高中数学 第3章 不等式 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域学案 新人教B版必修5-新

3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组).
2.了解二元一次不等式的几何意义.
3.会画二元一次不等式(组)表示的平面区域.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 二元一次不等式(组)的概念
阅读教材P 85前12行，完成下列问题.
1.二元一次不等式的概念 我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，称为二元一次不等式.
2.二元一次不等式组的概念
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组.
3.二元一次不等式(组)的解集概念
满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成的有序数对(x ，y )，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二元一次不等式x ＋y >2的解有无数多个.( )
(2)二元一次不等式(组)的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合.( )
(3)二元一次不等式组中的每个不等式都必须是二元一次不等式.( )
【解析】 (1)√.因为满足x ＋y >2的实数x ，y 有无数多组，故该说法正确.
(2)√.因为二元一次不等式(组)的解为有序数对(x ，y )，有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.故该说法正确.
(3)×.因为在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1≥0， 3x ＋2<0也称为二元一次不等式组.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
教材整理2 二元一次不等式(组)表示的平面区域
阅读教材P85第13行～P88，完成下列问题.
1.二元一次不等式表示的平面区域及确定
(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0.
②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.
(2)在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线.
(3)①对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c所得的符号都相同.
②在直线ax＋by＋c＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由ax0＋by0＋c的符号可以断定ax＋by＋c>0表示的是直线ax＋by＋c＝0哪一侧的平面区域.
2.二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.
1.下列说法正确的是________.(填序号)
(1)由于不等式2x－1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域；
(2)点(1,2)在不等式2x＋y－1＞0表示的平面区域内；
(3)不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的；
(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示.
【解析】(1)错误.因为不等式2x－1>0虽然不是二元一次不等式，但它表示直线x＝1
右侧的区域.
2
(2)正确.因为(1,2)是不等式2x＋y－1>0的解.
(3)错误.因为不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界Ax＋By＋C＝0，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界Ax＋By＋C＝0.
(4)正确.因为第二、四象限区域内的点(x，y)中x，y异号，故xy<0.该说法正确.
【答案】(2)(4)
2.以下各点在3x＋2y＜6表示的平面区域内的是_________________.
①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0).
【解析】 将点的坐标代入，只有①②③满足上述不等式.
【答案】 ①②③
3.已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________.
【解析】 因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )
代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12
. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m >－12
[小组合作型] 二元一次不等式表示的平面区域
(1)画出不等式3x ＋2y ＋6＞0表示的区域；
(2)写出下列表示平面区域的二元一次不等式：
图3­5­1
【精彩点拨】 解决本题关键是理解不等式的解与坐标平面内的点间的关系及不等式的解与其对应点的分布规律.
【自主解答】 (1)如图：
第一步：画出直线3x ＋2y ＋6＝0(注意应画成虚线)，
第二步：直线不过原点，把原点坐标(0,0)代入3x ＋2y ＋6得6＞0，∴不等式表示的区域为原点所在的一侧.
(2)①x ＋y －1≤0；
②x －2y ＋2＜0；
③x ＋y ≥0.
二元一次不等式表示平面区域的判定方法：,第一步：直线定界.画出直线ax ＋by ＋c ＝0，不等式为ax ＋by ＋c ＞0＜0时直线画成虚线，不等式为ax ＋by ＋c ≥0≤0时直线画成实线；,第二步：特殊点定域.在平面内取一个特殊点，当c ≠0时，常取原点0，0.若原点0，0满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域.当c ＝0 时，可取1，0或0，1作为测试点.,简记为：直线定界，特殊点定域.
[再练一题]
1.已知点(1,2)和点(1,1)在直线y －3x －m ＝0的异侧，求m 的取值范围.
【解】 要使(1,2)，(1,1)两点在y －3x －m ＝0的异侧，则代入后它们的符号相异，由此得到关于m 的不等式：(－1－m )(－2－m )＜0，即(m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－1.故m 的范围为(－2，－1). 二元一次不等式组表示的平面区域
(1)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤5， x －2y ＞3，
x ＋2y ≥0
表示的平面区域； (2)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1<0， 2x －y －3≥0表示的平面区域.
【精彩点拨】 (1)不等式组表示的平面区域应该由什么来确定？(2)不等式组表示的平面区域一定是封闭图形吗？
【自主解答】 (1)不等式x ＋y ≤5表示直线x ＋y －5＝0及左下方的区域.
不等式x －2y >3表示直线x －2y －3＝0右下方的区域.
不等式x ＋2y ≥0表示直线x ＋2y ＝0及右上方的区域.
所以不等式组表示的平面区域如图所示.
(2)不等式x －y －1<0表示直线x －y －1＝0左上方的平面区域.
画出直线2x －y －3＝0(实线)，
不等式2x －y －3≥0表示直线2x －y －3＝0上及右下方的平面区域.
所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1<0， 2x －y －3≥0表示的平面区域是如图所示的阴影部分.
1.二元一次不等式组表示的平面区域是由每个不等式所表示的平面区域来确定的，是它们所表示平面区域的交集.
2.画平面区域的步骤
(1)画线——画出不等式对应的方程所表示的直线；
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律，确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.
[再练一题]
2.△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,4)，B (－2,0)，C (2，0)，求△ABC 内任意一点(x ，y )所满足的条件.
