142-隐函数的求导法则省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

F ( x, y,u,v) 0 G( x, y, u,v) 0
隐函数存在定理 3 设F ( x, y,u,v)、G( x, y,u,v)在
点 P( x0 , y0 ,u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0，
变量, 然后解出导数.
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思索题:
1 求由方程
y5 2y x 3x7 0
确定隐函数 y y( x) 在x =0处导数 解 方程两边对 x 求导
dy
.
dx x 0
d ( y5 2 y x 3x7 ) 0, dx
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所以 5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0. dx dx
所以
dy 1 21x6
dx
5y4 2 .
因x = 0时y = 0, 故
dy
1.
dx x 0 2
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2 求椭圆
x2
y2
1
在点 (
3 2,
3 )处切线方程.
16 9
2
解 椭圆方程两边对 x 求导
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例 8 设z f ( x y z, x y )z，求 z ，x ，y . x y z
思绪: 把z看成 x, y的函数对 x求偏导数得 z ， x
把 x看成z, y的函数对 y 求偏导数得x ， y
把 y 看成 x, z的函数对z求偏导数得y . z
解 令 u x y z, v xyz,
则 z f (u,v),
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把z看成 x, y的函数对 x求偏导数得
z x
fu
(1
z ) x
fv
(
yz
xy
z ), x
整理得 z fu yzfv , x 1 fu xyfv
把 x看成z, y的函数对 y 求偏导数得
0
f
u
(
x y
1)
fv ( xz
yz x), y
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三、小结
隐函数求导法则 （分以下几个情况）
(1) F ( x, y) 0
(2) F( x, y, z) 0
(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
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尤其地，一元隐函数求导法: 方法一 方程两边微分, 然后解出导数; 方法二 方程两边对 x 求导数, 而将y 视为中间
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作业 习题1.4 P59-61 A 组 8 , 9, 10, 11
B 组 5, 6
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4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0, y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
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整理得
x fu xzfv , y fu yzfv
把 y 看成 x, z的函数对z求偏导数得
1
f
u
(
y z
1)
fv
( xy
xz y), z
整理得
y 1 fu xyfv . z fu xzfv
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补充: 方程组情形
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的
某一邻域内具有连续的偏导数，且
F ( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内恒能
唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx dx Fy
隐函数求导公式
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设 y f ( x) 为方程 F ( x, y) 0 所确定的隐函数 , 则
F ( x, f ( x)) 0 两边对x求导
F F dy 0 x y dx
在 ( x0 , y0 ) 某邻域内 d y Fx . dx Fy
设 z f ( x, y) 是方程 F ( x, y) 0 所确定的隐函数 , 则
F(x, y, f (x, y) ) 0
两边对x 求偏导
Fx Fz
z x
0
在 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内 Fz 0
z Fx x Fz
一样可得 z Fy . y Fz
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dy dx
，d 2 y dx 2
.
解 方程两边对 x 求导, 得
1 y e y ycos x e y sin x,
(1)
所以
y
dy dx
1 e y sin x 1 e y cos x
.
式(1) 两边对 x 求导, 得
y e y ( y)2 cos x e y ycos x
e y ysin x e y ysin x e y cos x.
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3 ,
d2y dx 2
1.
x0
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例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求 dy . x dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , 则 x
Fx ( x,
y)
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例7
设x2
y2
z2
4z0，求2z x Nhomakorabea2.
解 令 F(x, y,z) x2 y2 z2 4z, 则
Fx 2 x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
Fy 0
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例 1 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内能唯一 确定一个单值可导、且 x 0时 y 1的隐函数 y f ( x)， 并求这函数的一阶和二阶导数在 x 0的值. 解 令 F ( x, y) x2 y2 1, 则
Fx 2x, Fy 2 y,
y
x 2 y y 0, 89
9x
x2
y
3 2
3
16 y
3
x2 ,
y
3 2
3
4
故切线方程为
y 3 2
3 3 ( x 2), 即 4
3 x 4y 8 3 0.
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3 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知
x
0,
y
0,所以
dy dx
ex y x0 x e y
x0 y0
1.
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例4 设曲线C的方程为 x3 y3 3 xy,求过C上
点( 3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点 .
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
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例 9 设 xu yv 0， yu xv 1，
求 u，u，v 和v . x y x y
解法1 直接代入公式； 解法2 利用公式推导方法,
将所给方程两边对 求x 导并移项
x y
u x u
y x
v x v
u ,
v
x x
x J
y x2 y2,
所以
y
d2y dx 2
e y (e2 y
cos x 2e y 2sin (1 e y cos x)3
x)
.
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二、多元函数情形
隐函数存在定理 2 设函数 F ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 )
的某一邻域内有连续的偏导数，且
F ( x0 , y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，
y 3 3 (,) 22
y x2 y2 x
3 3 1.
(,) 22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 ,
2
2
即 y x,
显然经过原点.
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例5 设 y y( x) 由方程 e y xy e 确定 , 求 y(0), y(0).
F (0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内能唯一 确定一个单值可导、且 x 0时 y 1的函数 y f ( x)．
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函数一阶和二阶导数为
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
则方程 F ( x, y, z) 0在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯
一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
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且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
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在点 P( x0 , y0 ,u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
在点 P( x0 , y0 ,u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数u u( x, y)， v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ),v0 v
yx
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在J 0的条件下，
u y
x
u x
v x
x y
xu yv x2 y2 ,
v x
y x
yx
y
u
v y
yu xv x2 y2 ,
x
将所给方程两边对 求y 导，用一样方法得
u y
xv x2
yu y2
,
v y
xu x2
yv y2
.
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( x0 , y0 )，并有
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
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v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
解 方程两边对 x 求导, 得 e y y y xy 0,
再求导, 得
e y y2 (e y x) y 2 y 0,
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
y(0) 1 , e
再代入 ② 得
y(0)
1 e2
.
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① ②
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例6
设
x
y
e
y
cos
x，求
1.4.2 隐函数求导法则
一、一元函数情形 二、多元函数情形 三、 小结
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一、一元函数情形
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数显化
问题:隐函数不易显化或不能显化怎样求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
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x x2
y y2 ,
Fy( x,
y)
y x2
x y2 ,
dy Fx x y . dx Fy y x
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例3 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0