牛鞭效应的模拟4

零、预备知识：不确定需求下的多周期单仓库订货和库存变化的模拟
1．基本情况：
考虑的周期：t=1,2,3,…100。

需求情况：每个周期t 的需求为()d t （已知）。

仓库的订货策略：基于库存水平的(s,S)策略，即当库存水平低于s 时，订货，将库存水平提高到S 。

也就是说，若当前库存水平为INV ，若INV < s,则订货量为S －INV ；若INV >= s,不订货。

若干库存量的定义：
在库库存量(On-hand Inventory)：就是马上能满足需求的实际仓库中存在的货物量。

需求d(t)
订货量q(t)
净库存量(Inventory Level)：净库存量等于在库库存量减去缺货拖后量，净库存量大于0时为在库库存量，小于0时为缺货拖后量。

净库存量＝在库库存量－缺货拖后量
在途库存量(In-transit Inventory)：表示已订货但尚未到达的货物量。

库存水平(Inventory Position)：就是可望用于满足需求的库存量，其中包括已订货尚未到达的货物量；库存水平等于净库存量与在途库存量之和。

因为订货时不仅要考虑当前的在库库存量，同时也要考虑到在途量，所以通常情况下的订货策略是根据库存水平给出的。

库存水平＝在库库存量＋在途库存－缺货拖后量
库存水平＝在途库存量＋在库库存量－缺货拖后量
库存水平＝在途库存量＋净库存量；
净库存量＝在库库存量－缺货拖后量；
仓库订货提前期：L＝2周期。

仓库订货、到达等的时序关系：
1)预定的先期的订货到达
2)计算当前库存水平
3)确定订货量
期初
期中
期末
4)发出订单
5)实际需求发生
6)计算当前净库存量（在库库存量和缺货量）
每个周期内不同的事件和重要时刻点
每个周期的成本计算：不论缺货成本还是库存成本的计算都以本周期的期末净库存来计算，也就是需求发生后的时刻的净库存。

净库存大于零，记库存持有成本，否则记缺货惩罚成本。

库存持有费：h 元/周期、件
缺货惩罚费：p元/周期、件
因此每个周期的成本=库存持有费×在库库存量 + 缺货惩罚费×缺货量.
因此1，2，…,T周期内的总成本为上述每个周期的成本之和。

2 参数值：
当初始库存量为0（在库库存、在途库存量和缺货量均为0），
（s，S）策略中s＝100，S＝300。

c＝1 元/周期、件
库存持有费：
h
c＝2 元/周期、件
缺货惩罚费：
p
需求已知为(1)
d=95,…。

d=152，(3)
d=50，(2)
提前期为2周；
仓库的库存变化表:
周期
在库库存量在途量缺货量净库存量库存水平
需
求
量
订
货
量
持
有
成
本
缺
货
成
本期初
订货
前B
期初
订货
后C
期
末
E
期初
订货
前B
期初
订货
后C
期
末E
期初
订货
前B
期初
订货
后C
期
末E
期初
订货
前B
期初
订货
后C
期末
E
期初
订货
前B
期初
订货
后C
期
末E
1 0 0 0 0 300 300 0 0 50 0 0 -50 0 300 250 50 300 0 100
2 0 0 0 300 300 300 50 50 202 -50 -50 -202 250 250 98 152 0 0 404
3 98 98 3 0 202 202 0 0 0 98 98 3 98 300 205 95 202 3 0
4 3 3 0 202 202 202 0 0 100 3 3 -100 20
5 205 102 103 0 0 200
5 102 102 0 0 0 0 0 0 10 102 102 -10 102 102 -10 112 0 0 20
……
说明：
我们关心的时刻点：
B时刻：期初订货前
C时刻：期初订货后
E时刻：期末
因此：
第一周期：
因为期初B时刻库存水平为0，故发出订单300；
此300的订单实际上要到第3周期的期初才到货，因此在本周期的B时刻、C时刻变为在途库存量300；
在本周期内没有到货，在库库存一直为0；
需求发生为50；
因此本周期的期末存在缺货量为50。

