高中数学 312用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1
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[答案] 1.562 5
[解析] 由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈ －0.029<0，即 f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且 1.562 5－1.556 25 ＝0.006 25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值可取 为 1.562 5.
[答案] D
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
[答案] B
3．设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在
(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程
的根落在区间( )
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
课堂基础巩固
1 ． 若 函 数 f(x) 的 图 象 是 连 续 不 断 的 ， 且 f(0)>0 ， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数 f(x)在区间(1,2)内有零点 C．函数 f(x)在区间(0,2)内有零点 D．函数 f(x)在区间(0,4)内有零点
若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任 务了；若天平不平衡，则假币在较轻的那 6 枚中；将较轻的 6 枚再均分为 2 组，分别置于天平上测量，则假币将会出现在 较轻的那 3 枚中；
再从这 3 枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一 枚为假币，若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币．
因此，发现假币最多需进行 4 次比较．
则 f(141)＝ln141＋2×141－6＝ln141－12>0. ∴f(141)·f(52)<0. ∴x0∈(52，141)． ∵|141－52|＝14≤14， ∴满足题意的区间为(52，141)．
课后强化作业（点此链接）
(1.437 5,1.5)
∵|1.5－1.4375|＝0.062 5<0.1， ∴函数的正实数零点近似值可以取为 1.437 5.
规律总结：此类问题的求解，首先是大致区间的确定， 要使区间长度小，否则会增加运算次数和运算量．虽然此类 题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性．另外有计 算到最后一步时，区间(a，b)的长度应小于精确度，此时区间 (a，b)的端点之一就是符合精确度要求的近似值．
x1＝1＋2 2＝1.5
f(x1)＝0.375>0
(1,1.5)
x2＝1＋21.5＝1.25
f(x2)＝－1.046 9<0
(1.25,1.5)
x3＝1.25＋2 1.5＝1.375 f(x3)＝－0.400 4<0
(1.375,1.5) x4＝1.3752＋1.5＝1.4375 f(x4)＝－0.029 5<0
探索延拓创新
命题方向 3 二分法在实际中的应用
[例 3] 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指 挥部的电话线路发生了故障．这是一条长 10 km 的线路，电 线杆的间距为 100 m．如何迅速查出故障所在呢？
[分析] 考虑用二分法思想，通过找中点不断将区间一 分为二，逐渐逼近在两根电线杆之间．
用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数据 如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得 f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值(精 确度 0.01)为________．
[解析] 如图所示，
首先从 AB 线路的中点 C 开始检查，当用随身带的话机向 两端测试时，发现 AC 段正常，判定故障在 BC；再到 BC 段 中点 D 检查，这次发现 BD 段正常，可见故障出在 CD 段；再 到 CD 段中点 E 来检查……每查一次，可以把待查的线路长度 缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到 100 m 左右，查 7 次就可以了．
第三章 函数的应用
第三章
3．1 函数与方程
第三章
3．1.2 用二分法求方程的近似解
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
方法警示探究 课堂基础巩固
课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．函数 y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则 b 的取值范围为__b_≥__0__. 2．函数 y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为__－__1_,_1_,3__. 3．方程 log2x＋x2＝2 的实数解的个数为__0__.
