信号与系统3-3 序列的分解与卷积和

3-3-2 序列的卷积和
2．令x(n)= h(n)=anu(n)，a<1，故有x(k)= aku(k)和h(n-k)=an-ku(n-k)。因为
k<0时，u(k)=0，所以卷积和的下限可简化为k=0；又因为k>n时，u(n-k)=0， 所以卷积和的上限可简化为k=n。因此有：

n
y(n) ak anku(k)u(n k) ak ank
x(0) x(1) x(2) x(3)
y(2) y(1) y(0)
上、下行样本起始点对齐相乘 z(0) x(0) y(0) ；
y(2)
x(0) y(1)
x(1) y(0)
x(2)
x(3)
下行样本右移一位两行
对齐相乘求和
z(1) x(0) y(1) x(1) y(0) ；
x(0) x(1) x(2) x(3)
国家“十二五”规划教材——《信号与系统》
§3-3 序列的分Po解we与rTe卷Tmhe积mpeGlaa和ltleery
重点 序列的分解及卷积和性质 难点 卷积和的运算
内容安排
3-3-1 序列的分解 3-3-2 序列的卷积和
前言
本讲首先讨论将一个任意序列表示为移 位单位样值序列（或叫移位冲激序列）的加 权叠加，然后给出卷积和的概念。
式（3-3-1）又被称之为离散时间单位样值序列的筛选（或抽样）性质。
这是因为移位单位样值序列 (n k)仅当k=n时为非零，因此式（3-3-1）
等式右边的和式就对序列x(n)进行了筛除，仅仅保留对应于k=n时的序 列样本值x(k)。
3-3-1 序列的分解
x(n)
图3-3-1序列分解
…
…
n 0
3-3-1 序列的分解
x(n) ... x(2) (n 2) x(1) (n 1) x(0) (n) x(1) (n 1) x(2) (n 2) ...
上式可表示成通式

x(n) x(k) (n k) k
（3-3-1）
式（3-3-1）将任意离散时间序列x(n)分解成一个基本函数，也就是移位 单位样值序列的加权和，这里权重是对应移位处序列的样本值。图3-3-1 图解说明了序列的这种分解过程。
式中n表示时间序号，这里离散时间序列 x(n)代表整个序列，而x(k) 表示序列x(n) 在k时刻的样本值。显见，将一个序列x(n) 乘以移位k个 单位的单位样值序列 (n k) ，其结果等于一个冲激强度为x(k) 的移
位单位样值序列。 (n)的这个特点允许我们用单位样值序列把任意离散
时间序列 x(n)分解为具有如下形式的加权移位的单位样值序列的和：
u(k)=0，所以卷积和的下限可简化为k=0；又因为k>n时，u(n-k)=0，
所以卷积和的上限可简化为k=n。因此有：

n
y(n) u(k)u(n k) 1
k
k 0
(n 1)u(n) ramp(n 1)
式中ramp(n)=nu(n)是斜坡序列。注意，(n+1)u(n)也等于ramp(n+1)， 因此，u(n)*u(n)=ramp(n+1)。






0
0
x(m)
x(1) x(0) 0 z(l m)
3-3-2 序列的卷积和
（4）变换域算法
离散时间序列卷积和的变换域算法基于后续章节中将要讨论的z变换 概念，具体方法见第8章相关内容。
例3-3-2 卷积和计算
1．令x(n)= h(n)= u(n)，则x(k)= u(k)且h(n-k)= u(n-k)。因为k<0时，
3-3-2 序列的卷积和
1）反折：将 y(n)（通常选两者中的短序列）进行逆序运算，也就是将其
按纵轴反转变为 y(n) ，如上例 y(n) y(0), y(1), y(2) 1,2,3，则 y(n) y(2), y(1), y(0) 3,2,1 2）移位：将y(n) 在横轴上右移k，得y(k n)

x(3)
x(2)
x(1)
x(0)

0


z(5)
3-3-2 序列的卷积和
更一般地，对序列 x(n) x(0), x(1), , x(l)和序列 y(n) y(0), y(1), , y(m) ，
可用 l m 1阶矩阵表示卷积和为
z(n) x(n) y(n)
n
z(n) x(k) y(n k), n 0,1, ,l m （3-3-4）
k 0
是长度为l+m+1的序列z(n)。
另外，当序列x(n)、y(n)和z(n)都是周期序列时，则z(n)就是数字信号
处理中定义的循环（或周期）卷积。
3-3-2 序列的卷积和
例3-3-1 设 x(n) x(0), x(1), x(2), x(3) 、y(n) y(0), y(1), y(2) 试求序列
k 0
n4
5
z(5) x(k) y(5 k) x(3) y(2)
k 0
n5
3-3-2 序列的卷积和
2、卷积和的计算
当序列x(n)、y(n)的解析表达式足够简单时，卷积和的计算也就比较 简单。一般而言,对于有限或者无限序列都希望用一组解析闭式给出计算 结果。但在具体计算时，需要记住x(n)和y(n-k)都是累加变量k的函数。 累加时一般会用到形如u(n)和u(n-k)的阶跃序列。由于k<0时u(k)=0以及 k>n时u(n-k)=0，所以可将累加上、下限限制在k=0和k=n区间。
3）相乘：将y(k n)和 x(k) 相乘；
4）求和：将相乘序列求和即得卷积和z(n)
3-3-2 序列的卷积和
（3）矩阵表示法
例3-3-1 已经指出序列x(n) x(0), x(1), x(2), x(3)和序列 y(n) y(0), y(1), y(2) 的
卷积和z(n)的长度为 l m 1 3 2 1 6，因此可以用6阶矩阵表示该卷积 和为
x(0)
y(0) z(0)

x(1)
x(0)


y(1)


z(1)

x(2) x(1) x(0)

x(3)
x(2)
x(1)
x(0)
y(2) z(2)