因此期末的净库存为－50；
按照定义，期末的库存水平＝250。

第二周期：
因为期初B时刻库存水平（就等于第2周期期末的库存水平250）大于100，故不订；
期初C时刻库存水平保持为250，需求发生为152，因此本周期的期末库存水平为98。

在本周期内没有到货，在库库存一直为0；
第一周期发出的订单仍然在途，因此在途库存保持为300；
缺货量期初仍然维持上周期的值50，但到期末由于需求发生了152，因此增加到202。

第三周期：
因为期初B时刻库存水平为98，小于100，故订货，将库存水平提高到300，实际订货量为202。

期初时刻A时，在库库存即为上一周期期末的在库库存0，缺货量为202。

到期初时刻B，第一周期发出的订单300到达，此刻马上满足原缺货拖后量202（装运发出），因此还剩下98作为此刻的在库库存。

本期的需求为95，因此期末满足需求（装运发出）后，还剩下3个是在库库存。

因此类推，… …
3. Excel编制的技巧：
从上述分析可以发现各个变量之间的关系：
时刻点B时的库存水平是关键。

周期t的订货量＝if（周期t时刻点B时的库存水平 < s，S －周期t时刻点B时的库存水平,0）;
周期t时刻点C时的库存水平=周期t时刻点B时的库存水平 + 周期t的订货量;
周期t时刻点E时的库存水平=周期t时刻点C时的库存水平 -周期t的需求量;
当运输提前期L＝2周时：
周期t时刻点B时的在途量＝周期t-1的订货量；
周期t时刻点C时的在途量＝周期t－1的订货量＋周期t的订货量；
周期t时刻点E时的在途量＝周期t－1的订货量＋周期t的订货量；
净库存＝库存水平－在途量；
因此
周期t时刻点B时的净库存＝周期t时刻点B时的库存水平－周期t时刻点B时的在途量；
周期t时刻点C时的净库存＝周期t时刻点C时的库存水平－周期t时刻点C时的在途量；
周期t时刻点E时的净库存＝周期t时刻点E时的库存水平－周期t时刻点E时的在途量；
在每个周期的每个时刻点都成立。

在库库存＝if （净库存>0, 净库存,0）; 在每个周期的每个时刻点都成立。

缺货量＝if （净库存>0, 0，－净库存）; 在每个周期的每个时刻点都成立。

4．复杂情况
需求：每个周期t 的需求为t d ，都满足同样的随机分布，比如正态分布
22(,)(100,10)N N μσ=。

按照随机数生成方法，可以利用公式12)x R π=生成（0，1）正态分布的伪随
机数，然后变换为
22
(,)(100,10)N N μσ=，即： d(t)= ROUND(100+10*SQRT(-2*LN(RAND())*COS(2*PI()*RAND())),0)
或者使用Excel 的专用函数：
d(t)=round(norminv(rand(),100,10),0)
问题：需求是上述不确定情况下，怎样确定（s,S ）的值，才可以使得100个周期的总成本最小？实际上就是求每个周期的平均成本最小化。

简化问题：若仓库采取S 策略，S 的值怎样取？ 一般地，仓库最大库存水平S 的计算
:
(1)S L z μσ=+⨯+⨯
其中: Z ——是一个与服务水平有关的常量
一、供应商和零售商不共享需求预测数据情况下的牛鞭效应的模拟
1．系统结构
考虑的周期：t=1,2,3,…100。

需求情况：每个周期t 的需求为()d t 。

()(1)d t d t μρε=+⋅-+，μ为非负常数，取150；ρ为自相关系数，取0.2；
零售商和供应商的订货策略：基于库存水平的S 策略，即当库存水平低于S 时，订货，将库存水平提高到S 。

也就是说，若当前库存水平为INV ，若INV < S,则订货量为S －INV ；若INV >= S,不订货。

零售商为1S ，供应商为2S 。

需求d(t)
订货量
供应商的提前期为2L ，零售商提前期为1L
2．实际需求的模拟
()(1)d t d t μρε=+⋅-+，μ为非负常数，ρ是自相关系数，满足1ρ<； ε是误差随机变量，服从正态分布（均值为0，方差为2σ）。

