2024学年天津市东丽区天津耀华滨海学校高三适应性练习(一)数学试题试卷

2024学年天津市东丽区天津耀华滨海学校高三适应性练习（一）数学试题试卷 注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．1
B ．43
C ．3
D ．4 2．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 3．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）
A ．219
B ．995
C ．4895
D ．519
4．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ）
A ．c c a b >
B ．22ac bc ＜
C ．lna lnb ＜
D ．1
1
()()22a b
< 6．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )
A ．18种
B ．36种
C ．54种
D ．72种
7．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）
A ．503π
B ．21π
C ．1003π
D ．42π
8．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．
A ．15
B ．25
C ．310
D ．14 9．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516- B ．18932- C ．2164- D ．28358
10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;
② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;
③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 11．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A ．﹣3∈A
B ．3∉B
C ．A∩B=B
D ．A ∪B=B
12．已知双曲线
)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足
，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．2 C ． D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则94
S a =______. 14．已知1()()f x x a a R x =+-∈，若存在1231,,,,[,2]2
n x x x x ⋅⋅⋅∈，使得121()()()n f x f x f x -++⋅⋅⋅+()n f x =成立的最大正整数n 为6，则a 的取值范围为________.
15．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,33B a b π=
==，则ABC 的面积为___________． 16．已知()727012711112x a a x a x a x x x
⎛
⎫+-=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，则2a =___________，0127a a a a +++⋅⋅⋅+=_____________________________
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知在
中，角的对边分别为,且.
（1）求的值；
（2）若,求的取值范围. 18．（12分）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求e 的值.
（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且k <，是否存在k AC =成立？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.
19．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △
，O 为坐标原点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.
20．（12分）设函数()2
22ln ()f x x x a x a R =-+∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点,m n ，求证：
()()41f m f n mn m n
->--. 21．（12分）已知函数()2x f x xe x =- （1）求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程
（2）设函数()()2ln g x f x x =-，对于任意()0,x ∈+∞，()g x a >恒成立，求a 的取值范围.
22．（10分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.
（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；
（2）记X 为选出的4名选手中女教师的人数，求X 的概率分布和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.
【详解】
根据三视图可知：该几何体为三棱锥
如图
该几何体为三棱锥A BCD -，长度如上图 所以111121,11222
MBD DEC BCN S S S ∆∆∆==
⨯⨯==⨯⨯= 所以3222
BCD MBD DEC BCN S S S S ∆∆∆∆=⨯---= 所以113A BCD BCD V S AN -∆=⋅⋅= 故选：A
【点睛】
本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.
2、B
【解析】
由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得a 与b 的夹角.
【详解】 根据平面向量数量积的垂直关系可得()2220a b a a a b -⋅=-⋅=， ()2220b a b b a b -⋅=-⋅=， 所以222a b a b ==⋅，即a b =， 由平面向量数量积定义可得22cos ,a a b a b
=⋅，
所以2cos ,2a b =，而[],0,a b π∈， 即a 与b 的夹角为4
π. 故选：B
【点睛】 本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.
3、B
【解析】
利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.
【详解】 20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +=
=. 故选:B.
【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.
4、A
【解析】
由
排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果. 【详解】
由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
5、C
【解析】
A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【详解】
解：对于,A 实数0a b <<， 11,c c a b a b ∴
>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．
对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出．
对于.D 指数函数1()2x
y =单调递减性质，因此不成立．
故选：C ．
【点睛】
利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
6、B
【解析】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.
【详解】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，
则不同的分配方案有234336C A =种. 故选：B .
【点睛】
本题考查排列组合，属于基础题.
7、C
【解析】 令()262x k k Z π
ππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=
⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.
【详解】 令()262x k k Z π
π
π-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123
x k k Z π=π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k .则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦
上有8条对称轴.
根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366
n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323
+⨯ππ=⨯= 故选:C.
【点睛】
本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式.
8、A
【解析】
基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．
【详解】
解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，
基本事件总数4520n =⨯=，
其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，
∴其和等于11的概率41205
p =
=． 故选：A ．
【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
9、D
【解析】
写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可.
【详解】 二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22r r r r r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为744
4712835(3)28
C -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
10、C
【解析】
画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．
【详解】
如图；
连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；
直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确；
过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：
是五边形EHFGI ．所以③不正确；
如图：
三棱锥B EFG -的体积为：
由条件易知F 是GM 中点，
所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==,
而=2311522131=2222BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBM V -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56
，④正确； 故选：C ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．
11、C
【解析】
试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂=
考点：集合间的关系
12、C
【解析】
计算得到
，，代入双曲线化简得到答案.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为
，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，， 故，，故，代入双曲线化简得到：，故. 故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、18
【解析】
先由712a a =-，可得12a d =-，再结合等差数列的前n 项和公式求解即可.
