沪科版数学9年级上册第22章检测卷

第22章检测卷
时间：120分钟 满分：150分
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ ） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶16
2．已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a ＝9cm ，b ＝4cm ，则线段c 的长为（ ）
A ．18cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．±6cm 3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．锐角三角形都相似
B ．直角三角形都相似
C ．腰长相等的等腰三角形都相似
D ．等边三角形都相似
4．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB
BC
＝2
3
，DE ＝4，则EF 的长是（ ） A.83 B.20
3
C ．6
D ．10
第4题图
5．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（ ）
A ．4
B ．7
C ．3
D ．12
第5题图
第6题图
6．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为1
3
，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则点C 的坐标为（ ） A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)
7．如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：①∠AED ＝∠B ；②∠ADE ＝∠C ；③
AE AB ＝DE BC ；④AD AC ＝AE
AB
；⑤AC 2＝AD ·AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（ ）
A ．①②④
B ．②④⑤
C ．①②③④
D ．①②③⑤
第7题图
8．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ；使斜边DE 所在的直线经过点A ，测得边DF 离地面的高度为1m ，点D 到AB 的距离等于7.5m.已知DF ＝1.5m ，EF ＝0.6m ，那么树AB 的高度等于（ ）
A ．4m
B ．4.5m
C ．4.6m
D ．4.8m
第8题图
第9题图
9．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们重叠的部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半，若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′是（ ）
A.2－1
B.
22 C ．1 D.12
10．如图所示，已知点A (0，0)，B (3，0)，C (0，1)．在△ABC 内依次作等边三角形，
使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，…则第n 个等边三角形的边长等于（ ）
A.
3
2n
B.32n －1
C.12n
D.32
n ＋1
第10题图
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米．
12．若a 3＝b 4＝c
5，则2a －b c
＝ .
13．如图，身高为1.7m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树
CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A 、E 、C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12m ，BE ＝3m ，则树CD 的高为 .
第13题图
第14题图
14．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④S 四边形CDEF ＝5
2S △ABF .其中正确的结
论有 (填序号)．
三、解答题(本大题共9小题，共90分)
15．(8分)钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土．在一张比例尺为1∶100000的地图上，测得其图上面积(钓鱼岛主岛)约为6.34cm 2.请你计算钓鱼岛主岛的实际面积约为多少平方公里．
16．(8分)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F .求证：
(1)△ACB ∽△DCE ； (2)EF ⊥AB .
17．(8分)如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T(1，1)、A(2，3)、B(4，2)．
(1)以点T(1，1)为位似中心，按TA′∶TA＝3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′.画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；
(2)在(1)中，若C(a，b)为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．
18.(8分)如图，在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，直线DN ∥AM ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，交BC 于点N .求证：AD AB ＝AE
AC
.
19．(10分)如图所示，AD 为△ABC 的中线，E 为AD 上一点，若∠DAC ＝∠B ，CD ＝CE ，求证：
(1)△ACE ∽△BAD ； (2)CD 2＝AE ·AD .
20．(10分)李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE 正好相等．接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25m ，已知李明直立时的身高为1.75m ，求路灯的高CD 的长(结果精确到0.1m)．
21．(12分)如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM＝AN，MC交AB于D，NB 交AC于E.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)连接DE，如果DE＝1，BC＝3，求MN的长．
22．(12分)如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD＝AD＝AC，AD与CE相交于点F，AE2＝EF·EC.
(1)求证：∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；
(2)求证：AF·AD＝AB·EF.
23．(14分)阅读理解：
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫作四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫作四边形ABCD的边AB上的强相似点．
解决问题：
(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
第22章检测卷
1．B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.A 8.A
9．A 解析：设A ′C ′与BC 的交点为D .由平移的性质得AC ∥A ′C ′，∴△ABC ∽△A ′BD ，∴S △ABC S △A ′BD ＝⎝⎛⎭
⎫AB A ′B 2.∵AB ＝2，它们重叠的部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半，∴⎝⎛⎭
⎫2
A ′
B 2
＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.故选A. 10．A 解析：如图，过A 1作A 1D ⊥BO 于点D .∵△AA 1B 1为等边三角形，A 1D ⊥AB 1，∴AD ＝DB 1，∠AA 1D ＝30°.设AD ＝DB 1＝x ，∴A 1A ＝2AD ＝2x ，∴A 1D ＝A 1A 2－AD 2＝3
x .∵A 1D ∥CO ，∴△BA 1D ∽△BCO ，∴A 1D CO ＝BD BO ，即3x 1＝3－x 3，解得x ＝3
4，∴2x ＝
3
2
.∵△AA 1B 和△B 1A 2B 2均为等边三角形，∴∠A 1AB 1＝∠A 2B 1B 2＝60°，∴A 1A ∥A 2B 1，∴△BA 2B 1∽△BA 1A ，∴A 2B 1A 1A ＝BB 1BA ，即A 2B 1
3
2＝
3－
323
，∴A 2B 1＝3
4，∴等边△B 1A 2B 2的边
长为
34.同理可得等边△B 2A 3B 3，△B 3A 4B 4，…边长依次为38，3
16
，…，∴第n 个等边三角形的边长等于
3
2
n
.故选A.