若μ＝100，ρ＝0.2，2σ＝102
在excel 中生成：
d(t)= 100+0.2*d(t-1)+int(10*sqrt(-2*ln(rand())*cos(2*pi()*rand())).
d(t)= 100+0.2*d(t-1)+int(norminv(rand(),0,10))).
3．零售商的订货和库存变化情况模拟
零售商的最大库存水平1S 的确定：
一般地，零售商的最大库存水平S1的计算
: 1111(1)S L z μσ=+⨯+⨯⨯ 其中: Z ——是一个与服务水平有关的常量，假设服务率为95％，则Z ＝1.65.
由于零售商实际上不知道需求的确切值，而是根据需求的历史数据进行估计，将它估计为
一个正态分布211(,)N μσ ，即每个周期的需求均值为1μ ，标准差为1σ 。

零售商通过对实际需求的历史数据进行观测来估计1μ 和1σ 的值——移动平均法：
1
11()()t i t p
d i t p μ-=-=∑ ， 121211ˆ[()()]()1t i t p d i i t p μσ-=--=-∑ ，
其中1p 为移动平均的周期数。

这些估计值在随周期t 变化，因此零售商的最大库存水平S1也是一个随周期t 变化的量：
1111()(1)()()S t L t z t μσ=+⨯+⨯
零售商订货量1()q t 的确定
周期t的订货量
1()
q t＝if（周期t时刻点B时的库存水平 <
1()
S t，
1()
S t－周期t时刻点B时的库存水平,0）;
复杂问题：实际上零售商的订货量
1()
q t并不是总可以在t周期从供应商发出。

考虑如下情况，如果当前（t周期）供应商只有50的库存量（在库库存量），而零售商提出订货量为100，则此订货量中的一半可以得到发运，而另外的50要记为供应商向零售商供应的缺货拖后，要以后（比如t＋1周期）供应商有现货（在库库存）时才可以安排发运。

零售商的库存变化模拟
T 周期向零售商的本期订单装运量1ˆ()q
t ＝min （期初时刻C 的供应商的在库库存，零售商的订货1()q t ）
； T 周期向零售商的缺货拖后满足量＝min （期初时刻A 的供应商对零售商的缺货量，期初时刻A 的供应商接受到的从上游来的订货22()q t L -）；
因此：
T 周期供应商向零售商的总的货物装运量＝本期订单装运量1ˆ()q t ＋向零售商的缺货拖后满足量。

因此：零售商
当运输提前期L ＝2周时：
周期t 时刻点B 时的在途量 ＝ 周期t －1供应商向零售商的总的货物装运量；
周期t 时刻点C 时的在途量 ＝ 周期t －1供应商向零售商的总的货物装运量 ＋ 周期t 供应商向零售商的总的货物装运量；
周期t 时刻点E 时的在途量 ＝周期t －1供应商向零售商的总的货物装运量 ＋ 周期t 供应商向零售商的总的货物装运量；
4．供应商的订货及库存变化模拟
供应商对零售商订货量的观测和预测
供应商看不到最终的客户需求d(t)，但是他可以对零售商的订货量1()q t 进行观测和估计。

假设
供应商也认为1()q t 满足正态分布222(,)N μσ ，即每个周期的1
()q t 的均值为2μ ，标准差为2σ 。

零售商通过对实际需求的历史数据进行观测来估计1μ 和1σ 的值——移动平均法：
21122
()()t i t p
q i t p μ-=-=∑ ，
212
12
222ˆ[()()]()1t i t p q i i t p μσ-=--=-∑ ，
其中2p 为移动平均的周期数。

这些估计值在随周期t 变化，因此零售商的最大库存水平S2也是一个随周期t 变化的量：
2222()(1)()()S t L t z t μσ=+⨯+⨯⨯
供应商订货量2()q t 的确定
周期t 的订货量＝if （周期t 时刻点B 时的库存水平 <2()S t ，2()S t － 周期t 时刻点B 时的库存水平,0）;
供应商的库存变化模拟
重要关系：
T 周期向零售商的本期订单装运量1ˆ()q
t ＝min （期初时刻C 的供应商的在库库存，零售商的订货1()q t ）
；
供应商t 周期发出的总
T 周期向零售商的缺货拖后满足量＝min （期初时刻A 的供应商对零售商的缺货量，期初时刻A 的供应商接受到的从上游来的订货22()q t L -）；
因此：
T 周期供应商向零售商的总的货物装运量＝本期订单装运量1ˆ()q t ＋向零售商的缺货拖后满足量。

