞）B．（0，）∪（，+∞）C．（0，2）∪（，+∞）D．（0，+∞）
参考答案：
B
考点：指、对数不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由题意原不等式等价于或，解不等式组可得答案．
解答：∵min，
∴f（x）=min{3﹣x，log2x}=，
∴f（x）＜等价于或，
解可得x＞，解可得0＜x＜，
故f（x）＜的解集为：（0，）∪（，+∞）
故选：B
点评：本题考查新定义和对数不等式，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．
9. 已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
10. 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（）
A. ，
B. ,
C. ，
D. ，
参考答案：
A
【分析】
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
【详解】．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以，
表示同一个函数．
．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，
所以，不能表示同一个函数．
．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以，
不能表示同一个函数．
．的定义域为，的定义域，两个函数的定义域不相同，对应法则相
同，所以，不能表示同一个函数．
故选：．
【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对
应法则是否相同即可．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域是______________；
参考答案：
略
12. 若，则=
参考答案：
1
13. 若向量，则与夹角的余弦值等于_____
参考答案：
【分析】
利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.
【详解】
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.
14. 已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f （x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为．
参考答案：
2
【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．
【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，
f=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，
点P是该函数图象上一点，
可得21+a=8，解得a=2．
故答案为：2．
15. 已知上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
参考答案：
[1,2)
16. 已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为．
参考答案：
c＜b＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=40.5＞40=1，
0＜b=0.54＜0.50=1，
c=log0.54＜log0.51=0，
∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．
故答案为：c＜b＜a．
17. 已知是第三角限角，化简=
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）如图，在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且与平面成角，与平面成角.
（1）由该棱锥相邻的两个面组成的二面角中，指出所有的直二面角；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）求二面角大小的余弦值.
参考答案：
(1)三个直二面角
(2)由已知得,设则
过C作于H,,
则就是AC与平面ABD所成的角,可得
(3),过B作于F,则,过B在内作于E，连EF，则，则就是二面角的平面角，可求得
略
19. 已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。

(I）求的解析式；
(II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

参考答案：
（I）是二次函数，且的解集是
可设
在区间上的最大值是，由已知，得
(II）方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数。

方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间
内没有实数根，
所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。

20. 已知为单位向量，.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值；
参考答案：
（1）；（2）.
【分析】
（1）利用向量的模的公式求；（2）利用向量的夹角公式求与的夹角
的余弦值.
【详解】由题得；
由题得与的夹角的余弦值为
故答案：（1）；（2）.
【点睛】本题主要考查向量的模和数量积的计算，考查向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21. 设函数f（x）=|f1（x）﹣f2（x）|，其中幂函数f1（x）的图象过点（2，），且函数f2（x）=ax+b（a，b∈R）．
（1）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；
（2）设μ为常数，a为关于x的偶函数y=log4[（）x+μ?2x]（x∈R）的最小值，函数f （x）在[0，4]上的最大值为u（b），求函数u（b）的最小值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，均有|f2（x）|≤1，求代数式（a+1）（b+1）的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数与方程的综合运用；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求出幂函数的解析式以及一次函数的解析式，化简函数f（x），然后求解单调区间．
（2）利用偶函数求出μ，求出最小值a，求出函数的最大值的表达式，然后再求解最大值的表达式的最小值．
（3）利用已知条件，转化求出b的范围，然后通过基本不等式以及函数的最值，通过分类讨论求解即可．
【解答】解：（1）幂函数f1（x）的图象过点（2，），可得，a=．f1（x）=，函数f2（x）=1．
函数f（x）=|﹣1|=，函数的单调增区间为：[1，+∞），单调减区间：[0，1）．
（2）y=log4[（）x+μ?2x]是偶函数，可得log4[（）x+μ?2x]=log4[（）﹣x+μ?2﹣x]，可得μ=1．
∴y=log4[（）x+2x]，（）x+2x≥2，当且仅当x=0，函数取得最小值a=．f1（x）
=，函数f2（x）=+b．函数f（x）=|f1（x）﹣f2（x）|=|﹣b|，x∈[0，4]，
令h（x）=﹣b，x∈[0，4]，h′（x）=，令=0，解得x=1，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0
函数是增函数，当x∈（1，4）时，h′（x）＜0，函数是减函数．
h（x）的极大值为：h（1）=，最小值为h（0）=h（4）=﹣b，
函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b）=，
函数u（b）的最小值：．
（3）对于任意x∈[0，1]，均有|f2（x）|≤1，即对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
当a＞0时，显然b≥1不成立，
①当1＞b≥0时，对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，0≤a≤1，
可得0＜a+b≤1，则（a+1）（b+1）≤≤，此时a=b=．
（a+1）（b+1）∈[1，]．
②b∈[﹣，0），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
转化为：0≤a+b≤1，则（a+1）（b+1）∈[，2），a=1，b=0时（a+1）（b+1）取最大值2．a=，b=﹣
，（a+1）（b+1）取得最小值．
③b∈[﹣1，﹣），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
转化为：x=0，|b|≤1恒成立．﹣1＜a+b≤1，
（a+1）＞0，（b+1）＞0，则（a+1）（b+1）≤，
≤≤，
则（a+1）（b+1）∈[，]，
④当b＜﹣1时，对于任意x∈[0，1]，|ax+b|≤1，不恒成立．
当a=0时，可得|b|≤1，（a+1）（b+1）∈[0，2]．
当a＜0时，如果|b|＞1，对于任意x∈[0，1]，不恒有|ax+b|≤1，
则|b|≤1，当0≤b≤1时，a∈[﹣1，0）对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
a+1∈[0，1），b+1∈[1，2]．（a+1）（b+1）∈[0，2）．
﹣1＜b＜0，可得|a+b|≤1．可得﹣1≤a+b≤1，a+1∈[0，1），b+1∈（0，1）．
（a+1）（b+1）∈（0，1）．
综上：代数式（a+1）（b+1）的取值范围：[0，]．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值，分类讨论以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．
22. 已知函数f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期为π，x∈R，ω＞0是常数．（1）求ω的值；
（2）若f（+）=，θ∈（0，），求sin2θ．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得f（x）=2sin（ωx+），由已知及周期公式即可求ω的值．
（2）由已知及三角函数中的恒等变换应用可得f（+）=2cosθ=，可得cosθ，由θ∈（0，），可得sinθ，sin2θ的值．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），
∵函数f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期为π，
∴T=，解得：ω=2．
（2）∵f（+）=2sin[2（+）+]=2sin（θ+）=2cosθ=，
∴cosθ=，
∵θ∈（0，），
∴sin=，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×=．
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的周期性，属于基本知识的考查．。