Chapter7二维单元(不含拉格朗日)

图7.11 轴对称矩形单元
六、等参单元

在一维问题中存在一个现象：
使用单一一组参数（如形函数）定义u，v，T等 未知变量，并使用同样的参数（同一形函数） 表示几何关系----等参单元、等参公式

对于二维单元也存在相似情况。
六、等参单元

以固体力学问题为例：
U ( e) SiU ix S jU jx S mU mx S nU nx V ( e) SiU iy S jU jy S mU my S nU ny
2、轴对称矩形单元

矩形线性单元：
( e ) S i i S j j S m m S n n
y x Si 1 1 l w x y S j 1 l w
xy lw y S n 1 w Sm

三、线性三角形单元
矩形单元最主要的缺点：不能很好地满足弯 曲边界的要求。 如何解决？ 三角形单元
图7.5 使用三角形单元 描述二维温度分布
三、线性三角形单元
T ( e ) a1 a2 X a3Y
推导方法同前
T ( e ) S i Ti S j T j S k Tk
1 i i X iY Si 2A 1 j j X jY Sj 2A 1 k k X k Y Sk 2A
x l

轴对称线性矩形单元： 单元公式表达形式不变，形函数中 r 替换x，z 替换y r R x或x r R
i i
z Z i y或y z Z i
2、轴对称矩形单元
( e ) S i i S j j S m m S n n
R j r Z n z Si l w r Ri Z n z Sj l w r Ri z - Z i Sm l w R r z - Z i Sn i l w
2
图7.8 二次三角形单元
五、轴对称单元

实际工程应用中存在一 类特殊的三维问题，其 几何形状和载荷都关于 轴对称，此时可用二维 轴对称单元来分析。 包括： 轴对称三角形单元 轴对称矩形单元
图7.9 轴对称单元模型

1、轴对称三角形单元

三角形线性单元：
( e ) Si i S j j S k k
图7.3 自然坐标下的四边形单元
二、二次四边形单元
如果希望提高计算精度怎么办？

增加矩形单元的数量
使用高阶单元
一维单元
二维单元
二、二次四边形单元

8节点二次单元的一般形式：
( e ) b1 b2 b3 b4 b5 2 b6 2 b7 2 b8 2

PLANE42的高阶形式，可用 于对含曲线边界的问题建模， 且计算精度更高。
每个节点有2个自由度，即 能在x和y方向平移。
图7.13 ANSYS中的二维单元

八、ANSYS中的二维单元
使用高阶单元：

可获得更好的结果和更高的精度； 计算时间通常会更长，这是因为它涉及到的 单元矩阵数值积分也更多。
1 1 1 4 1 S j 1 1 4 1 S m 1 1 4 1 S n 1 1 4 Si
y x S i 1 1 l w x y S j 1 2 x 1 l w l xy 2y Sm 1 w lw y x S n 1 w l
1 i i X iY 2A 1 j j X jY Sj 2A 1 k k X k Y Sk 2A Si

轴对称线性三角形单元：
单元公式表达形式不变，形函数中 r 替换X， z 替换Y即可
1、轴对称三角形单元
( e ) Si i S j j S k k
y x S i 1 1 l w x y S j 1 l w xy Sm lw y x S n 1 w l
一、矩形单元

自然坐标：无量纲，且局部坐标系x，y的原 点与自然坐标点=－1，＝－1一致。
2 A X i Y j Yk X j Yk Yi X k Yi Y j
三角形单元的面积A ：
各个系数 ：
i X j Yk X k Y j， i＝Y j Yk， i＝X k X j j X k Yi X iYk， j＝Yk Yi， j＝X i X k k X iY j X j Yi， k＝Yi Y j， k＝X j X i

形函数的推导：方法同前Leabharlann ----利用节点值，求解方程组
图7.4 8节点的二次四边形单元
二、二次四边形单元
各角节点的形函数：
1 S i＝ 1 1 1＋＋ 4 1 S j＝ 1 1 1＋ 4 1 S m＝ 1 1 1＋＋ 4 1 S n＝ 1 1 1＋ 4
中间节点的形函数：
1 S k＝ 1 1 2 2 1 S l＝ 1 1 2 2 1 S o＝ 1 1 2 2 1 S p＝ 1 1 2 2






