华师版八年级数学上册(HS)导学案 第12章 整式的乘除 乘法公式 两数和(差)的平方

2.两数和（差）的平方
学习目标：
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.（重点）
2.灵活运用完全平方公式进行计算.（难点）
自主学习
一、知识链接
1.计算：(1)22＝___________；21世纪教育网(2)（-3）2＝___________．
2.多项式乘以多项式的法则： .
二、新知预习
试一试根据多项式乘以多项式的法则及乘方的定义填空：
（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=___________；（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=___________；
（3）（p-1)2=( )( )=___________；（4）（m-2)2=( )( )=___________．2
合作探究
一、探究过程
探究点1：两数和（差）的平方公式（也称完全平方公式）
问题1 观察下面两个图形，你能用不同的方式表示图1的面积及图2中
Ⅲ的面积吗？
用两种方法求图1的面积：S＝(_________)2，S＝(_________)2＋_________＋(_________)2.
用两种方法求图2中Ⅲ的面积：
SⅢ＝(_________)2，SⅢ＝(_________)2－_________＋(_________)2.
问题2 根据上面的规律，你能直接写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= ___________ ；（a-b)2=___________.
【要点归纳】完全平方公式：(a＋b)2＝( )2＋_____＋(_____)2，(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2.即两数和（或差）的平方，等于这两数的_______，加上（或减去）它们的积的________.
(1)(2a＋b)2； (2)(－a－b)2； (3)(5＋3p)2； (4)(2x－7y)2．
【方法总结】直接运用完全平方公式进行计算，关键是掌握完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．【针对训练】利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a ＋b)2；
（4）（a+2b﹣1）2.（提示：把其中两项看成一个整体）
探究点2：两数和（差）的平方公式的应用
(1)； (2)982－101×99.
【针对训练】利用乘法公式计算：2－×4042＋2.
【方法总结】运用乘法公式进行简便运算，要熟记乘法公式（平方差公式和完全平方公式）的特征，将原式转化为能利用乘法公式运算的形式后，再进行计算．
已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
【方法总结】运用完全平方公式的变形：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy，(x－y)2＝(x+y)2－4xy快速解题.
当堂检测
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4 C．a2-4 D．a2-4a-4 2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a －b)2
3.运用完全平方公式计算:
(1)(x＋6)2=_______________；(2) (6a+5b)2=_______________；
(3) (4-1)2 =_______________.
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.321 2＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
5.计算：
（1）（﹣m﹣4n）2；（2）（x﹣2y+1）2．
6.已知a+b＝5，ab＝﹣6，求下列各式的值．
（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．
7.已知x+y＝12，x﹣y＝4，不解出x，y的值，求x y的值．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.（1）4 （2）9
2.多项式与多项式相乘，将一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
二、新知预习
试一试（1）p2＋2p+11 （2）m2＋4m+4
（3）p-1 p-1 p2－2p+11 （4）m-2 m-2 m2－4m+4
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题1 a+b a 2ab b a-b a 2ab b
问题2 a2+2ab+b2 a2－2ab+b2
【要点归纳】
a 2a
b b a 2ab b 平方和 2倍
解：（1）原式=4a2+4ab＋b2．（2）原式=a2+2ab＋b2．
（3）原式=25+30p＋9p2．（4）原式=4x2－28xy＋49y2．
【针对训练】解：（1）原式=25-10a+a2．（2）原式=9m2+24mn+16n2．（3）原式=9a2-6ab+b2．（4）原式=（a+2b）2-2（a+2b）+1=a2+4ab+4b2-2a-4b+1．
探究点2：
解：（1）=（200+1）2=+2×200×1+12=40401.
（2）原式=（100-2）2－（100+1）（100-1）=100²-400+4-100²+1=-395. 【针对训练】解：原式=（-）²=1.
3 解：（1）∵x-y=6，xy=-8，∴x2+y2=（x-y）2+2xy=36-16=20. （2）（x+y）2=x2+y2+2xy=20+2×（-8）=4．
二、课堂小结
a2+2ab+b2 a2-2ab+b2
当堂检测
1.A
2.D
3.（1）x2+12n+16n2．（2）原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1＝x2﹣4xy+4y2+2x
﹣4y+1．
6.解：（1）∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×（﹣6）＝3
7.
（2）∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×（﹣6）＝49．
7.解：把已知两式平方，得（x+y）2＝x2+y2+2xy＝144①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝16②，
①﹣②，得4xy＝128，即xy＝32．。