山西忻州市2011-2012学年第二学期高二联考试题数学文B类试题

学校 姓名 考号
忻州市2011－2012学年第二学期高中联考试题
高二数学（文科B 类）
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将学校名称、姓名、班级、准考证号填写在试题和答题卡上。

2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则A ∩C U B ＝ A ．{4，5}
B ．{2，3}
C ．{1}
D ．{2}
2．命题：∃x 0∈R ，x 20+2x 0+2≤0，该命题的否定是 A ．∃x 0∈R ，x 20+2x 0+2≥0 B ．∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0 C ．∀x ∈R ，x 2+2x +2≤0 D ．若x 20
+2x 0+2≤0，则∃x 0∈R
3．已知i 是虚数单位，z ＝1－i ，则2
z 对应的点所在的象限是
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限
4．函数y ＝a x +1(a ＞0且a ≠1)的图象必经过点 A ．(0，1) B ．(1，1) C ．(2，1)
D ．(0，2)
5．函数f (x )＝x 3－3x －3一定有零点的区间是 A ．(2，3)
B ．(1，2)
C ．(0，1)
D ．(－1，0) 6．如图所示程序框图运行后输出的结果为
A ．36
B ．45
C ．55
D ．56 7．已知向量AB →＝(cos120°，sin120°)，AC →
＝(cos30°，sin30°)，则
△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形
D ．等边三角形
8．直线4x ＋3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝16的位置关系是
束
A ．相离
B ．相切
C ．相交但不过圆心
D ．相交过圆心
9．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π
2)，则下列结论中不．正确．．的是 A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为π
B ．函数y ＝f(x )g(x )的最大值为1
2
C ．函数y ＝f (x )g (x )的图象关于点(π
4，0)成中心对称 D ．函数y ＝f (x )g (x )是奇函数
10．双曲线C ：x 2
－y 2
3＝１的离心率为
A ．2
B ．63
C ．23
3 D ．3＋ 2
11．已知{a n }是首项为1的等比数列，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列{a n }的前5项的和为 A ．3116
B ．3132
C ．32
D ．31
12．已知函数f (x )＝x 2
＋2bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件：⎩
⎪⎨⎪⎧
f (1)≤9，
f (－1)≤1为事
件A ，则事件A 发生的概率为 A ．1
4
B ．58
C ．12
D ．38
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上) 13．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是 ．
14．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P(2，3)向这个圆引切线，则切线长为 ． 15．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图 是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体 积为 ．
16．在等差数列{a n }中，若a 8＝0，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 15-n (n ＜15，n ∈N *
)成立，类比上述性质， 在等比数列{b n }中，若b 8＝1，则有等式 ．
三．解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．(本小题满分10分) 已知函数f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)． (1)求f (x )的定义域； (2) 求f (x )的单调区间．
18．(本小题满分12分)
已知数列{a n }是等差数列，且a 3＝5，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2
a n a n+1，数列{
b n }的前n 项和为S n ，求S 5．
19．(本小题满分12分)
如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝2
2
AD ． (1)求证：E F ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ．
20．(本小题满分12分)
设函数f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5在x ＝3
2与x ＝－1时有极值. (1)写出函数的解析式； (2)指出函数的单调区间．
21．(本小题满分12分)
从参加高一年级迎新数学竞赛的学生中，随机抽取了50名学生的成绩进行统计分析． (1)求m 、n 的值，并画出频率分布直方图；
(2)从成绩是[50，60)和[90，100)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
22．(本小题满分12分)
已知点P在圆x2＋y2＝1上运动，过点P作x轴的垂线，垂足为D，点M在DP的延长线上，且有|DP|＝|MP|．
(1)求M点的轨迹方程C；
(2)已知直线l过点(0，3)，且斜率为1，求l与C相交所得的弦长．
忻州市2011−2012学年第二学期高中联考
高二数学(文科B 类)参考答案及评分标准
一．选择题(每小题5分，共60分) CBDDA BACCA DC 二．填空题(每小题5分，共20分)
13、(1，0) 14、2 15、13 16、b 1•b 2•b 3…b n = b 1•b 2•b 3…b 15-n (n <15,n ∈N *
) 三．解答题(本大题共6小题，共70分)
17．解 (1)令u ＝2x +3－x 2，则u ＞0，可得函数定义域是：{x |－1<x <3} ……5分 (2) y ＝log 4u ．由于u ＝2x +3－x 2＝－(x －1)2+4.
再考虑定义域可知，其增区间是(－1,1]，减区间是[1,3)． ……7分 又y ＝log 4u 为(0，+∞)上的增函数， ……8分 故该函数的单调递增区间为(－1,1]，单调递减区间为[1,3)． ……10分 18．解：(1)由已知1672=+a a ，53=a ，
可得⎩⎨⎧2a 1+7d =16
a 1
+2d =5， ……2分
解之得a 1=1，d = 2， ……4分 ∴a n = a 1+(n －1)d = 2n －1． ……6分 (2)由(1)可知1
2
+=
n n n a a b = 2(2n －1)(2n +1) = 12n －1－12n +1， ……8分 数列{}n b 的前n 项和为n S ，则
51223344556
22222
S a a a a a a a a a a =
++++
……10分 =11111111113355779911-+-+-+-+-=1011． ……12分
19．证明：(1)连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点， 故在△CPA 中，EF ∥PA ， ……3分 又∵PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，
∴EF ∥平面PAD ． ……6分 (2)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，
又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ． ……8分
又PA ＝PD ＝22AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π
2，即PA ⊥PD.
又∵CD∩PD ＝D ，∴PA ⊥平面PCD ．
又∵PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ． ……12分
20．解：(1)f '(x )=12x 2+2
ax +b ， ……2分 由题设知x = 3
2与x =－1时函数有极值，
则x = 3
2与x =－1满足f '(x )=0，
解得a =－3，b =－18， ∴f (x )= 4x 3－3x 2－18x +5. ……6分 (2)f '(x )=12x 2－6x －18=6(x +1)(2x －3) ……8分 令f '(x )＞0得 (－∞，－1)和(3
2，+∞)均为函数的单调递增区间. ……10分 (－1，3
2)为函数的单调递减区间． ……12分 21．(1) m =0.4
n =0.06 ……2分
……6分
（2）设成绩是[50,60)的2个学生为21,A A ，成绩是[90,100)的3个学生为321,,B B B ． 记两人在同一分数段为事件A ． ……7分 基本事件有：),(),,(),,(),,(31211121B A B A B A A A ，),(12B A ，),(22B A ，),(32B A ，
),(),,(3121B B B B ，),(32B B 共10个． ……9分
事件A 包含的基本事件有： ),(21A A ，),(),,(3121B B B B ，),(32B B 共4个．……10分 则所求的概率为：5
2
104)(==
A P ． ……12分
22．解：(1)设P(x 0，y 0)，M(x ，y )，由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x
y 0=12y
， ……3分
又点P 在圆x 2
+y 2
=1，可得M 点的轨迹方程为x 2
+y 2
4 = 1． ……6分
(2)由(1)知⎩
⎪⎨⎪⎧y = x +3
x 2 + y 24 = 1，
联立上式得4x 2+(x +3)2=4 , 5x 2+23x －1=0,可知必有∆>0． ……8分 设l 与C 的交点为A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2 = －235, x 1x 2 = －1
5． ……10分 ∴|AB|= 1+k 2|x 1－x 2|=1+k 2(x 1－x 2)2－4x 1x 2 = 2
(－235)2+4
5 =2
1225+2025 = 85 ． ……12分。