高二数学不等式选讲试题答案及解析

高二数学不等式选讲试题答案及解析
1.关于的不等式的解集为.
【答案】.
【解析】不等式等价，方程的根为5和-2，因此不等式的
解集.
【考点】一元二次不等式的解法
2.已知，不等式的解集
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1);(2)
【解析】(1)理解绝对值的几何意义，表示的是数轴的上点到原点的距离;(2)对分类讨论，分
三部分进行讨论；(3)掌握一般不等式的解法：，
.(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）
，（2）
试题解析：解：（1）由，得
不等式的解集为
当时，不合题意
当时，，；
记，
恒成立，
【考点】(1)含绝对值不等式的解法；（2）恒成立的问题.
3.证明下列不等式：
（1）已知，求证；
（2），求证：.
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】（1）本小题主要考查基本不等式，（当且仅当时等号成立）的
应用问题，分别得到、、，进而再利用同向不等式的可加性即
可得到结论；（2）本小问，主要考查放缩法与裂项求和法.先由得到
，进而裂项求和得到
，从而问题得证.
(1) 证明：
（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），，（当且
仅当时等号成立） 3分
三个不等式相加可得即 6分
（2）因为时，
又 9分
12分.
【考点】1.基本不等式的应用；2.不等式的证明——放缩法；3.裂项求和.
4.不等式的解集是
【答案】
【解析】由题意
【考点】分式不等式的解法
5.设x,y,z都是正实数,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数()
A．至少有一个不大于2B．都小于2
C．至少有一个不小于2D．都大于2
【答案】C
【解析】选C.a+b+c=x+y+z+++≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时等号成立.
所以a,b,c三者中至少有一个不小于2.
6.设x>0,y>0,M=,N=+,则M,N的大小关系
是()
A．M>N B．M<N
C．M=N D．不确定
【答案】B
【解析】选B.N=+>+==M.
7.若n是大于1的自然数,求证:+++…+<2.
【答案】见解析
【解析】证明：因为<=-,
k=2,3,…,n,
所以+++…+<+++…+=+++…+=2-<2, 所以+++…+<2.
8.设a
1,a
2
,…,a
n
是正数,求证:++…+<.
【答案】见解析
【解析】证明：左边<++…+
=++…+
=-<=右边,
故++…+<.
9.已知a>b>0,则下列各式中成立的是()
A．=B．> C．<D．=
【答案】C
【解析】选C.因为-=
=,
因为a>b>0,a2>b2,所以b2-a2<0,
即<0,所以<.
10.已知△ABC中,∠C=90°,则的取值范围是() A．(0,2)B．C．D．
【答案】C
【解析】选C.因为∠C=90°,所以c2=a2+b2,
即c=.又有a+b>c,
所以1<=≤=.
11.实数x,y满足=x-y,则x的取值范围是.
【答案】(-∞,0)∪[4,+∞)
【解析】由=x-y得x==
=y-1++2,
当y>1时,x≥2+2=4,当且仅当y=2时取“=”,
当y<1时,x≤-2+2=0,当且仅当y=0时取“=”,而y≠0,所以x<0.
12.已知x,y∈R,且<1,<1,求证:+≥.
【答案】见解析
【解析】证明：因为<1,<1,所以>0,>0.
所以+≥.
故要证明结论成立,只需证≥成立,
即证1-xy≥成立即可,
因为(y-x)2≥0,有-2xy≥-x2-y2,
所以(1-xy)2≥(1-x2)(1-y2),
所以1-xy≥>0,
所以不等式成立.
13.“a>1”是“<1”的()
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选A.因为a>1,所以<1.
而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.
14.若x是正数,且x3-x=2,则x与的大小关系为.
【答案】x>
【解析】由x3-x=2知x2-1=,
所以(x2-1)(x2+1)=(x2+1)=2>4,
即x4-1>4,从而x4>5,所以x>.
15.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证()
A．2ab-1-a2b2≤0
B．a2+b2-1-≤0
C．-1-a2b2≤0
D．(a2-1) (b2-1)≥0
【答案】D
【解析】选D.a2+b2-1-a2b2=-(a2-1)(b2-1),
要证原不等式成立,只需证-(a2-1)(b2-1)≤0,即证(a2-1)(b2-1)≥0.
16.用分析法证明:当x>1时,x>ln(1+x).
【答案】见解析
【解析】证明:当x>1时,要证x>ln(1+x),即证f(x)= x-ln(1+x)>0=f(0),即证f'(x)=1-=>0,显然x>1时,f'(x)>0,所以原命题成立.
17.已知实数a,b满足:关于x的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R均成立.
(1)请验证a=-2,b=-8满足题意.
(2)求出所有满足题意的实数a,b,并说明理由.
(3)若对一切x>2,均有不等式x2+ax+b≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析 (2)a=-2,b=-8，理由见解析 (3) (-∞,2]
【解析】(1)当a=-2,b=-8时,有
|x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8|
=|2x2-4x-16|.
(2)在|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中,
分别取x=4,x=-2,
得,所以,
所以a=-2,b=-8,
因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.
(3)由x2+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2),
所以x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x2-4x+7≥m(x-1),
所以对一切x>2,均有不等式≥m成立,
而=(x-1)+-2
≥2-2=2(当且仅当x=3时等号成立),
所以实数m的取值范围是(-∞,2].
18.函数y=(x>0)的最小值是()
A．2B．2-1
C．-2-1D．2-2
【答案】B
【解析】【解题指南】对函数表达式适当变形,使之能够利用基本不等式求最值.
解:选B.y==x+=(x+1)+-1≥2-1=2-1,
当且仅当x=-1时等号成立.
19.若实数x,y适合不等式xy>1,x+y≥-2,则()
A．x>0,y>0B．x<0,y<0
C．x>0,y<0D．x<0,y>0
【答案】A
【解析】选A.x,y异号时,显然与xy>1矛盾,所以可排除C,D.假设x<0,y<0,则x<.
所以x+y<y+≤-2与x+y≥-2矛盾,
故假设不成立.
又因为xy≠0,所以x>0,y>0.
20.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是.
【解析】因为x,a,b,y成等差数列,所以x+y=a+b,
又x,c,d,y成等比数列,所以xy=cd,
===++2
≥2+2=4,当且仅当x=y时,取等号.
21.下面四个命题:①若a>b,c>1,则algc>blgc;
②若a>b,c>0,则algc>blgc;
③若a>b,则a·2c>b·2c;
④若a<b<0,c>0,则>.
其中正确命题有.(填序号)
【答案】①③④
【解析】②不正确,因为0<c<1时,lgc<0.①③④正确.
22.已知a>0,b>0且a2+=1,求a的最大值.
【答案】
【解析】a=·a·=·
≤·=·=,
当且仅当a2=,又a2+=1,即a=,b=
时,等号成立.故所求最大值为.
23.用适当方法证明：已知：，求证：。

