2022秋九年级数学上册 第2章 圆2.7 弧长及扇形的面积教学设计(新版)苏科版

弧长和扇形面积
教学内容
1．n °的圆心角所对的弧长L=180
n R
π 2．扇形的概念；
3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2
360
n R π；
4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标
了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S
扇=
2
360
n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目． 重难点、关键
1．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180
n R π，扇形面积S 扇=2
360n R π及其它们的应用．
2．难点：两个公式的应用．
3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 教学过程 一、复习引入
〔老师口问，学生口答〕请同学们答复以下问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？
老师点评：〔1〕圆的周长C=2πR 〔2〕圆的面积S 图=πR
2
〔3〕弧长就是圆的一局部． 二、探索新知
〔小黑板〕请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，那么： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……
5．n °的圆心角所对的弧长是_______．
〔老师点评〕根据同学们的解题过程，我们可得到： n °的圆心角所对的弧长为
360
n R
π 例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度〞再下料，•试计算如下图的管道的展直长度，即AB 的长〔结果精确到0.1mm 〕
40mm
.c
B
A
O
110︒
分析：要求AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110 ∴AB 的长=
180n R π=11040180
π
⨯≈76.8〔mm 〕 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．
问题:〔学生分组讨论〕在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如下图:
〔1〕这头牛吃草的最大活动区域有多大？
〔2〕如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：〔1〕这头牛吃草的最大活动区域是一个以A 〔柱子〕为圆心，5m 为半径的圆的面积．
〔2〕如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一局部的图形，如图:
5
.c
n︒
像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
〔小黑板〕，请同学们结合圆心面积S=πR2的公式，独立完成下题：
1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．
2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
……
5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
老师检察学生练习情况并点评
1．360 2．S扇形=
1
360
πR2 3．S扇形=
2
360
πR2 4．S扇形=
2
5
360
R
π
5．S扇形=
2
360
n R
π
因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形
S扇形=
2 360 n R π
例2．如图，扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求AB的长〔•结果精确到0．1〕和扇形AOB的面积结果精确到0．1〕
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的量便可求，此题已满足．
解：AB的长=
60
180
π×10=
10
3
π≈10.5
S扇形=60
360
π×102=
100
6
π≈52.3
因此，AB的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．
三、稳固练习 课本P122练习． 四、应用拓展
例3．〔1〕操作与证明：如下图，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a ．
〔2〕尝试与思考：如图a 、b 所示，•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕O 旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖局部的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖局部的总长度也为定值a ．
D E
C
B O
(a) (b)
〔3〕探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处，假设将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n 边形的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a ，这时正n•边形被纸板所覆盖局部的面积是否也为定值？假设为定值，写出它与正n 边形面积S 之间的关系〔不需证明〕；假设不是定值，请说明理由．
解：〔1〕如下图，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD•分别交于点M 、N ，连结OA 、OD ．
∵四边形ABCD 是正方形
∴OA=OD ，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO ， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO ≌△DNO ∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M 与点A 〔点B 〕重合时，点N 必与点D 〔点A 〕重合，此时AM+AN 仍为定值a ．
故总有正方形的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a ．
〔2〕120°；70° 〔3〕
360n ︒；正n 边形被纸板覆盖局部的面积是定值，这个定值是S
n
． 五、归纳小结〔学生小结，老师点评〕 本节课应掌握：
1．n °的圆心角所对的弧长L=180
n R
π 2．扇形的概念．
3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2
360
n R π
4．运用以上内容，解决具体问题． 六、布置作业
1．教材P124 复习稳固1、2、3 P125 综合运用5、6、7．
2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计
一、 选择题
1．扇形的圆心角为120°，半径为6，那么扇形的弧长是〔 〕． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π
2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点D
旋转到如图的位置，那么点B 运动到点B ′所经过的路线长度为〔 〕 A ．1 B ．π C ．2 D ．2π
(1) (2) (3)
3．如图2所示，实数局部是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，假设每条弧所在的圆都
经过另一个圆的圆心，那么游泳池的周长为〔 〕 A ．12πm B ．18πm C ．20πm D ．24πm 二、填空题
1．如果一条弧长等于
4
π
R ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，•
当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
2．如图3所示，OA=30B ，那么AD 的长是BC 的长的_____倍． 三、综合提高题
1．如下图，AB 所在圆的半径为R ，AB 的长为3
π
R ，⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ，且与⊙O 内切于点D ，求⊙O ′的周长．
2．如图，假设⊙O 的周长为20πcm ，⊙A 、⊙B 的周长都是4πcm ，⊙A 在⊙O•内沿⊙O 滚动，⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动，⊙B 转动6周回到原来的位置，而⊙A 只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
.c
B A O
3．如下图，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD ，AB=1，AD=3，将画刷以B
为中心，按顺时针转动A ′B ′C ′D ′位置〔A ′点转在对角线BD 上〕，求屏幕被着色的面积．
答案:
一、1．B 2．D 3．D 二、1．45°
1
6
πR 2．3 三、1．连结OD 、O ′C ，那么O ′在OD 上
由AB
l
=
3
π
R ，解得：∠AOB=60°， 由Rt △OO ′C•解得⊙O ′的半径r=
13R ，所以⊙O ′的周长为2πr=2
3
πR ． 2．⊙O 、⊙A 、⊙B 的周长分别为20πcm ，4πcm ，4πcm ，
可求出它的半径分别为10cm 、•2cm 、2cm ， 所以OA=8cm ，OB=12cm ，
因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，
所以⊙A 滚动回原位置经过距离为2π×8=16π=4π×4， 而⊙B 滚动回原位置经过距离为2π×12=24π=4π×6． 因此，与原题意相符． 3．设屏幕被着色面积为S ，
那么S=S △ABD +S 扇形BDD`+S △BC`D`=S 矩形ABCD +S 扇形BDD`， 连结BD ′，
在Rt △A ′BD ′中，A ′B=1，A ′D ′3， ∴BD ′=BD=2，∠DBD ′=60°， ∴S=
16π·22+1332
3
π．。