0



z(3)


x(3) x(2) x(1) x(0)
0 z(4)
4．令x(n)=nu(n+1)，h(n)= a-nu(n)，a<1，根据h(n-k)=a-(n-k)u(n-k)和
x(k)=ku(k+1)，卷积和的下限可简化为k=-1、上限可简化为k=n。因此 有：
n
n
y(n) ka(nk) an1 an kak
k 1
k 0

因为卷积和是分析和描述线性离散时不变系统的基础，因此工程应用 中已发展出多种求卷积和的方法。
3-3-2 序列的卷积和
（1）序列折叠法
序列折叠法算法的步骤见表3-3-1。
表3-3-1
由表3-3-1可见，将两序列中的一个序列（通常选两者中的长序列） 放在表中第一列，另一序列（通常选短序列）放在表中第一行，行 列相交处的空格填写行指标元素与列指标元素的乘积，然后按照对 角线（图中虚线）相加，分别得到卷积和样值z(0), z(1), zn) x(k)y(n k)
k

n
x(k) y(n k) x(k) y(n k)
k 0
k 0
（3-3-3）
对于这种有限长度序列，其卷积和z(n)的长度怎样计算？假设这里的
x(n)和y(n)分别有l+1和m+1个样值，也就是说 x(n) x(0), x(1), , x(l) 和 y(n) y(0), y(1), , y(m)，则其卷积和：
1、定义
设给定两个具有相同采样间隔的序列x(n)和y(n)，定义一个新序列

z(n) x(k)y(n k)
k
（3-3-2）
称z(n)为序列x(n)和y(n)的卷积和，记为 z(n) x(n) y(n)
工程应用中的信号序列一般都是物理可实现的有限长度信号序列， 故对式（3-3-2），如x(n)和y(n)都是有限的因果序列，即当n<0时， x(n)=0，n<k时，y(n-k)=0则有
的卷积，并确定卷积和的长度。
解：则卷积和z(n)的长度为l+m+1=3+2+1=6，代入式（3-3-4），有
0
z(0) x(k) y(0 k) x(0) y(0)
n0
k 0
1
z(1) x(k) y(1 k) x(0) y(0) x(1) y(0)
n 1
k 0
x(0) 0
0
0 0 y(0) z(0)

x(1)
x(0)
0
0
0

y(1)


z(1)






x(l
)
x(l 1)
x(0)
0
0


y(m)


z(l)

0 x(l)
x(1)
0 0 0 z(l 1)
x(0) x(1) x(2) x(3) y(0) y(1)
y(2)
下行样本右移四位两行 对齐相乘求和
z(4)

x(2)
y(0)

x(3)
y(1)
；
x(0)
x(1)
x(2)
x(3) y(2)
y(1)
y(0)
下行样本右移五位两行 对齐相乘求和

z(5) x(3) y(2) ；
上述运算可以总结为以下4个步骤： 1）反折 2）移位 3）相乘 4）求和
3-3-2 序列的卷积和
（2）序列求和法
序列求和法首先将两序列中的一个序列（通常选两者中的短序列）进
^
行逆序运算（例如y(n) y(0), y(1), y(2)的逆序是 y(n) y(2), y(1), y(0)），
之后将两样本序列的起始点对齐相乘，之后依次顺序右移第2个序列（或
左移第一个序列）并相乘、求和，操作过程依次如下所示。
为一组加权移位 样值之和
=
x(2) (n 2)
x(2)
0
+
x(1) (n 1)
0
x(1)
+
x(0) (n)
x(0)
0
+
x(1) (n 1)
x(1)
0
+
x(2) (n 2)
x(2)
0
x(n) n n
n n n
内容安排
3-3-1 序列的分解 3-3-2 序列的卷积和
3-3-2 序列的卷积和
a n1

a n1 (1 a)2
[1
(n
1)a n

na n1 ]
卷积和的计算通常会涉及有限或者无限级数的求和运算。有时利用已 知结果可以获得闭式（如上例），但在多数情况下，闭式是难以获得 的。
3-3-2 序列的卷积和
3-3-1 序列的分解
设离散时间序列x(n) 乘以单位样值序列 (n) ，应用 (n)的抽样性质，有 x(n) (n) x(0) (n)
若将上式扩展到一般情况，即用带移位的单位样值序列 (n k) 乘以序 列x(n) ，继续应用抽样性质可得到
x(n) (n k) x(k) (n k)
k
k 0
n
an 1 (n 1)anu(n) k 0
3．令x(n)= u(n)，h(n)= anu(n)，则

u(n) * anu(n) aku(k)u(n k)
k
ak 1 an1 , a 1
k 0
1 a
3-3-2 序列的卷积和
2
z(2) x(k) y(2 k) x(0) y(2) x(1) y(1) x(2) y(0)
k 0
3
z(3) x(k) y(3 k) x(1) y(2) x(2) y(1) x(3) y(0)
k 0
n2 n3
4
z(4) x(k) y(4 k) x(2) y(2) x(3) y(1)
y(2) y(1) y(0)
下行样本右移二位两 行对齐相乘求和
z(2) x(0) y(2) x(1) y(1) x(2) y(0)；
3-3-2 序列的卷积和
x(0)
x(1) y(2)
x(2) y(1)
x(3) y(0)
下对行齐样相本乘右求移和三位两行 z(3) x(1) y(2) x(2) y(1) x(3) y(0) ；