【详解】
解：因为711+62a a d a ==-，所以12a d =-，()19544194992183a d S a d a a a d d
+⨯====+. 故答案为：18.
【点睛】
本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题.
14、15191321[)(,]81058
⋃， 【解析】
由题意得()()()()min max min
max 56f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可. 【详解】
原问题等价于()()()()min max min max
56f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，
当2a <时，函数图象如图
此时()()min max 522
，f x a f x a =-=-， 则()()55225622a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩
，解得：1519810a ≤<； 当924
a ≤<时，函数图象如图
此时()()min max 502
，f x f x a ==-，
则55025602a a ⎧⨯≤-⎪⎪⎨⎪⨯>-⎪⎩
，解得：a ∈∅； 当9542
a ≤<时，函数图象如图
此时()()min max 02，f x f x a ==-，
则502602a a ⨯≤-⎧⎨⨯>-⎩
，解得：a ∈∅； 当52
a ≥时，函数图象如图
此时()()min max 5
22
，f x a f x a =-=-， 则55225622a a a a ⎧⎛⎫-≤- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪->- ⎪⎪⎝
⎭⎩，解得：132158a <≤； 综上，满足条件a 的取值范围为15191321[
)(,]81058⋃，. 故答案为：15191321[
)(,]81058
⋃， 【点睛】
本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.
15、32 【解析】 由余弦定理先算出c ，再利用面积公式1sin 2S ac B =
计算即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，
故ABC ∆的面积13sin 22
S ac B ==. 故答案为：
32
【点睛】 本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.
16、−196 −3
【解析】
由二项式定理及二项式展开式通项得：()()232327722196a C C =-+-=-，令x =1，则1+a 0+a 1+…+a 7=（1+1）×
（1-2）7=-2，所以a 0+a 1+…+a 7=-3，得解．
【详解】
由二项式(1−2x )7展开式的通项得()172r
r r T C x +=-，
则()()232327722196a C C =-+-=-， 令x =1,则()()7
017111122a a a +++⋯+=+⨯-=-，
所以a 0+a 1+…+a 7=−3，
故答案为：−196，−3.
【点睛】
本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）（2） 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将
分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，
根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.
试题解析：（1）由，
应用余弦定理，可得
化简得则
（2）
即
所以
法一.,
则
=
=
=
又
法二
因为由余弦定理
得，
又因为，当且仅当时“”成立.
所以
又由三边关系定理可知
综上
考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.
18、（1）12
e =
；（2）不存在，理由见解析 【解析】 （1）写出2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率； （2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，利用等
AB AC =即可得解.
【详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D . 点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB k k =-，2221310b b b a a a a c c a
--⋅=--- 化简得：22230c ac a -+=，
即22310e e -+=，解得12e =
或1e =（舍去）， 所以12
e =； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=， 由（1
）可得1,,:22A AB y kx k ⎛
=-+ ⎝⎭
，2
k <-
联立2212
2x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
2222212210k k x x k k +-+--=， 设B 的横坐标B x
，根据韦达定理1B x ⨯=，
即222112B k x k --=+
，2
k <-，
所以1B A B ==-，
同理可得2
12
1
2
1
k
AC
k
⎫
-+
⎪
⎝⎭
==
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
+
若存在k
AB AC
=成立，
则
22
2
122
k
k k
+
=
++
，
20
k
++=，∆<0，此方程无解，
所以不存在k
AC
=成立.
【点睛】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.
19、（1）
22
1
43
x y
+=；（2）当1212
x x y y
+＝0时，点O到直线MN
的距离为定值
7
.
