玉溪2019—2020学年上学期高三年级期中考(试卷)文科

2019—2020学年上学期高三年级期中考（第三
次月考）
文科数学 试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}1)3(log |{2<+=x x A ,}24|{-<<-=x x B ,则=⋃B A
A.}23|{-<<-x x
B.}14|{-<<-x x
C.}1|{-<x x
D.}4|{->x x 2.“3
4=
m ”是“直线024=-+-m my x 与圆42
2=+y x 相切”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在ABC ∆中,若A a B c C b sin cos cos =+,则角A 的值为 A.
3π B.6π C.2
π
D.32π
4.已知定义域为]22,4[--a a 的奇函数)(x f 满足2sin 2020)(3
++-=b x x x f , 则=+)()(b f a f
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
5.设m ,n 为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若α⊥m ,β//m ,则βα⊥; ②若α⊂m ,α⊂n ,β//m ,β//n ,则βα//; ③若α//m ,α//n ,则n m //; ④若α⊥m ,β//n ,βα//,则n m ⊥.
其中所有正确命题的序号是 A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
6.从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图1所示,若总体中85%的数据不超过b ,则b 的估计值为 A.25
B.24
C.
91
4
D.703
7.设sin 2a =,0.3log b π=,0.54c =,则
A.c a b <<
B.a b c <<
C.b a c <<
D.b c a << 8.已知2cos()6
3π
α-
=
,则2cos(2)3
π
α+= A.1
9- B.
1
9
C.459
D.45
9
-
9.如图2,在区域2
2
4x y +≤内任取一点,则该点恰好取自阴影部分（阴影部分为“2
2
4x y +≤”与“()()2
112x y -+-≤”在第一、第二象限
的公共部分）的概率为 A.
1122π- B.31
84π
- C.31+
84π D.3
8
10.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面
0100米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基
里斯跑了0100米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他
10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……,所以阿基里斯永远追不上乌龟.
按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯210-米时,乌龟爬行的总距离为
A.901
104-
B.9001104-
C.901105-
D.900
1
105-
11.在ABC ∆中, 1=CA ,2=CB ,3
2π
=
∠ACB ,点M 满足CA CB CM 2+=,则=⋅MB MA A.0
B.2
C.32
D.4
12.已知1F ,2F 分别为椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的左、右焦点,点P 是椭圆上位于第一象限内的
图2
图1
点,延长2PF 交椭圆于点Q ,若PQ PF ⊥1,且PQ PF =1,则椭圆的离心率为 A.22-
B.23-
C.12-
D.36-
二、填空题：本题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量)2,1(=a ,)2,2(-=b ,),1(λ=c
,若)2//(b a c +,则=λ ．
14.已知数列}{n a 满足11=a ,n
n a a +-=
+11
1,*∈N n ,则=2019a ． 15.设,a b R ∈,2234a b +=,
则a 的最小值是 ． 16.已知函数2
()f x x ax =-(
1
x e e
≤≤,e 为自然对数的底数)与()x g x e =的图像上存在关于直线y x =对称的点,则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.
17.(本小题满分12分)设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,522-=+S a ,155-=S . （1）求数列}{n a 的通项公式; （2）求
1
3221111++++n n a a a a a a . 18.(本小题满分12分)已知向量)sin ,cos 2(x x a =
,)cos 32,(cos x x b -= ,
且1)(-⋅=b a x f
.
（1）求)(x f 的单调递增区间;
（2）先将函数)(x f y =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的2
1
倍（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移
12
π
个单位,得到函数)(x g y =的图象，求方程 1)(=x g 在区间]2
,0[π
∈x 上所有根之和.
19. (本小题满分12分)已知三棱锥ABC P -（如图3）的展开图如图4,其中四边形ABCD 为边长
等于2的正方形,ABE ∆和BCF ∆均为正三角形.
图3
图5
D (P )A
(P )
（1）证明:平面PAC ⊥平面ABC ; （2）若M 是PC 的中点,点N 在线
段PA 上，且满足2PN NA =,求直线
MN 与平面PAB 所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)如图5,在ABC ∆中,角A ,B ,C
的对边分別a ,b ,c ,4
3
cos =A ,A B 2=,3=b .
