2019版高考数学文大一轮优选全国讲义：第47讲抛物线

第47讲 抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )__距离相等__的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__焦点__，直线l 叫做抛物线的__准线__.
2．抛物线的标准方程与几何性质
3．与焦点弦有关的常用结论
(以右图为依据)
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
.
(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．
(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p
. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2
(
a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a
4
.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
解析 (1)错误．当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线．
(2)错误．方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1
a
y 是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是
⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a
. (3)错误．抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形． 2．抛物线y ＝－2x 2的准线方程是( D ) A ．x ＝1
2
B ．x ＝1
8
C ．y ＝1
2
D ．y ＝1
8
解析 抛物线方程为x 2＝－12y ，∴p ＝14，准线方程为y ＝1
8
.
3．抛物线y 2＝24ax (a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( A )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝12x
C ．y 2＝16x
D ．y 2＝20x
解析 准线方程为l ：x ＝－6a ，M 到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a ＝5，a ＝1
3
，抛物线方程为y 2＝8x . 4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( D ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线
D ．抛物线
解析 由题意知，点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点、以直线x ＝－2为准线的抛物线．
5．在平面直角坐标系xOy 中，有一点A (2,2)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，则该抛物线的准线方程是__x ＝－1
2
__.
解析 由题意可得4＝4p ，解得p ＝1，所以焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12
.
一 抛物线的定义及应用
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【例1】 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为1__.
解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)，点P 到y 轴的距离d 1＝||PF －1，所以d 1＋d 2＝d 2＋||PF －1.易知d 2＋||PF 的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋||PF 的最小值为
||
1＋512＋(－1)2
＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.
二 抛物线的标准方程及其几何性质
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．
(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
【例2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的
准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( C )
A ．1
B ．3
2
C ．2
D ．3
(2)抛物线x 2
＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2
3＝1相交于A ，B 两点，若
△ABF 为等边三角形，则p ＝__6__.
解析 (1)因为双曲线的离心率e ＝c
a ＝2，所以
b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y
＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于点A ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，点B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3
2p ，所以△
AOB 的面积为12×p
2
×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.
(2)在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫33p ，－p
2.又因为点B
在双曲线上，故p 233－p 2
4
3
＝1，解得p ＝6.
三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式
||AB ＝x 1＋x 2＋p ；若不过焦点，则必须用弦长公式．
【例3】 (2017·浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，9
4，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12
＜x ＜3
2，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .
(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．
解析 (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－
1
4x ＋12＝x －1
2.
因为－12<x <3
2
，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧
kx －y ＋12k ＋1
4＝0，x ＋ky －94k －3
2
＝0，
解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋3
2(k 2＋1).
因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋1
2＝1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2
(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2
k 2＋1
，
所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3.
令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3＝－k 4－2k 3＋2k ＋1，
因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫1
2，1上单调递减．
因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值27
16
.
1．若动圆的圆心在抛物线y ＝1
12x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( C )
A ．(0,2)
B ．(0，－3)
C ．(0,3)
D ．(0,6)
解析 直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线
y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．
2．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则||P A ＋||PQ 的最小值为( C )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析 抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知||PF ＝||PM ＝
||PQ ＋1.
∴||P A ＋||PQ ＝||P A ＋||PM －1＝||P A ＋||PF －1≥||AF －1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则||P A ＋||PQ 的最小值为9.
3．已知点F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，点P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若||PF 1＋||PF 2＝12，则抛物线的准线方程为__x ＝－2__.
解析 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 2
3a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
a 2－y 2
3a 2＝1，y 2＝8ax ⇒x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎨⎧
||PF 1＋||PF 2＝12，||PF 1－||PF 2＝2a ⇒||PF 2＝6－a ，
又∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，∴||PF 2＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.
4．(2018·贵州贵阳高三摸底考试)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 与A ，B 两点，且|AB |＝8.
(1)求直线l 的方程；
(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，抛物线的准线与x 轴的交点为E ，求证：B ，D ，E 三点共线．
解析 (1)F 的坐标为(1,0)，则l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2
－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4
k 2，x 1x 2＝1，
由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4
k
2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，
∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．
(2)证明：由抛物线的对称性知，点D 的坐标为(x 1，－y 1)， 又E (－1,0)， ∴k EB －k ED ＝
y 2
x 2＋1－－y 1x 1＋1＝y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)
， y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2⎝⎛⎭⎫y 2
14＋1＋y 1⎝⎛⎭⎫y 2
24＋1＝y 1y
24(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)⎝⎛⎭⎫y 1y 24＋1. 由(1)知x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 又y 1与y 2异号，
∴y 1y 2＝－4，即y 1y 2
4＋1＝0，∴k EB ＝k ED ，
又ED 与EB 有公共点E ，∴B ，D ，E 三点共线．
易错点 对抛物线的标准方程认识不清
错因分析：将抛物线的非标准方程误认为是标准方程，得出错误的准线方程． 【例1】 抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A ．1
4
B ．－1
4
C ．4
D ．－4
解析 抛物线的标准方程即为x 2＝1a y ，所以准线方程为y ＝－14a ＝1，解得a ＝－1
4.故选
B.
