2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题三第一讲三角函数的图象与性质

②图象法：画出三角函数的图象.结合图象求其单调区间．
(2)判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点.对称中心一定是函数的零点这一性质.通过检验f(x0)的值进行判断．
(3)三角函数周期的求法
①利用周期定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 .y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝
kπ(k∈Z)解得.对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解得；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝ (k∈Z)解得．
Y
1．忽视定义域
求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时.要注意函数的定义域．
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得 ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ.k∈Z.解得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ.k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是[ ＋kπ. ＋kπ](k∈Z)．
『规律总结』
1．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
G
1．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)在( . )上仅有1个最值.且为最大值.则实数ω的值不可能为( C )
A． B．
C． D．
[解析]依题意.函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝ sin(ωx＋ ).
又函数f(x)在x∈( . )上仅有1个最值.且为最大值.根据三角函数的图象与性质知.2kπ－ < ω＋ <2kπ＋ .k∈Z.且2kπ＋ < ω＋ <2kπ＋ .k∈Z.即为12k－ <ω<12k＋ 且 k＋ <ω< k＋3.k∈Z.
2．重要图象变换顺序
在图象变换过程中.注意分清是先相位变换.还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的.如果x的系数不是1.就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
3．忽视A.ω的符号
在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时.要特别注意A和ω的符号.若ω<0.需先通过诱导公式将x的系数化为正的．
A．－1B．－
C．－ D．－
[解析]f(x)＝2sin(2x＋θ＋ ).又图象关于( .0)中心对称.所以2× ＋θ＋ ＝kπ.k∈Z.
所以θ＝kπ－ .又0<θ<π.所以θ＝ .
所以f(x)＝－2sin2x.
因为x∈[－ . ].
所以2x∈[－ . ].f(x)∈[－ .2].
所以f(x)的最小值是－ .
『规律总结』
三角函数值域(最值)的三种求法
(1)直接法：利用sinx.cosx的有界性直接求．
(2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式.采用整体思想.求出ωx＋φ的范围.根据y＝sinx的单调性求出函数的值域(最值)．
(3)换元法：对于y＝asin2x＋bsinx＋c和y＝a(sinx＋cosx)＋bsinxcosx＋c型常用到换元法.转化为二次函数在限定区间内的最值问题．
1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性
2．根据单调性、奇偶性、周期性求参数
三角函数的图象及应用
1.考查三角函数的图象变换
2．根据图象求解析式或参数
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对三角概念的理解.会求三角函数的值域或最值．
(2)掌握三角函数的图象与性质.能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等．
对称中心：！！！！ ( ＋kπ.0)(k∈Z).
对称轴：！！！！x＝kπ(k∈Z)
对称中心：！！！！ ( .0)(k∈Z)
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ.令z＝0、 、π、 、2π.求出x的值与相应的y的值.描点连线可得．
3．三角函数的奇偶性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z).是偶函数⇔φ＝kπ＋ (k∈Z)；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋ (k∈Z).是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
4．三角函数的对称性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝
kπ＋ (k∈Z)解得.对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；
[解析]令f(x)＝cos ＝0.得3x＋ ＝ ＋kπ(k∈Z).即x＝ ＋ kπ(k∈Z).
当k＝0时.x＝ ∈[0.π].当k＝1时.x＝ ∈[0.π].当k＝2时.x＝ ∈[0.π].
所以f(x)＝cos 在[0.π]上零点的个数为3.
6．(20xx·北京卷.16)已知函数f(x)＝sin2x＋ sinxcosx.
A． B．
C． D．π
[解析]f(x)＝cosx－sinx＝ cos 在 上单调递减.所以[－a.a]⊆ .故－a≥－ 且a≤ .解得0<a≤ .
3．(20xx·浙江卷.5)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是( D )
[解析]因为f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x＝
－f(x).所以该函数为奇函数.排除A.B.当x∈ 时.sin2x>0,2|x|sin2x>0.所以图象在x轴的上方.当x∈ 时.sin2x<0,2|x|sin2x<0.所以图象在x轴的下方.排除C.故选D．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间 上的最大值为 .求m的最小值．
[解析](1)由已知.f(x)＝ (1－cos2x)＋ sin2x＝
sin2x－ cos2x＋ ＝sin(2x－ )＋ .所以f(x)的最小正周期为T＝ ＝π.
(2)方法一：显然m>－ .
若x∈ .则2x∈ .
2x－ ∈ .
又因为当且仅当2x－ ＝ ＋2kπ.即x＝ ＋kπ(k∈Z)时.
y＝sin(2x－ )＝1.
所以[－ .m]∩{x|x＝ ＋kπ(k∈Z)}≠∅.
令 ＋kπ≥－ (k∈Z)得k≥－ .即k＝0,1,2.…
所以x＝ ＋0×π＝ ∈[－ .m].即m≥ .
所以m的最小值为 .
例1 (1)(20xx·石家庄一模)若函数f(x)＝ sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于( .0)中心对称.则函数f(x)在[－ . ]上的最小值是( B )
4．(20xx·江苏卷.7)已知函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝ 对称.则φ的值是－ .
[解析]正弦函数的对称轴为x＝ ＋kπ(k∈Z).故把x＝ 代入得 ＋φ＝ ＋kπ(k∈Z).φ＝－ ＋kπ(k∈Z).因为－ <φ< .所以k＝0.φ＝－ .
5．(20xx·全国卷Ⅲ.15)函数f ＝cos 在 的零点个数为3.
