2015-2016学年北师大版必修四-2.6-平面向量数量积的坐标表示-课件(23张)
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∴C→A·C→B＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12 ＝5(t－2)2－8. ∴当 t＝2 时，C→A·C→B取得最小值，此时O→C＝(4,2)．
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(2)由(1)知O→C＝(4,2)，
∴C→A＝(－3,5)，C→B＝(1，－1)，
规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应 注意与方程、函数等知识的联系． (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是 坐标式，两者互相补充．
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跟踪演练1 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求： (1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)． 解 (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)， 2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)， a·(b·c) ＝ a·[(2,5)·(2,1)] ＝ (1,3)·(2×2 ＋ 5×1) ＝ 9(1,3) ＝ (9,27)．
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规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运 用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．
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跟踪演练 3 已知 a＝－12， 23，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若 △AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 b. 解 设向量 b＝(x，y)． 根据题意，得 O→A·O→B＝0，|O→A|＝|O→B|. ∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|， ∴|a|＝|b|，a·b＝0.
|a＋b|＝ 4＋12＋3－12＝ 25＋4＝ 29. θ＝|aa|·|bb|＝
21×5＝
2 10 .
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要点三 向量垂直的坐标表示 例 3 已知在△ABC 中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD
为 BC 边上的高，求|A→D|与点 D 的坐标． 解 设 D 点坐标为(x，y)， 则A→D＝(x－2，y＋1)，B→C＝(－6，－3)， B→D＝(x－3，y－2)， ∵D 在直线 BC 上，即B→D与B→C共线，
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又∵a＝－12， 23， x2＋y2＝1，
即－12x＋ 23y＝0.
x＝ 解得
23，
y＝12
x＝－ 或
23，
y＝－12.
∴b＝ 23，12或 b＝－ 23，－12.
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再见
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(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b. 解 (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a·c)·b＝0·b＝0.
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∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即 x－2y＋1＝0.
①
又∵AD⊥BC，
∴A→D·B→C＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即 2x＋y－3＝0.
②
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由①②可得xy＝＝11，， ∴|A→D|＝ 1－22＋1＋12＝ 5， 即|A→D|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1)．
4．向量的夹角公式 设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
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要点一 向量数量积的坐标运算 例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
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2
．
你
能
用
向
量
法
推
导
两
点
间
距
离
公
式
|
→ AB
|
＝
x2－x12＋y2－y12吗？ 答 A→B＝(x2－x1，y2－y1)， ∴A→B·A→B＝A→B2＝|A→B|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2， 即|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
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[预习导引] 1．平面向量数量积的坐标表示
[知识链接] 1．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b与a⊥b坐标
表示有何区别？ 答 若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0. 若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0. 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交 错积相等，横横纵纵积相反．
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跟踪演练2 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)． (1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值．
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解 (1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
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要点二 两向量的夹角 例 2 已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，设 C 是直线 OP
上的一点(其中 O 为坐标原点)． (1)求使C→A·C→B取得最小值时的O→C； (2)对(1)中求出的点 C，求 cos∠ACB.
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解 (1)∵点 C 是直线 OP 上的一点， ∴向量O→C与O→P共线， 设O→C＝tO→P(t∈R)， 则O→C＝t(2,1)＝(2t，t)， ∴C→A＝O→A－O→C＝(1－2t,7－t)， C→B＝O→B－O→C＝(5－2t,1－t)，
∴|C→A|＝ 34，|C→B|＝ 2，C→A·C→B＝－3－5＝－8.
