第十讲 习题课二

(1)n
1 (2n
1)!
x
2n1
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§2函数的幂级数展开
习题课二
例5 试求级数 (1)n (2n 1)!! 的和.
n0
(2n)!!
ห้องสมุดไป่ตู้
证 考察 (1)n (2n 1)!! xn
n0
(2n)!!
=1 1 x 13 x2 135 x3 , x (1, 1] 2 24 246
解 因为 f ( x) 1 (1)n (2n 1)!! x2n ,
1 x2
n0
(2n)!!
(1)!! 0!! 1
1 1 x2 13 x4 135 x6 , x [1, 1] 2 24 246
所以 f ( x) x 1 1 x3 13 1 x5 135 1 x7 , 2 3 24 5 246 7
x f (n) ( x) n f (n1) ( x),
(1 x2 ) f ( ( n1) x) (2n 1) xf (n)( x) n2 f ( (n1) x) 0.
令x = 0, 得到递推式 f (n1)(0) n2 f (n1)(0), n 1, 2,.
数学分析 第十四章 幂级数
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补充例题
例1 求 f ( x)
x2
1 在x x2
1处的泰勒展开式.
解
因为
x2
1 x
2
1 3
1 x
2
x
1
1
,
而 1
1
= ( x 1)n , x (0, 2);
x 2 1 ( x 1) n0
1
x1
1 2
解
由
f ( x) 1 1 x2
1
x ln( x 1 x2 ) 1 x2
,
得
(1 x2 ) f ( x) 1 xf ( x).
对上式两边同时求 n 阶导数，有.
(1 x2 ) f ( ( n1) x) 2nxf (n)( x) n(n 1) f ( ( n1) x)
整理后得
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由于f (0) 0，f (0) 1, 因此有
f (2n)(0) 0,
f
(2n1)(0) (2n)2
f
( 2 n1)(0)
(1)n((2n)!!)2 , n 1, 2,.
于是f (x) 在 x = 0 泰勒级数为
(1)n ((2n)!!)2 x2n1 (1)n (2n)!! x2n1，x [1,1].
n0
(2n 1)!
n0
(2n 1)!!
易知f ( x)在 x 1处连续，所以
f ( x) ln( x 1 x2 ) (1)n (2n)!! x2n1，x [1,1].
f1(n1x)(20)
nn2f0
(
n1)(0(2),nn
1)!!
1,
2,
.
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第十讲
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重要内容回顾
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1. f 的泰勒级数(马克劳林级数)； 2. f 的幂级数展开(泰勒展开)式 ； 3. 函数可以展开成幂级数的充要条件； 4. 常用的初等函数展开式； 5. 如何求一个函数的幂级数展开式？
1
1 ( x1
2
)
=
1 2
n0
(
1)n
x 1 n 2 ,
x (1,3);
于是
f
(x)
1 3
1 3 n 0
((
n0
(1
(1)n
1 2n1
)(
x
1)n1
1 2n1
1)( x
1)n 1)n ,
x (0,2).
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例2 求 f ( x) ln( 1 x2 x)在 x 0处的泰勒展开式.
x (1)n1 (2n 1)!! 1 x2n1, x [1,1].
n1
(2n)!! 2n 1
在x 1处收敛性的判别,可用第十二章第十五讲的例2.
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例3 把 f ( x) ln( x 1 x2 ) 展开成 x 的幂级数. 1 x2
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例4 证明不等式 sin x arcsin x 2 x 1 x5 , x (0,1].
12
证 sin x (1)n
1
x2n1, x (,)，
n0
(2n 1)!
arcsin x
(2n 1)!! x2n1, x [1,1]. 得
n0 (2n)!!(2n 1)
1. 1 x
在x 1处的收敛性判别,可用第十二章第十五讲的例2.
以 x =1代入上式，即可得
(1)n (2n 1)!! 1 .
n0
(2n)!!
2
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a2n1
(2n 1)!! (2n)!!(2n 1)
(1)n
1 (2n
1)!
(2n 1)!! (2n 1)!
1 (2n
1)!
0,
n 2.
因此，当 x (0,1] 时，sin x arcsin x 2 x 1 x5 . 12
sin
x
arc
sin
x
n0
(2n 1)!! (2n)!!(2n 1)
sin
x
arc sin
x
n0
(2n 1)!! (2n)!!(2n 1)
(1)n
1 (2n
1)!
x 2n1
a2n1 x2n1 , x [1,1]. n0
于是 a1 2, a3 0,
a5
1 12
,
(1)!! 0!! 1
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