二、二次四边形单元
8节点二次四边形单元：

4节点四边形单元的高阶单元。 与线性单元相比，对于同样数目的单元， 二次单元的结果更精确。 适合对曲线形边界问题建模。
x Si ix S j jx S m mx S n nx y Si iy S j jy S m my S n ny
单元内任意一点的位移: 单元内任意一点的应力:
单元内任意一点的位置:
x S i xi S j x j S m x m S n x n y S i yi S j y j S m y m S n y n
四、二次三角形单元

相对于线性三角形单元，二次三角形单元可提高精度。
T ( e ) a1 a2 X a3Y a4 X 2 a5 XY a6Y 2
推导方法同前
T ( e ) SiTi S jT j S k Tk SlTl S mTm S nTn
S i 2 1 S j 2 1 S k 2 1 1 3 2 S l 4 S m 4 4 1 S n 4 4 1
第七章 二维单元
孙 会 2012.4
本章内容
一、矩形单元（重点，熟悉）
二、二次四边形单元（重点，熟悉）
三、线性三角形单元（重点，熟悉）
四、二次三角形单元（重点，熟悉）
五、轴对称单元（了解）
六、等参单元（重点，熟悉）
七、ANSYS中的二维单元（重点，掌握）
引子
如图所示的等直截 面散热片，散热片左端 相连的基座温度和周围 流体温度已知，当温度 沿X方向和Y方向均发生 变化时，试确定散热片 上的温度分布？
等参单元、等参公式
七、ANSYS中的二维单元

ANSYS提供了许多二维单元，这些单元大多 数基于线性、二次四边形和三角形形函数。 二维结构力学单元：
PLANE2

PLANE42
PLANE82
八、ANSYS中的二维单元
PLANE2：

二维6节点三角形单元 每个节点有2个自由度， 即在节点的x和y方向都能 平移。
图7.1 恒定截面的散热片的温度分布
引子
预处理阶段 1. 计算域离散化 2. 单元分析
2.1 假设描述单元行为的近似解
2.2 单元分析（直接法、最小总势能法、加权余数法）
2.3 组装单元，构造K(G) （按照标准方法进行） 2.4 施加边界条件（约束条件、载荷条件）
求解阶段 后处理阶段
一、矩形单元
1 i i r i z 2A 1 j j r j z Sj 2A 1 k k r k z Sk 2A Si
图7.10 轴对称三角形单元
i R j Z k Rk Z j，i＝Z j Z k， i＝Rk Rj j Rk Z i Ri Z k， j＝Zk Zi， j＝Ri Rk k Ri Z j R j Z i，k＝Zi Z j， k＝R j Ri
1 b2 T j Ti l 1 b4 Ti T j Tm Tn lw
得到各个形 函数
一、矩形单元
T ( e ) S i Ti S j T j S mTm S nTn
进一步可推广到任一变量：
( e ) S i i S j j S m m S n n
图7.13 ANSYS中的二维单元
八、ANSYS中的二维单元
PLANE42：

二维4节点四边形单元，常 用于固体力学问题建模。 每个节点有2个自由度，即 每个节点都能在x和y方向 平移。
图7.13 ANSYS中的二维单元

八、ANSYS中的二维单元
PLANE82：

二维8节点四边形单元，常 用于二维结构问题的建模。
对任意矩形单元（采用局部坐标）：
T ( e ) b1 b2 x b3 y b4 xy
T Ti T Tj T Tm T Tn
b1 Ti 1 b3 Tn Ti w
在x 0, y 0处 在x l, y 0处 在x l, y w处 在x 0, y w处
课堂总结

二维线性矩形单元和线性三角形单元及其形 函数，以及它们的性质和局限性；

二维二次三角形单元和二次四边形单元及其 形函数，以及它们各自的性质和相对线性单 元的优点；
轴对称单元的概念； 等参单元和公式的意义； ANSYS中的二维单元的例子。

作业布置

对所学内容进行回顾、复习。