→→
∴cos∠ACB＝
CA·CB →→
＝－4
17 17 .
|CA||CB|
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规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两 个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角 的余弦值，进而求出夹角．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 . 即两个向量的数量积等于 相应坐标乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
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3．平面向量的模 (1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21. (2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
高中数学·必修4·北师大版
§6 平面向量数量积的坐标表示
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[学习目标] 1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量
积的坐标表示进行向量数量积的运算． 2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间
的距离公式． 3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
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∴C→A·C→B＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12 ＝5(t－2)2－8. ∴当 t＝2 时，C→A·C→B取得最小值，此时O→C＝(4,2)．
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(2)由(1)知O→C＝(4,2)，
∴C→A＝(－3,5)，C→B＝(1，－1)，
规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应 注意与方程、函数等知识的联系． (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是 坐标式，两者互相补充．
第8页，共23页。
跟踪演练1 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求： (1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)． 解 (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)， 2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)， a·(b·c) ＝ a·[(2,5)·(2,1)] ＝ (1,3)·(2×2 ＋ 5×1) ＝ 9(1,3) ＝ (9,27)．
第19页，共23页。
规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运 用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．
第20页，共23页。
跟踪演练 3 已知 a＝－12， 23，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若 △AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 b. 解 设向量 b＝(x，y)． 根据题意，得 O→A·O→B＝0，|O→A|＝|O→B|. ∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|， ∴|a|＝|b|，a·b＝0.
|a＋b|＝ 4＋12＋3－12＝ 25＋4＝ 29. θ＝|aa|·|bb|＝
21×5＝
2 10 .
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要点三 向量垂直的坐标表示 例 3 已知在△ABC 中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD
为 BC 边上的高，求|A→D|与点 D 的坐标． 解 设 D 点坐标为(x，y)， 则A→D＝(x－2，y＋1)，B→C＝(－6，－3)， B→D＝(x－3，y－2)， ∵D 在直线 BC 上，即B→D与B→C共线，
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又∵a＝－12， 23， x2＋y2＝1，
即－12x＋ 23y＝0.
x＝ 解得
23，
y＝12
x＝－ 或
23，
y＝－12.
∴b＝ 23，12或 b＝－ 23，－12.
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再见
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(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b. 解 (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a·c)·b＝0·b＝0.
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∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即 x－2y＋1＝0.
①
又∵AD⊥BC，
∴A→D·B→C＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即 2x＋y－3＝0.
②
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由①②可得xy＝＝11，， ∴|A→D|＝ 1－22＋1＋12＝ 5， 即|A→D|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1)．
4．向量的夹角公式 设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
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要点一 向量数量积的坐标运算 例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
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．
你
能
用
向
量
法
推
导
两
点
间
距
离
公
式
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→ AB
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＝
x2－x12＋y2－y12吗？ 答 A→B＝(x2－x1，y2－y1)， ∴A→B·A→B＝A→B2＝|A→B|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2， 即|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
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[预习导引] 1．平面向量数量积的坐标表示
[知识链接] 1．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b与a⊥b坐标
表示有何区别？ 答 若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0. 若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0. 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交 错积相等，横横纵纵积相反．
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跟踪演练2 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)． (1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值．
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解 (1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
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要点二 两向量的夹角 例 2 已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，设 C 是直线 OP
上的一点(其中 O 为坐标原点)． (1)求使C→A·C→B取得最小值时的O→C； (2)对(1)中求出的点 C，求 cos∠ACB.
第10页，共23页。
解 (1)∵点 C 是直线 OP 上的一点， ∴向量O→C与O→P共线， 设O→C＝tO→P(t∈R)， 则O→C＝t(2,1)＝(2t，t)， ∴C→A＝O→A－O→C＝(1－2t,7－t)， C→B＝O→B－O→C＝(5－2t,1－t)，
∴|C→A|＝ 34，|C→B|＝ 2，C→A·C→B＝－3－5＝－8.
→→
∴cos∠ACB＝
CA·CB →→
＝－4
17 17 .
|CA||CB|
第13页，共23页。
规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两 个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角 的余弦值，进而求出夹角．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 . 即两个向量的数量积等于 相应坐标乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
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3．平面向量的模 (1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21. (2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
高中数学·必修4·北师大版
§6 平面向量数量积的坐标表示
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[学习目标] 1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量
积的坐标表示进行向量数量积的运算． 2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间
的距离公式． 3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
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