【解析】
（1）12
PF F
△的面积最大时，P
是短轴端点，由此可得bc=222
a b c
=+可得,a b，从而得椭圆方程；
（2）在直线MN斜率存在时，设其方程为y kx m
=+，现椭圆方程联立消元（y）后应用韦达定理得1212
,
x x x x
+，注意>0
∆，一是计算
1212
x x y y
+，二是计算原点到直线MN的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为P在椭圆上，当P是短轴端点时，P到x轴距离最大，此时12
PF F
∆
面积最大，所以
1
2
2
c b bc
⨯⨯==
由
222
1
2
bc
c
a
a b c
⎧=
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=+
⎪⎩
，解得
2
1
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
所以椭圆方程为
22
1
43
x y
+=．
（2）在12
x x
≠时，设直线MN方程为y kx m
=+
，原点到此直线的距离为d=
2
2
2
1
m
d
k
=
+
，
由2214
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=， 2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+， 所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k
-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
222222
22224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k --+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2
212(1)7m k =+，2221217m d k ==+
，7d =为常数． 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =
，7
d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
. 【点睛】 本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．
20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】 （Ⅰ）求导得到2222()x x a f x x
-+'=，讨论14a ≥，104a <<，0a ≤三种情况得到单调区间. （Ⅱ）设m n >，要证()()41f m f n mn m n
->--，即证()()(4-1)()f m f n mn m n ->-，1,m n mn a +==，设1()ln ln(1)42(1)2
g m m m m m =---+<<，根据函数单调性得到证明. 【详解】
（Ⅰ） 22222()22a x x a f x x x x
-+'=-+=(0)x >， 令2()222g x x x a =-+，4(14)a ∆=-，
（1）当0∆≤，即14
a ≥时，()0g x ≥，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
（2）当>0∆，即14
a <时，设()0g x =的两根为12,x x （12x x <），
12x x == ①若104
a <<，120x x <<，12(0,)(,)x x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，
12(,)x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在12(,)x x 上单调递减，
②若0a ≤，120x x ≤<，2(0,)x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在2(0,)x 上单调递减， 2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在2(,)x +∞上单调递增. 综上，当14a ≥
时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当104a <<时， ()f x 在和)+∞上单调递增，
在上单调递减；
当0a ≤时，()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增. （Ⅱ）不妨设m n >，要证()()41f m f n mn m n
->--， 即证()()(4-1)()f m f n mn m n ->-，
即证()()(4-1)()0f m f n mn m n --->，
由（Ⅰ）可知，1,m n mn a +==，104
a <<，可得1012n m <<<<， ()()()()2()2(ln ln )f m f n m n m n m n a m n -=-+--+-，
所以有()()(41)()2[ln ln(1)42]f m f n mn m n a m m m ----=---+， 令1()ln ln(1)42(1)2
g m m m m m =---+<<， 22
11441(21)()401(1)(1)
m m m g m m m m m m m -+-'=+-==>---， 所以()g m 在1(,1)2
单调递增， 所以1
()()02g m g >=， 因为104a <<，所以2[ln ln(1)42]0a m m m ---+>，所以()()41f m f n mn m n ->--.
本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.
21、（1）(22)y e x e =--；（2）22ln 2a <-
【解析】
（1）求出(),(1),(1)f x f f ''，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）a 的取值范围满足min ()a g x <，()0,x ∈+∞，求出()g x '，当()0,x ∈+∞时求出()0g x '>，()0g x '<的解，得到单调区间，极小值最小值即可.
【详解】
（1）由于'()(1)2,(1)22x f x x e f e '=+-=-，
此时切点坐标为(1,2)e -
所以切线方程为(22)y e x e =--.
（2）由已知()22ln x g x xe x x =--， 故12
'()(1)2(1)(1)()x x g x x e x e x x =+-+=+-.
由于(0,)x ∈+∞，故10x +>， 设2
()x h x e x =-由于2
()x h x e x =-在(0,)+∞单调递增
同时0x →时，()h x →-∞，x →+∞时，()h x →+∞，
故存在00x >使得0()0h x =
且当0(0,)x x ∈时()0h x <，当0(,)x x ∈+∞时()0h x >，
所以当0(0,)x x ∈时)'(0g x <，当0(,)x x ∈+∞时'()0g x >，
所以当0x x =时，()g x 取得极小值，也是最小值，
故0min 0000()()2(ln )x
g x g x x e x x ==-+ 由于0000000
2
()02ln ln 2x x h x e x e x x x =-=⇒=⇒+=，
所以min ()22ln 2g x =-，
22ln 2a ∴<-.
本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
22、（1）28种；（2）分布见解析，75
. 【解析】
（1）分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数；
（2）X 的可能取值为0123，，，，再求出X 的每个取值的概率，可得X 的概率分布和数学期望.
【详解】
解：（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为1122114
1242228C C C C C C +=种. （2）X 的可能取值为0，1，2，3.
224222541(0)10
C C P X C C ===， 1122114124222254
7(1)15C C C C C C P X C C +===， 1111224122422254
11(2)30C C C C C C P X C C +===， 124222541(3)15
C C P X C C ===. 故X 的概率分布为：
所以7()5E x =
. 【点睛】
本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.。