新课引入 某节目中有一个游戏：主持人展示了一台价值为整数且 在 1 000 元以内的 MP5，让选手去猜它的价格．参赛者说 “800”，主持人说“高了”；参赛者说“400”，主持人说“低 了”；……如果是你，你知道接下来如何竞猜吗？ 遵守这种方法能猜到具体的价格吗？
自主预习 1．十个大小相同的小球中，有一个较轻，其余的一样重， 我们用天平找出其中较轻的小球时，可如下操作： 先将 10 个小球分两堆，每堆 5 个放置于天平两端，则轻 球必在较__轻___的一端．把另一端的小球取下，把这一端取下 二球放置于另一端，再取下一球，若不平衡，则轻球必在较 __轻__的一端，把此二球置于天平两端，则可找出轻球；若平 衡，则轻球必为_取__下__的__小__球___．
(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似 值 a 或 b，否则重复(2)～(4)
思路方法技巧
命题方向 1 二分法的概念 [例 1] 下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分 法求图中函数零点的是( )
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象； ②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分 法的条件．
D．不能确定
[答案] B
[ 解 析 ] 由 于 f(1.5)·f(1.25)<0 ， 故 方 程 的 根 落 在 区 间 (1.25,1.5)内．
4．根据表中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个
根所在的区间为( )
x －1 .72 7.39 20.09
[解析] (1)证明：f(x)＝lnx＋2x－6 在(0，＋∞)上是增函 数，
∴f(x)至多有一个零点． 由于 f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0， ∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2,3)内至少有一个零点． ∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
(2)解：∵f(2)<0，f(3)>0，取 x1＝2＋2 3＝52， f(52)＝ln52＋5－6＝ln52－1<0， ∴f(3)·f(52)<0. ∴f(x)零点 x0∈(52，3)． 取 x2＝52＋2 3＝141，
x＋2 1 2 3 4
5
A.(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
[答案] C
[解析] 令 f(x)＝ex－x－2，则 f(－1)＝0.37－1<0， f(0)＝1－2<0， f(1)＝2.72－3<0， f(2)＝7.39－4>0， f(3)＝20.09－5>0， ∴f(1)·f(2)<0，故函数 f(x)的零点位于区间(1,2)内，即方程 ex－x－2＝0 的一个根所在区间为(1,2)．
2．对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝ f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在区间__一__分__为__二___．使 区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 叫做二分法．
3．给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 如下：
[解析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数 值异号．在 B 中，不满足 f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点， 由于 A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零 点．
规律总结：(1)准确理解“二分法”的含义．二分就是 平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为 二，逐步逼零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据 所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零 点．
5．(杭州夏衍中学 2011～2012 学年高一期末)用二分法求 f(x)＝0 的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984， f(1.375)＝－0.260，下一个求 f(m)，则 m＝________.
[答案] 1.4375
6．已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明 f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大 于14.
规律总结：(1)精确度 ε 与等分区间次数之间有什么关 系？
若初始区间选定为(a，b)，则区间长度为 b－a，等分 1 次，区间长度变为b－2 a；等分 2 次，区间长度变为b－22a；则 等分 n 次，区间长度变为b－2na.要想达到精确度，需满足b－2na≤ε ⇔n≥log2b－ε a.
如选取精确度为 0.1，初始区间为(2,3)，经计算 log230－.12＝ log210≈3.32，则需等分 4 次即可达到精确度 0.1.如上题中，ε ＝100，n≥log210100000＝log2100≈7.
(2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满 足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能 应用“二分法”求函数零点．
下面关于二分法的叙述，正确的是( ) A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的 任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只有在求函数零点时才用二分法
(1)确定区间[a，b]，验证_f_(a_)_·f_(_b_)<_0_，给定精确度 ε (2)求区间[a，b]的__中__点__c (3)计算 f(c) ①若 f(c)_＝__0__，则 c 就是函数的零点 ②若_f_(_a_)f_(c_)_＜__0_，则令 b＝c，(此时零点 x0∈(a，c)) ③若_f_(_b_)f_(c_)_<_0__，则令 a＝c，(此时零点 x0∈(c，b))
在 26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们相同的假 币(重量较轻)，现在只有一台天平，请问：最多几次就可以发 现这枚假币？
[解析] 将 26 枚金币分为两组，每组 13 枚，分别放于天 平左右两侧测量，则假币在较轻的那一组中；
从这较轻的 13 枚金币中任取 12 枚均分为 2 组，分别放 于天平左右两侧测量，
[答案] B
命题方向 2 用二分法求函数的零点问题 [例 2] 用二分法求函数 f(x)＝x3－3 的一个正实数零点 (精确到 0.1)．
[解析] 由于 f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2) 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
[解析] 由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈ －0.029<0，即 f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且 1.562 5－1.556 25 ＝0.006 25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值可取 为 1.562 5.