（1）求a ;
（2）如图5，点M 在边BC 上,且AM 平分BAC ∠,求ABM ∆的面积. 21.(本小题满分12分)已知函数)ln 1()(x x x f +=, )1()(-=x k x g )(Z k ∈. （1）求函数)(x f 的极值;
（2）对任意的),1(+∞∈x ,不等式)()(x g x f >都成立,求整数k 的最大值.
(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2
22)1()3(r y x =-+-（0>r ）,
以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1)3
sin(=-π
θρ,
且直线l 与圆C 相切. （1）求实数r 的值;
（2）在圆C 上取两点M ,N ,使得6
π
=
∠MON ,点M ,N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆,求
OMN ∆面积的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数112)(-+-=x a x x f .
（1）当2=a 时,b x f ≤)(有解,求实数b 的取值范围;
P
（2）若2)(-≥x x f 的解集包含]2,2
1[,求实数a 的取值范围.
2019—2020学年上学期高三年级期中考（第三次月考）
文科数学 参考答案
二、填空题：
13.52-
14.2-15.-16.11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
三、解答题：
17.解：（1）设等差数列}{n a 的公差设为d , 522-=+S a ,155-=S ,
∴5231-=+d a ,151051-=+d a ,解得11-==d a . ………………4分 ∴n n a n -=---=)1(1,*∈N n . ………………6分
（2）11
1)1(111+-=+=+n n n n a a n n
………………8分
1
3221111++++∴
n n a a a a a a )1(1
321211+⨯++⨯+⨯=
n n 1
1
13121211+-
++-+-=n n 1
n
+=
n …………………12分 18.解:（1）函数1cos sin 32cos 2)(2
-⋅-=x x x x f
)6
2sin(2π
--=x …………………4分
令πππππk x k 22
36222+≤-≤+,Z k ∈
即
ππ
ππ
k x k +≤
≤+6
53,Z k ∈,
∴函数的单调增区间为]6
5,3[ππ
ππk k ++,Z k ∈. …………6分
（2）由题意知)62sin(4x 6)12
(4sin 2)(π
ππ
+-=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-
+-=x x g , ………8分 由1)(=x g ,得21)6sin(4x -=+
π
, ]2,0[π∈x ,∴]6
13,6[64x π
ππ∈+ ∴6764x ππ=+或61164x ππ=+, ∴4x π=或12
5x π=,
故所有根之和为3
21254π
ππ=
+. ………………12分 19.解:（1）证明:如图取AC 的中点O ,连结BO PO .
2===PC PB PA ,∴1=PO ,1===CO BO AO , 在PAC ∆中,PC PA =,O 为AC 的中点,∴AC PO ⊥. 在POB ∆中,1=PO ,1=OB ,2=PB ,
∴222PB OB PO =+,∴OB PO ⊥.
O OB AC =⋂,AC ,OB ⊂平面ABC ,∴⊥PO 平面ABC ,
⊂PO 平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC ． ……………5分
（2）解: M PC 为中点
∴点M 到平面PAB 的距离为点C 到平面PAB 距离的一半.
