8.1向量极其线性运算

C3) Pr j (a) Pr j a.
u
u
35
例 7 p
5i设 mj 43ki，求5 j向量8ka，n4m
2i3n4j p在7kx，轴
上的投影及在 y轴上的分向量.
解
a
4m
3n
p
P13, 19
4(3i 5j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k )
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
24
例 4 设 P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标. 解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
A
a
M
C B
BC
AD
AM
MD
1
(a
b ).
2
DC
AB
AM
MB
1 2
(a
b ).
40
且
(2) 设动点为 M (x , y , z), 利用 M A M B , 得
22
例2. 已知两点
和
求
解: AB AB 1 (3 , 1 , 2)
AB
14
3 , 1 , 2
14 14 14
23
例 3 求证以 M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得
故所求点为 M (0, 0,14 ) . 9
思考:
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
21
提示:
(1) 设动点为M (x , y ,0),利用 M A M B , 得
•A
A
u
31
空间一向量在轴上的投影
设点 A、B 在u轴上的投影分别是 A、B。
则在u轴上的有向线段 AB 的值 AB
称为 AB 在u轴上的投影.
记为 Pr j AB AB u
B A
u
A
B
32
★ 向量投影的性质：
(1) Pr j AB AB cos u 其中， 为 AB与u轴的夹角.
证
B
A
B
A
M
18
说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2
o
1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 , 于是得
中点公式:
x1
x2 2
,
y1 2
y2
,
z1 z2 2
M B
A
B M
19
五、向量的模、方向角、投影
(2,4,6) (3,15,12)
(1,19,6)
17
例2. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
1设. 向r量 的(x模, y与, z两), 点间的距离公式
r OM
x2 y2 z2
z R
o P
x
z
M Q y
N
两点间的距离公式:
o
y
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 x
20
例1. 在 z 轴上求与两点
及
等距
离的点 .
解: 设该点为M (0,0, z), 因为 M A M B ,
13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax 13, 在 y 轴上的分向量为7 j .
36
例
8
设m
i
j
，n
2
j
k
，求以向量m ,
n 为
边的平行四边形的对角线的长度.
解:
n
对角线的长为
| m n |,
| m n |,
m
m n {1,1,1},
m n {1,3,1}
r
x
i
y
j
z
k
(x
,
y
,
z
)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
z C
ko i
j
r
M B y
A
x
N
有序数
沿三个坐标轴方向的分向量.
称为向量
r
的坐标，记为
15
四、利用坐标作向量的线性运算
设 则
a
( ax a
,a
y
,
b
a
az ), b (bx (ax bx , ay
( ax , ay ,
(1) | a | | b || a b |
(2) | a b || a | | b |
6
2、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1) 0,
a
与a
同向，
|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a 0
(3) 0, a与a 反向，| a || | | a |
a
横轴 x 空间直角坐标系
13
（2）坐标面与卦限
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
14
(3) 向量的坐标表示
以在空i ,间j ,直k 分角别坐表标系示下x,,
任意向量 r 可用向径
y , z 轴上的单位向量
OM 表示.
,则
OM ON NM OA OB OC
2a
1
a
2
7
数与向量的乘积满足的运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律：
(
)a
a
a
(a
b)
a
b
必 定要 理条设件向是量：a存 在0，唯则一的向实量数b 平，行使于ba的充a. 分
8
设a0表示与非零向量
a
同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a
|
a
|
4
向量的加法的运算规律：
（1）交换律：
a b b a.
（2）结合律：
a b c (a b) c
a (b c ).
负向量：
与 做
aa的大负小向相量等.但记方作向相a反. 的向量叫
a
a
a
(a)
0.
5
▼ 减法
a
b
a
(b)
b
a
a
b
a
b
b
a
c
根据三角形两边之和大于第三边，可知：
,by ,bz ) by ,az
az )
,
bz
为实数， )
☆ 平行向量对应坐标成比例.