答案 B
【跟踪训练1】 抛物线y ＝1
4x 2的准线方程是( A )
A ．y ＝－1
B ．y ＝－2
C ．x ＝－1
D ．x ＝－2
解析 由y ＝1
4x 2得x 2＝4y ，焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程
为y ＝－p
2
＝－1.故选A ．
课时达标 第47讲
[解密考纲]对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题、填空题的形式出现．
一、选择题
1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜
率为( C )
A ．－4
3
B ．－1
C ．－3
4
D ．－12
解析 因为点A 在抛物线的准线上，所以－p
2＝－2，所以该抛物线的焦点为F (2,0)，所
以k AF ＝
3－0－2－2
＝－3
4.故选C ．
2．拋物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫
a 2，0 B ．⎝⎛⎭⎫a 2，0或⎝⎛⎭⎫
－a 2，0 C ．⎝⎛⎭
⎫0，1
8a D ．⎝⎛⎭⎫0，18a 或⎝
⎛⎭⎫0，－1
8a 解析 抛物线的方程化成标准形式为x 2＝1
2a y (a ≠0)，其焦点在y 轴上，所以焦点坐标
为⎝⎛⎭
⎫0，1
8a .故选C ． 3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5
4x 0，则 x 0＝( A )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋1
4＝
|AF |＝5
4
x 0，解得x 0＝1.故选A ．
4．已知点P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，点Q 为圆x 2＋(y －6)2＝1
4上一个动点，那
么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( B )
A ．317－72
B ．317－42
C ．317－12
D ．317＋12
解析 结合抛物线定义，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去3
2，则所求最小值为抛
物线的焦点到圆心的距离减去半径及3
2
，即为
62＋⎝⎛⎭⎫322－12－32＝317－42.故选B.
5．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为( D )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析 设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l 0，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C 是AB 的中点，其坐标为(x C ，y C )，分别过点A ，B 作直线l 0的垂线，垂足分别为M ，N ，由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝x A ＋1＋x B ＋1＝x A ＋x B ＋2＝2x C ＋2＝8.
6．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( C )
A ．5
B ．22
C ．23
D ．3 3
解析 依题意得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧
y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，
得x ＝
1
3
或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)，由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×
3
2
＝2 3.故选C ． 二、填空题
7．若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则点M 到该抛物线焦点的距离为__ 3
2
__.
解析 设点 M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧
y 2M ＝2x M ，
x 2M ＋y 2
M
＝3，即x 2M ＋2x M －3＝0， 解得x M ＝1或x M ＝－3(舍去)．
故点M 到该抛物线焦点的距离为x M ＋12＝1＋12＝3
2
.
8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__ x ＝－5
4
__.
解析
如图所示，线段OA 所在的直线方程为y ＝12x ，其中垂线方程为2x ＋y －5
2＝0，令y ＝0，
得x ＝5
4
，即F ⎝⎛⎭⎫54，0，
∴p ＝52，y 2＝5x ，其准线方程为x ＝－54
.
9．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB →＝OA →＋OF →(O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是__1__.
解析 由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知 k 存在)，则 A (0，－k )．又∵OB →＝OA →＋OF →，∴B (1，－k )．由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，
∴S △BOF ＝12·|OF |·|y B |＝1
2×1×2＝1.
三、解答题
10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上—点，若OC →＝OA →＋λOB →
，求λ的值．
解析 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p
4
.
由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4， 从而抛物线方程是y 2＝8x .
(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．
设OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，
又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2
＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
11．双曲线y 2a 2－x 2
4＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶
点上．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．
解析 (1)双曲线的离心率e ＝
1＋4
a
2＝5， 又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0,1)，∴抛物线的焦点为(0,1)，又p >0，∴p
2＝1，∴
抛物线方程为x 2＝4y .
(2)由题知直线l 的斜率必存在．
设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．
∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 22
， 当l 1⊥l 2时，x 12·x 22
＝－1，∴x 1x 2＝－4， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0， ∴Δ＝(－4k )2－4(－4k )>0，∴k <－1或k >0.①
由根与系数的关系，得x 1·x 2＝－4k ＝－4，
∴k ＝1，满足①，即直线l 的方程为x －y ＋1＝0.
12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，O A →·O B →
＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．
解析 (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得
y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)
设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4. ∵OA →·OB →＝12，∴x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，
解得p ＝2，
∴抛物线的方程为y 2＝4x .
(2)由(1)中的(*)化为y 2－4my ＋8＝0，得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.
设AB 的中点为 M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①
又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②
由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±3.
∴直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.。