例2 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2 sinxcosx(x∈R)．
(1)求f( )的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解析](1)由sin ＝ .cos ＝－ .
得f( )＝( )2－(－ )2－2 × ×(－ ).
所以f( )＝2.
(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－ sin2x＝－2sin(2x＋ ).
(3)掌握三角函数图象变换.已知图象求参数.“五点法”作图．
预测20xx年命题热点为：
(1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题．
(2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间．
(3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式．
Z
1．三角函数的图象与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
③利用图象．
G
1．已知ω>0.在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中.距离最短的两个交点的距离为2 .则ω＝ .
[解析]由题意.两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离.设相邻的两交点坐标分别为P(x1.y1).Q(x2.y2).易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.其中|y2－y1|＝ －(－ )＝2 .|x2－x1|为函数y＝2sinωx－2cosωx＝2 sin(ωx－ )的两个相邻零点之间的距离.恰好为函数最小正周期的一半.所以(2 )2＝( )2＋(2 )2.ω＝ .
＝ cos2x＋ .所以最小正周期为π.最大值为4.
2．(文)(20xx·全国卷Ⅱ.10)若f(x)＝cosx－sinx在[0.a]上是减函数.则a的最大值是( C )
A． B．
C． D．π
[解析]f(x)＝cosx－sinx＝ cos 在 上单调递减.
所以[0.a]⊆ .故0<a≤ .
(理)(20xx·全国卷Ⅱ.10)若f(x)＝cosx－sinx在[－a.a]上是减函数.则a的最大值是( A )
2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题三第一讲三角函数的图象与性质
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第一讲 三角函数的图象与性质
高考考点
考点解读
三角函数的定义域、值域、最值
1.求三角函数的值域或最值
2．根据值域或最值求参数
三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
(3)讨论意识：当A为参数时.求最值应分情况讨论A>0.A<0.
2．求解三角函数的性质的三种方法
(1)求单调区间的两种方法
①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A.ω.φ为常数.A≠0.ω>0)的单调区间时.令ωx＋φ＝z.则y＝Asinz(或y＝Acosz).然后由复合函数的单调性求得．
①若2m－ < 即m< .
则f(x)在[－ .m]上的最大值小于 .不合题意．
②若2m－ ≥ 即m≥ .
当2x－ ＝ 即x＝ 时.f(x)在[－ .m]上取得最大值 .符合题意.综上.m的最小值为 .
方法二：
显然m>－ .因为f(x)在[－ .m]上的最大值为 .
所以y＝sin(2x－ )在[－ .m]上的最大值为1.
当k＝0时.经检验ω＝ 时不在上面的公共区域．
2．已知函数f(x)＝1＋2sin(2x－ ).x∈[ . ]．若不等式f(x)－m<2在x∈[ . ]上恒成立.则实数m的取值范围为(1.＋∞).
[解析]因为x∈[ . ].所以2x－ ∈[ . ].
即1＋2sin(2x－ )∈[2,3].
所以f(x)max＝3.不等式f(x)－m<2在x∈[ . ]上恒成立等价于m>f(x)max－2.即m的取值范围是(1.＋∞)．
4．易忽略对隐含条件的挖掘.扩大角的范围导致错误．
1．(20xx·全国卷Ⅰ.8)已知函数f ＝2cos2x－sin2x＋2.则( B )
A．f 的最小正周期为π.最大值为3
B．f 的最小正周期为π.最大值为4
C．f 的最小正周期为2π.最大值为3
D．f 的最小正周期为2π.最大值为4
[解析]f(x)＝2cos2x－(1－cos2x)＋2＝3cos2x＋1
(2)已知函数f(x)＝2sin(2x＋ ).记函数f(x)在区间[t.t＋ ]上的最大值为M.最小值为m.设函数h(t)＝Mt－mt.若t∈[ . ].则函数h(t)的值域为[1,2 ].
[解析]由已知函数f(x)的周期T＝π.区间[t.t＋ ]的长度为 .作出函数f(x)在[ . ]的图象．
又t∈[ . ].则由图象可得.当x∈[ . ]时.h(t)取最小值为f( )－f( )＝2－1＝1.当x∈[ . ]时.函数f(x)为减函数.则h(t)＝f(t)－f(t＋ )＝2 sin(2t－ ).所以当t＝ 时.h(t)的最大值为2 .故所求值域为[1,2 ]．
(2)整体意识：类比y＝sinx的性质.只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”.采用整体代入求解．
①令ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z).可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z).可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体.可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间.注意ω的符号．
y＝tanx
图象
定义域
R
R
{x|x≠ ＋kπ.k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
最小
正周期
2π
2π
π
单调性
在！！！！ [－ ＋2kπ. ＋2kπ](k∈Z)上递增．
在！！！！ [ ＋2kπ. ＋2kπ](k∈Z)上递减
在！！！！ [－π＋2kπ.2kπ](k∈Z)上递增．在！！！！ [2kπ.π＋2kπ](k∈Z)上递减
在！！！！ (－ ＋kπ. ＋kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x＝ ＋2kπ.k∈Z时.y取得最大值1.
当x＝－ ＋2kπ.k∈Z时.y取得最小值－1
当x＝2kπ.k∈Z时.y取得最大值1.
当x＝π＋2kπ.k∈Z时.y取得最小值－1
无最值
对称性
对称中心：！！！！ (k∈Z)