11．(105－10) 12.2
5
13.5.1m
14．①②③④ 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝BC ，∴∠EAF ＝∠ACB .∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠AFE ＝∠ABC ＝90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正
确；∵∠EAF ＝∠BCF ，∠AFE ＝∠CFB ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE BC ＝AF
CF .∵E 是AD 边中点，
∴AE ＝12AD ＝12BC ，∴AF CF ＝1
2，∴CF ＝2AF ，故②正确；如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于点
N ，交BC 于点M .∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝1
2BC ，
∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF .∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DN 垂直平分CF ，∴DF ＝DC ，故③正确；∵△AEF ∽△CBF ，∴
EF BF ＝AE BC ＝12，∴S △AEF ＝12S △ABF ，∴S △AEF ＝1
3
S △ABE ＝112S 矩形ABCD ，∴S 四边形CDEF ＝S △ACD －S △AEF ＝12S 矩形ABCD －112S 矩形ABCD ＝5
12S 矩形ABCD ＝5S △AEF ＝52S △ABF
，故④正确．故答案为①②③④.
15．解：设钓鱼岛主岛的实际面积约为x 平方公里，(1分)则6.34x ·1010＝⎝⎛⎭⎫11000002＝1
1010，(5分)∴x ＝6.34.(7分)
答：钓鱼岛主岛的实际面积约为6.34平方公里．(8分)
16．证明：(1)∵
AC DC ＝32，BC CE ＝64＝32，∴AC DC ＝BC
CE
.(2分)又∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴△ACB ∽△DCE ；(4分)
(2)∵△ACB ∽△DCE ，∴∠ABC ＝∠DEC .(5分)∵∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＋∠A ＝90°，∴∠DEC ＋∠A ＝90°，(6分)∴∠EF A ＝90°，∴EF ⊥AB .(8分)
17．解：(1)△TA ′B ′如图所示，(4分)点A ′的坐标为(4，7)，点B ′的坐标为(10，4)；(6分)
(2)点C ′的坐标为(3a －2，3b －2)．(8分) 18．证明：∵DN ∥AM ，∴AD AB ＝MN MB ，AE AC ＝MN
MC
.(4分)∵AM 是BC 边上的中线，∴MB ＝MC ，(6分)∴AD AB ＝AE
AC
.(8分)
19．证明：(1)∵CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠CED .(1分)又∵∠CDE ＝∠B ＋∠BAD ，∠CED ＝∠DAC ＋∠ACE ，∠DAC ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠ACE ，(4分)∴△ACE ∽△BAD ；(5分)
(2)由(1)可知△ACE ∽△BAD ，∴CE AD ＝AE
BD .(7分)∵AD 为△ABC 的中线，∴BD ＝CD .又
∵CD ＝CE ，∴CD AD ＝AE
CD
，(9分)∴CD 2＝AE ·AD .(10分)
20．解：设路灯的高CD 的长为x m.(1分)由题意可知△EAM ，△ECD 为等腰直角三角形，∴EC ＝CD ＝x m ，EA ＝AM ＝1.75m ，AC ＝(x －1.75)m.(3分)∵BN ⊥CE ，CD ⊥CE ，∴BN ∥CD ，∴△ABN ∽△ACD ，(5分)∴AB AC ＝BN CD ，即 1.25x －1.75＝1.75
x ，(7分)解得x ≈6.1.(9
分)
答：路灯的高CD 的长约为6.1m.(10分)
21．(1)证明：∵MN ∥BC ，∴△MAD ∽△CBD ，△NAE ∽△BCE ，∴AM BC ＝AD BD ，AN CB ＝AE
CE .(3
分)又∵AM ＝AN ，∴AD BD ＝AE CE ，∴AD AB ＝AE
AC .(5分)又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ；
(6分)
(2)解：由(1)可知△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ＝13，∴AD BD ＝12，(8分)∴AM BC ＝AD BD ＝1
2，∴AM
＝12BC ＝3
2
，(10分)∴MN ＝2AM ＝3.(12分) 22．证明：(1)∵AE 2＝EF ·EC ，∴
AE CE ＝EF
AE
.又∵∠AEF ＝∠CEA ，∴△EAF ∽△ECA ，∴∠EAF ＝∠ECA .(3分)∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD .∵∠ACD ＝∠DCE ＋∠ECA ＝∠DCE ＋∠EAF ，∴∠ADC ＝∠DCE ＋∠EAF ；(6分)
(2)由(1)可知△EAF ∽△ECA ，∴∠EF A ＝∠EAC ，即∠EF A ＝∠CAB .(8分)∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，即∠B ＝∠EAF ，∴△F AE ∽△ABC ，(10分)∴
F A AB ＝EF
CA
，∴F A ·CA ＝EF ·AB .(11分)∵AC ＝AD ，∴AF ·AD ＝AB ·EF .(12分)
23．解：(1)点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点．(1分)理由如下：∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝55°，∴∠ADE ＋∠AED ＝∠AED ＋∠BEC ＝125°，∴∠ADE ＝∠BEC ，∴△AED ∽△BCE ，∴点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点；(4分)
(2)作图如图，E 点位于E 1或E 2均符合题意；(8分
)
(3)∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上一个强相似点，∴△AME ∽△BEC ∽△EMC ，∴∠BCE ＝∠ECM .(10分)由折叠可知CE ＝CD ，∠DCM ＝∠ECM .又∵∠BCE ＋∠ECM ＋∠DCM ＝90°，∴∠BCE ＝30°，∴BE ＝12CE ＝12CD ＝1
2AB ，∴BC ＝CE 2－BE 2＝
（2BE ）2－BE 2
＝3BE ，∴BE BC ＝33，∴12AB BC ＝33，∴AB ＝233BC .(14分)。