上海2022年中考数学 专项复习 15 直线与圆的位置关系

课堂引入
知识梳理
直线与圆相切的存在性问题
1、知识内容：
（1）如果O的半径长为R，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线l与O相交0d R
⇔≤<；
直线l与O相切d R
⇔=；
直线l与O相离d R
⇔>．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、直线与圆相切的本质：两线段间的相等关系；
3、解题思路：
（1）构造圆心到直线的距离；
（2）利用两点距离公式或者是几何图形的性质或者是动点的运动轨迹表示出垂线段的长；（3）根据直线与圆相切的本质列出方程或者是等式，进行求解；
（4）根据题意对所求的解进行取舍．
直线与圆的位置关系的判断
1、知识内容：
（1）直线与圆的位置关系：
当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；
当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
（2）如果O的半径长为R，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线l与O相交0d R
⇔≤<；
直线l与O相切d R
⇔=；
直线l与O相离d R
⇔>．
2、判断直线与圆的位置关系的本质：判断两线段间的大小关系；
3、解题思路：
（1）构造圆心到直线的距离；
（2）利用两点距离公式或者是几何图形的性质或者是动点的运动轨迹表示出垂线段的长；
（3）比较垂线段的长与圆的半径的大小关系，从而判定圆与直线的位置关系；
（4）若题目中给出的条件是公共点的个数，则要根据图形及其题目要求将公共点的个数
问题转化为判定直线与圆的位置关系的问题．
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2246y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，与y 轴交
于C 点，顶点为D .过点C 、D 的直线与x 轴交于E 点，以OE 为直径画⊙O 1，交直线CD 于P 、E 两点.
(1)求E 点的坐标；
(2)联结PO 1、PA .求证:BCD ∆～1PO A ∆；
(3)①以点O 2(0，m )为圆心画⊙O 2，使得⊙O 2与⊙O 1相切，
当⊙O 2经过点C 时，求实数m 的值；
②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O 3，以O 3为圆心画
⊙O 3，使得⊙O 3与⊙O 1、⊙O 2同时相切.直接写出满足条件
的点O 3的坐标(不需写出计算过程).
E
D
C
B A x
y
O 【难度】★★★
例题分析
【例题2】如图1，已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上的一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB 于点N．圆O的半径为5，AB＝8．
（1）当P是优弧»AB的中点时，求弦AP的长；
（2）当点N与点B重合时，试判断：以点O为圆心，3
2为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；
（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．
【难度】★★★
【例题3】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，cos∠BAC＝4
5，点O是边AC上一个动点（不与A、C
重合），以点O为圆心，AO为半径作⊙O，⊙O与射线AB交于点D；以点C为圆心，CD为半径作⊙C，设OA＝x．（1）如图2，当点D与点B重合时，求x的值；
（2）当点D在线段AB上，如果⊙C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE＝y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在点O运动的过程中，如果⊙C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围．
图1图2备用图
【难度】★★★
【例题4】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，cosA ＝14
，点P 是边AB 上的动点，以PA 为半径作⊙P ．（1）若⊙P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；
（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；
（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C 的公共弦长为2，求AP 的长．
P C
B
A D
E 【难度】★★★
自主巩固
【巩固1】如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，O是坐标原点，A（-3，0）且sin∠ABO=3
5，抛物线y=ax
2+bx+c
经过A、B、C三点，C（-1，0）.
（1）求直线AB和抛物线的解析式；
（2）若点D（2，0），在直线AB上有点P，使得△ABO和△ADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，以A为圆心，AP长为半径画⊙A，再以D为圆心，DO长为半径画⊙D，判断⊙A和⊙D 的位置关系，并说明理由.
C B
A
x
y
【难度】★★★
【巩固2】如图，在Rt ABC
中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以点P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与P的位置关系，并说明理由；
（2）已知O为ABC的外接圆，若P与O相切，求t的值．
【难度】★★★
【巩固3】已知：60MAN = ∠，
点B 在射线AM 上，4AB =．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心．
（1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在MAN ∠的平分线上；
（2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设AP x =，AC AO y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点D 在射线AN 上，2AD =，圆I 为ABD △的内切圆．当BPQ △的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．
Q O
N
P
B A
【难度】★★★。