【导学号：18082050】
【解】 分别求三边的直线方程，易得y ＝0,2x －y ＋4＝0,2x ＋y －4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向.因不包括边界，所求三个不等式分别为：y >0,2x －y ＋4>0,2x ＋y －4<0.
所以点(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧
y >0， 2x －y ＋4>0，
2x ＋y －4<0. [探究共研型] 二元一次不等式(组)表示平面区域的应用
探究1 若点P (1,2)，Q (1,1)在直线x －3y ＋m ＝0的同侧，如何求m 的取值范围？
【提示】 直线x －3y ＋m ＝0将坐标平面内的点分成三类：在直线x －3y ＋m ＝0上的点和在直线x －3y ＋m ＝0两侧的点，而在直线x －3y ＋m ＝0同侧点的坐标，使x －3y ＋m 的值同号，异侧点的坐标使x －3y ＋m 的值异号.
故有(1－3×2＋m )(1－3×1＋m )>0，即(m －5)(m －2)>0，
所以m >5或m <2.
探究 2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >2， x －y >0，
x <4表示的区域是什么图形，你能求出它的面积吗？该
图形若是不规则图形，如何求其面积？
【提示】 不等式组表示的平面区域如图阴影部分△ABC ，该三角形的面积为S △ABC ＝12
×6×3＝9.
若该图形不是规则的图形.我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解.
探究3 点(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >2， x －y >0，
x <4
表示的平面区域
内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？
【提示】 若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等组表示的平面区域内.经代入检验可知，在(0,0)，(1,0)，(2,1)，
(3,4)中只有点(2,1)在不等式组表示的平面内.在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x ＝
1，则不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧ y >1， y <1，
1<4，
显然该不等式组无解；再令x ＝2，则原不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧ y >0， y <2，
2<4，则0<y <2，又因为y ∈Z ，故y ＝1，所以x ＝2时只有一个整点.同样方法x ＝3
时，有(3,0)，(3,1)，(3,2)三个整点在该区域内；x ＝4时在该区域内没有整点.总之在不
等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >2， x －y >0，
x <4
表示的平面区域内，共有4个整点.当然，也可在作图时，利用打网格线的方法寻求.
已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x >0， y >0，
4x ＋3y ≤12.
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积；
(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标.
【精彩点拨】 (1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？
【自主解答】 (1)不等式4x ＋3y ≤12表示直线4x ＋3y ＝12上及其左下方的点的集合；x >0表示直线x ＝0右方的所有点的集合；y >0表示直线y ＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图(1)所示.
(1) (2)
(2)如图(1)所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S ＝12
×4×3＝6. (3)当x ＝1时，代入4x ＋3y ≤12，得y ≤83
，
∴整点为(1,2)，(1,1).
当x ＝2时，代入4x ＋3y ≤12，得y ≤43
， ∴整点为(2,1).
∴区域内整点共有3个，其坐标分别为(1,1)，(1,2)，(2,1).如图(2).
1.在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键.
2.画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标.
(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高.必要时分割区域为特殊图形.
(2)整点是横纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误.
[再练一题]
3.某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3、五合板2 m 2；生产每个书橱需要方木料0.2 m 3、五合板1 m 2.用不等式将书桌与书橱的产量之间的关系表示出来.并画出相应的平面区域.
【解】 设生产书桌x 张，书橱y 个，则x 、y 满足
⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ＋0.2y ≤90， 2x ＋y ≤600， x ≥0且x ∈N ， y ≥0且y ∈N ，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤900， 2x ＋y ≤600， x ≥0且x ∈N ， y ≥0且y ∈N . 在平面直角坐标系中，画出上述不等式组表示的平面区域，如图，阴影部分的整点.
1.下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＜0， x －y ＋1＞0表示的平面区域内的点是( )
A.(0,2)
B.(－2,0)
C.(0，－2)
D.(2,0)
【解析】 依次将A ，B ，C ，D 四个选项代入验证即可，只有C 符合条件.
【答案】 C
2.原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是( )
A.a <0或a >2
B.0<a <2
C.a ＝2或a ＝0
D.0≤a ≤2
【解析】 因点(0,0)，(1,1)在直线的两侧，所以这两点的坐标满足－a (1＋1－a )<0，解得0<a <2.
【答案】 B
3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1， x －y ≤1， －x ＋y ≤1， －x －y ≤1表示的平面区域的形状为________.
【解析】 如图所示的阴影部分，
不等式组表示的平面区域是边长为2的正方形.
【答案】 正方形
4.如图3­5­2，能表示平面中阴影区域的不等式组是________.
图3­5­2
【解析】 直线AB 的方程为：2x －y ＋2＝0.直线AC 的方程为：2x ＋3y －6＝0.直线BC 的方程为y ＝0.取特殊点(0,1)代入各方程的左边，可得阴影区域的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0， 2x ＋3y －6≤0，
y ≥0.
【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0， 2x ＋3y －6≤0，
y ≥0
5.在平面直角坐标系中，求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0， x －y ＋2≥0，
x ≤2表示的平面区域的面积.
【导学号：18082051】
【解】 在平面直角坐标系中，作出x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0和x ＝2三条直线，利用
特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分所示，其面积S ＝4×2×12
＝4.。