[答案] D
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
[答案] B
3．设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在
(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程
的根落在区间( )
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
课堂基础巩固
1 ． 若 函 数 f(x) 的 图 象 是 连 续 不 断 的 ， 且 f(0)>0 ， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数 f(x)在区间(1,2)内有零点 C．函数 f(x)在区间(0,2)内有零点 D．函数 f(x)在区间(0,4)内有零点
若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任 务了；若天平不平衡，则假币在较轻的那 6 枚中；将较轻的 6 枚再均分为 2 组，分别置于天平上测量，则假币将会出现在 较轻的那 3 枚中；
再从这 3 枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一 枚为假币，若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币．
因此，发现假币最多需进行 4 次比较．
则 f(141)＝ln141＋2×141－6＝ln141－12>0. ∴f(141)·f(52)<0. ∴x0∈(52，141)． ∵|141－52|＝14≤14， ∴满足题意的区间为(52，141)．
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(1.437 5,1.5)
∵|1.5－1.4375|＝0.062 5<0.1， ∴函数的正实数零点近似值可以取为 1.437 5.
规律总结：此类问题的求解，首先是大致区间的确定， 要使区间长度小，否则会增加运算次数和运算量．虽然此类 题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性．另外有计 算到最后一步时，区间(a，b)的长度应小于精确度，此时区间 (a，b)的端点之一就是符合精确度要求的近似值．
x1＝1＋2 2＝1.5
f(x1)＝0.375>0
(1,1.5)
x2＝1＋21.5＝1.25
f(x2)＝－1.046 9<0
(1.25,1.5)
x3＝1.25＋2 1.5＝1.375 f(x3)＝－0.400 4<0
(1.375,1.5) x4＝1.3752＋1.5＝1.4375 f(x4)＝－0.029 5<0
探索延拓创新
命题方向 3 二分法在实际中的应用
[例 3] 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指 挥部的电话线路发生了故障．这是一条长 10 km 的线路，电 线杆的间距为 100 m．如何迅速查出故障所在呢？
[分析] 考虑用二分法思想，通过找中点不断将区间一 分为二，逐渐逼近在两根电线杆之间．
用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数据 如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得 f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值(精 确度 0.01)为________．
[解析] 如图所示，
首先从 AB 线路的中点 C 开始检查，当用随身带的话机向 两端测试时，发现 AC 段正常，判定故障在 BC；再到 BC 段 中点 D 检查，这次发现 BD 段正常，可见故障出在 CD 段；再 到 CD 段中点 E 来检查……每查一次，可以把待查的线路长度 缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到 100 m 左右，查 7 次就可以了．
第三章 函数的应用
第三章
3．1 函数与方程
第三章
3．1.2 用二分法求方程的近似解
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
方法警示探究 课堂基础巩固
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课前自主预习
温故知新 1．函数 y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则 b 的取值范围为__b_≥__0__. 2．函数 y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为__－__1_,_1_,3__. 3．方程 log2x＋x2＝2 的实数解的个数为__0__.