假设C 到平面PAB 距离为d ,则
1
133
1
12C PAB P ABC PAB
ABC
V V
S d S PO
d d --=∴⋅=⋅⨯=⨯∴=
∴M到平面PAB
的距离为d'………………9分
Rt MPN ∆中
,MN==………………10分设θ为直线MN与平面PAB所成角，则
sin=
5
d
MN
θ
'
==………………12分
20.解:(1)由正弦定理知
B
b
A
a
sin
sin
=，∴
A
A
a
2
sin
3
sin
=,
∴2
4
3
2
3
cos
2
3
=
⨯
=
=
A
a. ………………………4分
（2）
4
3
cos=
A,∴
4
7
sin=
A,
∴
8
1
1
cos
2
2
cos
cos2=
-
=
=A
A
B,∴
8
7
3
sin=
B,
∴
16
7
5
sin
cos
cos
sin
)
sin(
sin=
+
=
+
=B
A
B
A
B
A
C, …………7分
由正弦定理知
A
a
C
c
sin
sin
=,∴
2
5
sin
sin
=
=
A
C
a
c…………9分 AM平分BAC
∠,∴
5
6
=
=
=
c
b
AB
AC
BM
CM
,
∴
11
10
2
11
5
11
5
=
⨯
=
=BC
BM, …………11分
∴
176
7
75
8
7
3
2
5
11
10
2
1
sin
2
1
=
⨯
⨯
⨯
=
⨯
⨯
⨯
=
∆
B
AB
BM
S
ABM
. ……12分21.解:（1） )
ln
1(
)
(x
x
x
f+
=,0
>
x,∴x
x
f ln
2
)
(+
=
', …………1分
C
当210e x <
<时,0
)(<'x f ,当21
e x >时,0)(>'x
f , …………3分 ∴当21e x =时,)(x f 取得极小值，极小值为22221
)1ln 1(1)1(e
e e e
f -=+=,
)(x f 无极大值． ………………………5分
（2） 对任意的),1(+∞∈x ,不等式)()(x g x f >都成立,
∴)1()ln 1(->+x k x x 在),1(+∞∈x 上恒成立，
即0)1()ln 1(>--+x k x x 在),1(+∞∈x 上恒成立，
令)1()ln 1()(--+=x k x x x h , 1>x ∴x k x h ln 2)(+-=', ………6分 ①当02≥-k 时,即2≤k 时,0)(>'x h 在),1(+∞∈x 上恒成立，
∴)(x h 在),1(+∞上单调递增，∴1)1()(=>h x h
∴2≤k 都符合题意,此时整数k 的最大值为2. ……………8分
②当2>k 时,令0)(='x h ,解得2-=k e x ,
∴当21-<<k e x 时,0)(<'x h ,当2->k e x 时,0)(>'x h ,
k e e h x h k k +-==--22min )()(,则02>+--k e k , ……………10分
令k e
k p k +-=-2
)(∴1)(2+-='-k e k p ,)2(>k ,
0)(<'k p 在),2(+∞∈k 上恒成立,
∴k e k p k +-=-2)(在),2(+∞上单调递减，
又04)4(2
<+-=e p ,03)3(>+-=e p ,
∴存在)4,3(0∈k 使得0)(0=k p ,故此时整数k 的最大值为3.
综上所述: 整数k 的最大值为3. …………………12分
22.解:（1）直线l 的极坐标方程为1)3
sin(=-
π
θρ,
转化为直角坐标方程为023=+-y x . ………………2分
直线l 与圆C 相切,∴圆心)1,3(到直线023=+-y x 的距离d 满足
r d =++-⨯=
1
32
133，解得2=r . …………………4分
（2）由（1）得圆的方程为4)1()3(2
2=-+-y x .
转化为极坐标方程为)3
sin(4π
θρ+
=．设),(1θρM ,)6
,(2π
θρ+
N , … 5分
6
sin 2121πρρ=
∆MON S )2
sin()3
sin(4π
θπ
θ+
+
=
3)3
2sin(2++=π
θ…………8分
故当12
π
θ=
时,OMN ∆的面积取到最大值为32+. …………10分
23.解:（1）当2=a 时,
1221222121212)(=---≥-+-=-+-=）（）（x x x x x x x f
当且仅当0)22(12(≤--x x ）, 即
12
1
≤≤x 时取等号, …………2分 ∴1)(min =x f , b x f ≤)(有解,∴只需1)(min =≥x f b , ∴实数b 的取值范围为),1[+∞.……………………4分
（2）当]2,21[∈x 时,012≥-x ,02≤-x , 2)(-≥x x f 的解集包含]2,2
1[
∴x x a 331-≥-对]2,21[∈x 恒成立,……………7分
当1=x 时,R a ∈, 当12
1
<≤x 时,x x a 33)1(-≥-, 即3≥a ,
当21≤<x 时,x x a 33)1(-≥-, 即3-≥a , ……………9分 综上所述: 实数a 的取值范围为),3[+∞. ……………10分。