【答案】证明不等式的方法可以从条件出发来推理论证得到证明结论。

也可以运用分析法来证明。

【解析】证明：（用综合法）∵，
【考点】综合法
点评：主要是考查了不等式的证明，可以用综合法也可以运用分析法来得到。

属于基础题。

24. .已知是正实数，则下列说法正确的个数是（）
①
②若，则
③若，则
④若，则可都大于
A．B．C．D．
【解析】解：因为
①，利用作差法得到不成立。

②若，则，可以作差得到成立。

③若，则，
④若，则可都大于不成立，反证法说明。

25.（14分）已知a,b都是正数，求证：.
【答案】见解析
【解析】本题考查了综合法证明不等式，证明时往往用到因式分解、配方等一些技巧。

证明：=
∵a，b都是正数，∴a+b，＞0
又∵a≠b，∴＞0∴＞0
即
26. .如果函数y＝ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为
【答案】C
【解析】略
27.选修4-5 不等式选讲
已知函数
（I）试求的值域；
（II）设，若对，恒有成立，试求实数a的取值范围。

【答案】解：（I），。

（II）若，当且仅当时取得等号。

再由（I）知的最大值为3.
若对，恒有成立，即
，解之得，
故实数a的取值范围是
【解析】略
28.（本题10分）
已知关于的不等式（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围。

【答案】解（Ⅰ）原不等式
5分
-----------------
（Ⅱ）
【解析】略
29.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，求证：．
【答案】证明：
【解析】略
30.不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，不等式，
可化为①或②，
解①得：，解②得：x∈∅，
故选A．
【考点】一元二次不等式的解法；化归与转化思想．。