新课引入 某节目中有一个游戏：主持人展示了一台价值为整数且 在 1 000 元以内的 MP5，让选手去猜它的价格．参赛者说 “800”，主持人说“高了”；参赛者说“400”，主持人说“低 了”；……如果是你，你知道接下来如何竞猜吗？ 遵守这种方法能猜到具体的价格吗？
自主预习 1．十个大小相同的小球中，有一个较轻，其余的一样重， 我们用天平找出其中较轻的小球时，可如下操作： 先将 10 个小球分两堆，每堆 5 个放置于天平两端，则轻 球必在较__轻___的一端．把另一端的小球取下，把这一端取下 二球放置于另一端，再取下一球，若不平衡，则轻球必在较 __轻__的一端，把此二球置于天平两端，则可找出轻球；若平 衡，则轻球必为_取__下__的__小__球___．
(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似 值 a 或 b，否则重复(2)～(4)
思路方法技巧
命题方向 1 二分法的概念 [例 1] 下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分 法求图中函数零点的是( )
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象； ②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分 法的条件．
D．不能确定
[答案] B
[ 解 析 ] 由 于 f(1.5)·f(1.25)<0 ， 故 方 程 的 根 落 在 区 间 (1.25,1.5)内．
4．根据表中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个
根所在的区间为( )
x －1 .72 7.39 20.09
[解析] (1)证明：f(x)＝lnx＋2x－6 在(0，＋∞)上是增函 数，
∴f(x)至多有一个零点． 由于 f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0， ∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2,3)内至少有一个零点． ∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
(2)解：∵f(2)<0，f(3)>0，取 x1＝2＋2 3＝52， f(52)＝ln52＋5－6＝ln52－1<0， ∴f(3)·f(52)<0. ∴f(x)零点 x0∈(52，3)． 取 x2＝52＋2 3＝141，
x＋2 1 2 3 4
5
A.(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
[答案] C
[解析] 令 f(x)＝ex－x－2，则 f(－1)＝0.37－1<0， f(0)＝1－2<0， f(1)＝2.72－3<0， f(2)＝7.39－4>0， f(3)＝20.09－5>0， ∴f(1)·f(2)<0，故函数 f(x)的零点位于区间(1,2)内，即方程 ex－x－2＝0 的一个根所在区间为(1,2)．
2．对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝ f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在区间__一__分__为__二___．使 区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 叫做二分法．
3．给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 如下：
[解析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数 值异号．在 B 中，不满足 f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点， 由于 A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零 点．
规律总结：(1)准确理解“二分法”的含义．二分就是 平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为 二，逐步逼零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据 所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零 点．
5．(杭州夏衍中学 2011～2012 学年高一期末)用二分法求 f(x)＝0 的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984， f(1.375)＝－0.260，下一个求 f(m)，则 m＝________.
[答案] 1.4375
6．已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明 f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大 于14.
规律总结：(1)精确度 ε 与等分区间次数之间有什么关 系？
若初始区间选定为(a，b)，则区间长度为 b－a，等分 1 次，区间长度变为b－2 a；等分 2 次，区间长度变为b－22a；则 等分 n 次，区间长度变为b－2na.要想达到精确度，需满足b－2na≤ε ⇔n≥log2b－ε a.
如选取精确度为 0.1，初始区间为(2,3)，经计算 log230－.12＝ log210≈3.32，则需等分 4 次即可达到精确度 0.1.如上题中，ε ＝100，n≥log210100000＝log2100≈7.
(2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满 足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能 应用“二分法”求函数零点．
下面关于二分法的叙述，正确的是( ) A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的 任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只有在求函数零点时才用二分法
(1)确定区间[a，b]，验证_f_(a_)_·f_(_b_)<_0_，给定精确度 ε (2)求区间[a，b]的__中__点__c (3)计算 f(c) ①若 f(c)_＝__0__，则 c 就是函数的零点 ②若_f_(_a_)f_(c_)_＜__0_，则令 b＝c，(此时零点 x0∈(a，c)) ③若_f_(_b_)f_(c_)_<_0__，则令 a＝c，(此时零点 x0∈(c，b))
在 26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们相同的假 币(重量较轻)，现在只有一台天平，请问：最多几次就可以发 现这枚假币？
[解析] 将 26 枚金币分为两组，每组 13 枚，分别放于天 平左右两侧测量，则假币在较轻的那一组中；
从这较轻的 13 枚金币中任取 12 枚均分为 2 组，分别放 于天平左右两侧测量，
[答案] B
命题方向 2 用二分法求函数的零点问题 [例 2] 用二分法求函数 f(x)＝x3－3 的一个正实数零点 (精确到 0.1)．
[解析] 由于 f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2) 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)