微积分2试卷

一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题2分，共14分.）
1.求222z x x y =--的驻点为_____________________.
2.已知()f x 的弹性函数为x ,则()f x =_______________________.
3.设2
()x t
x xe
dt ϕ-=⎰
，则'()x ϕ=______________________________.
4.x
e
dx +∞--∞
=⎰
______________________________.
5.差分方程14t t y y t +-=的通解为______________________________.
6.函数2()sin f x x =的麦克劳林级数等于________.
7.微分方程'cos cos y y x x +=的通解为___________________________.
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题2分，共14分.）
1.下列曲面方程中，表示柱面的是______________.
A.2221x y -=
B.22x y z +=
C.2222x y z -=
D.22x y z -= .
2.下列函数中，连续但不可微的是________.
A. 22
sin()
, (,)(0,0),(,)0, 0.xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪==⎩ B. 22sin()z x y =+
C. 2
2
, (,)(0,0),
(,)0, 0.
xy x y f x y x y
x y ⎧≠⎪
=+⎨
⎪==⎩
D.(1)xy z xy e =+ .
3.下列说法中正确的是____________.
A.一个二元函数在一点存在极值的必要条件是在该点处一阶偏导数全为0；
B.一个一元函数如果存在原函数则一定连续；
C.一个二元函数如果存在一阶偏导数则一定连续；
D ．一个二元函数如果存在连续的一阶偏导数则一定可微； 4.下列广义积分中，收敛的是__________. A.
10
ln xdx ⎰
B .
1ln e
dx
x
∞⎰
C .
1ln e
dx
x x
∞⎰
D.
1
1dx x
∞
⎰
5.下列级数中收敛的是________.
A. 1
1sin
n n
∞
=∑ B. 1
1cos
n n
∞
=∑
C. 1
sin n n π∞=∑ D. 1
1
(1)
(1)
n n
n
n n
n -∞
=-+∑
.
6.设12(), ()y x y x 是一阶非齐次线性方程'()()()()y x p x y x f x +=的两个不相同的特解，则
'()()()()y x p x y x f x +=的通解是______________.
A. 12()()y x y x +
B. 12()()
y x y x C. 121(()())()C y x y x y x -+ D. 12()()y x y x -
7.110
1
(,)y y f x y dxdy --=
⎰
⎰
________.
A. 0111100
(,)(,)x x f x y dxdy f x y dxdy
+--+
⎰⎰⎰⎰
B. 10
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
C. 111
(,)f x y dxdy
-⎰
⎰
D. 120
(,)x f x y dxdy
-⎰
⎰
.
三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.） 1. 2
11dx x
-⎰
2. sin cos 3sin 2x x dx x
-++⎰
3.
13
11dx x
-⎰
四、（请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.） 1.设arctan
y z x
=，求dz 及
2
2
2
2
z z x
y
∂∂+
∂∂.
2.求方程'''y y y x ++=的通解。

五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求2D
xy dxdy ⎰⎰,其中{}22(,)12D x y x y =≤+≤.
六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 设{}222(,)(1)1, 2, 2D x y x y y x x =-+≥≤≤，求： （1）区域D 的面积；
（2）区域D 绕y 旋转一周所形成的立体的体积.
七、（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共8分.）
1.求极限0
sin lim x x t dt
t x
→⎰
2．求定积分()
2
ln(1sin )
ln 1sin cos sin cos x dx x x x x π
++++⎰
八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
求幂级数()20
(1)
21!
n
n
n x
n ∞
=-+∑的收敛区间及和函数，并利用所得结果计算10
sin x dx x
⎰
（写成数项级
数）。

九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
消费者购买商品消费的目的是满足自身的某种欲望或需求，我们称这种从商品消费中获得的满足感为效用（utility ），效用数量越多表示消费者从商品消费中获得的满足感越强。

效用的多少依赖于消费者所消费的商品量，因此我们把效用视为商品数量的函数，例如某消费者消费X 单位A 商品和Y 单位B 商品所获得的效用可表示为
(,), 0,0.U U X Y X Y =≥≥
我们称上面的函数为效用函数，并假设它具有连续的一阶和二阶偏导数，且
'
'
''
''
0, 0, 0, 0X Y XX YY U U U U >><<。

如果
A ，
B 两种商品在市场上的单位售价分别为X P 和Y P （它
们均为正），该消费者共有a 单位货币，则他必须合理地分配自己的货币用于购买这两种商品，以获取最大的效用。

这种最优的资金分配方案也可以用商品数量(),X Y **来等价地表示，即
(),X
Y
*
*
是下列条件极值问题的解：
subject to m ax (,)
X Y U XP Y a
X P Y +≤ （i ）
即求效用函数(,)U U X Y =在预算约束X Y XP YP a +≤下的最大值点。

我们构造拉格朗日函数如下：
(,,)(,)(),X Y L X Y U X Y XP YP a λλ=-+- （ii ）
试证明：
（1） 如果(),,X Y λ***是拉格朗日函数(,,)L X Y λ的无条件最大值点，则(),X Y **一定是条件极值
问题（i ）的解；
（2） 如果(),X Y **是条件极值问题（i ）的解，则X Y XP YP a +=；
（3） 如果(),X Y **是条件极值问题（i ）的解，则存在实数λ*
使得(),,X Y λ***是拉格朗日函
数(,,)L X Y λ的驻点。

十、证明题（请写出推理步骤及结果，8分.）
试证20
lim sin 0n
n xdx π
→∞
=⎰。