5．牛鞭效应的计算
根据100个周期内的模拟数据，分别计算()d t 、1()q t 、2()q t 的平均值AVG 和方差STD 计算
1(())(())STD q t STD d t ，21(())(())
STD q t STD q t ，2(())(())STD q t STD d t 的值。

二、供应商和零售商共享需求预测数据情况下的牛鞭效应的模拟
零售商对需求的估计正态分布211(,)N μσ ，即每个周期的需求均值为1μ ，标准差为1σ 。

零售商通过对实际需求的历史数据进行观测来估计1μ 和1σ 的值——移动平均法：
1
11()
()t i t p d i t p μ-=-=∑ ， 121211ˆ[()()]()1t i t p d i i t p μσ-=--=-∑ ，
其中1p 为移动平均的周期数。

这些估计值在随周期t 变化，因此零售商的最大库存水平S1是一个随周期t 变化的量：
1111()(1)()()S t L t z t μσ=+⨯+⨯
供应商如果能够直接得到这些估计值1μ 和1σ 的值，则供应商的最大库存水平S2计算为：
2211()(1)()()S t L t z t μσ=+⨯+⨯
在上述情况下，重新分析牛鞭效应。

三、讨论
1．通过模拟100个周期的库存变化情况，得出的牛鞭效应情况与Hau Lee的理论模型的结
论：
2
2
1
()22
(1)
()
k
k i i
i
Var q L L
Var D p p
=
≥++
∏有什么相同和不同？
2．通过改变参数，分析牛鞭效应的强弱：
●移动平均的p1和p2的不同取值；
●提前期L1、L2的不同取值；
●需求模式的变化，需求均值和方差的不同取值，μ、ρ、ε的不同取值；
3．人为制造一个需求的突变，比如在第20周期的需求是1000，基本上是平均值的10倍，
观察系统对此突变需求的响应过程，零售商和供应商要到第几周期才会对此突变需求做出实质的反应？不同的需求共享情况下有如何？
4.计算实际的需求满足率是多少？
●100周期的缺货总量/100周期的需求总量=?
●100个周期中发生缺货的周期数量/100=?
5．更加多级的情况，比如再增加一级，供应商还有一级上游供应商；分配形和装配形供应链的情况如何？
附录：Excel技巧
1．每个格子的名称：
A10―――表示A列10行对应的一个格子
A10：A20————表示从A10一直到A20的一系列格子
2．每个格子的值
显示在每个格子中，可以是数字，文本，关系式
对一个格子A10赋值，鼠标点到此格子中，在工具栏里输入
比如：
12 ↓——A10格子的值为数值12
SSS ↓——A10格子的值为文本SSS
=A20 ——公式：A10格子的值等于A20格子的值
=sheet2！A20 ——公式：A10格子的值等于页面2中A20格子的值
=sin(A20) ——公式：A10格子的值等于A20格子的值的sin函数值。

=rand(A20)
正态分布的模拟:
可以用到的函数:
sum(), max(), min(), avg(), std();
sin(),cos(),tan(),pi();
查找函数：lookup(),count(),match(),
3. 格子的复制
演示.
经过拖动复制后, 列复制时, 格式的列编号会自动增加; 行复制时, 格式的行编号会自动增加.
如果希望公式中的某个格子的行/列序号不变,可以为: $A$10
$A10
A$10
例: 实现1 2 3…的一个列
A10=1
A11=A10+1
拖动A11,到A20.
4 数据的处理
排序
分列---处理外部文本数据, 将文本格式存储的数据表分开为行列的数据表
例:
1 2 0 3 4 5 6 6 7 8 8 10 10 10 10 10 0
0 0 0 0 0 0 7 7 8 9 9 0 0 0 0 11 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
大量数据的拷贝
与notepad之间的无格式拷贝
拷贝格式的选择：
完全拷贝
仅仅拷贝值
原矩阵数据拷贝为转置
5 与外部数据的交换
与SQL数据库的交换.，导入和导出数据
6 线性优化与非线性优化工具
7 图表工具。