当 a
0
时,
bx ax
by ay
bz az
bx ax by ay bz az
16
例1
已知
a
(1,2,3)，b
(1,5,4)，求
2a 3b.
解: 2a 3b
2(1,2,3) 3(1,5,4)
(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
10
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
11
例3
化简
a
b
5
1
b
b
a
0
a a0 . |a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
9
例1. 设 M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,
D
C
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD. b M Aa B
解: a b AC
2 MA
b a BD
2 MB
MA
1 2
一、向量概念
向量： 既有大小又有方向的量.
向量表示：在数学上，用有向线段来表示向量.
有向线段的长度表示向量的大小，
有向线段的方向表示向量的方向.
以
M
1为起点，M
2
为终点的有向线段.
M2
记作
a M1M2 或
向量的模： 向量的大小.
M1
如：向量 M1M2 的模 记作 | M1M2 |或 | a |
1
非零向量 r 的方向角 、、 .。
0 , 0 , 0 .
z
r
o
y
x
26
(2) 方向余弦
cos x
r
x x2 y2 z2
cos ry cos z
r
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
27
例5
求平行于向量a
6i
7
j
6k 的单位向
量的分解式.
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
25
2. 方向角与方向余弦
(1) 方向角
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
12
三、空间直角坐标系
（1）空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向 x轴以 角度
2
转向正向 y 轴时， 大拇指的指向就是 z
轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
解
所求向量有两个，一个与
a
同向，一个反向
|
a
|
62 72 (6)2 11,
a0
a
6
i
7
j
6
k,
| a | 11 11 11
或
a0
|
aa
|
6
i
11
7 11
j
6
k.
11
28
例 6 设有向量 P1P2，已知 P1P2 2，它与 x轴
和 y轴的夹角分别为
和 3
，如果 4
P1的坐标为
(1,0,3)，求 P2的坐标.
解 设向量P1P2的方向角为 、 、
, cos 1 , , cos 2 ,
3
2
4
2
cos2 cos2 cos2 1,
cos 1 , 2 .
2
3
3
29
设P2的坐标为( x, y, z),
P1P2 {x 1, y 0, z 3}
(a,
b)
2
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
3
二、向量的线性运算
▲1、加向法量：的a加减b法
c
bc
a
cb
a
平行四边形法则
三角形法则
特殊地：若
a‖
a
b
b
a
b
① 同向
c
②反向
| c || a | | b |
c
|
c
|
|
a
|
|
b
|
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量： 大小相等且方向相同的向量.
a
b
单位向量： 模等于1的向量.
零向量： 模等于0的向量.
0
注：零向量的方向是任意的.
2
向量的夹角：
a
0,
b 0,
(a,b)
(b,
a)
b
a
(0 )
向量 a 与 b 平行(共线)：
(a,
b)
0
或者
向量 a与 b 垂直：
|
m
n
|
3,
| m n | 11,
平行四边形的对角线的长度各为 3, 11 .
37
习题 8 1 P12 P12
4, 5, 10, 12, 13, 15, 17, 18.
38
思考题
已试知 用平aA,行Cb 表四示边a,平形行ABB四DC边D的形b对四角边线上对应的向量.
39
思考题解答
D b
cos x 1
P1 P2
x1 1 22
x 2,
cos
y0 P1 P2
y0
2
2 y 2
2,
cos z 3 z 3 1 z 4, z 2,
P1 P2
2
2
P2的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).
30
3、向量在轴上的投影
空间一点在轴上的投影
过点 A作u轴的垂直平面，交 点 A即为点 A在u轴上的投影.
B
Pr j AB u
Pr j AB u
u
| AB | cos
u
33
性质1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
c
(2) , 投影为负；
2
a
(3) ,
2
投影为零；
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
34
(2)
Pr
j
u
(a1
a2 )
Pr
j
u
a1
Pr
j
u
a2
.
A
a1
B
a2