河南省漯河市高级中学2023—2024学年高三(上)摸底考试数学试题及答案

漯河市高级中学2023—2024学年高三（上）摸底考试
数
学
考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在试卷上无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下面四个命题正确的是(
)
A.10以内的质数集合是{1,3,5,7}
B.0与{0}表示同一个集合
C.方程2440x x -+=的解集是{2,2}
D.由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
2.若复数z 所对应的点在第四象限，且满足2220z z -+=，则2z =()
A.1i
+ B.1i
- C.2i
- D.2i
3.已知四面体A BCD -的所有棱长都等于2，E 是棱AB 的中点，F 是棱CD 上靠近点C
的四等分点，则EF AC ⋅
等于()A.12
-
B.
12
C.52
-
D.
52
4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。

问两鼠在第几天相遇？()A.第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天
5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(
)
A.1
4- B.1
2 C.1
4 D.1
2
+ 6.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n .若3
cos ,2
〈〉=-a n ，则直线l 与平面α所成的角为()A.
3
π B.
23
π C.
6
π D.
56
π7.若对任意正实数x ，y 都有2(ln ln )0e x y y x y m ⎛
⎫---≤ ⎪⎝
⎭，则实数m 的取值范围为(
)
A.(0,1]
B.(0,e]
C.(,0)[1,)-∞+∞
D.(,0)[e,)
-∞+∞ 8.函数ln ()1
x
f x x =
+的图象大致是()
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知集合{}20,0x x ax b a ++=>∣有且仅有两个子集，则下列结论正确的是()
A.224a b -≤
B.21
4a b
+
≥C.若不等式20x ax b +-<的解集为{}12x
x x x <<∣，则120x x >D.若不等式2x ax b c ++<的解集为{}12x
x x x <<∣，且124x x -=，则4c =10.双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则C 的离心率为()
A.
2
C.
3
D.
5
11.下列说法正确的是(
)
A.点斜式()11y y k x x -=-适用于不垂直于x 轴的任何直线
B.斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线
C.两点式11
2121
y y x x y y x x --=
--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线D.截距式
1x y
a b
+=适用于不过原点的任何直线12.已知函数2()ln f x x x =-，则下列说法正确的是()
A.函数()f x 在12
e x -=处取得极大值12e
B.方程()0f x =有两个不同的实数根
C.12f f f ⎛⎛⎫>
> ⎪ ⎝⎭⎝D.若不等式2() k f x x >+在(0,)+∞上恒成立，则e k >三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数()2f x x a =+，()ln 2g x x x =-，如果对任意的1x ，21,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，都有
()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是______.
14.已知函数()()2lg 25f x x ax a =+-在[)2,∞+上是增函数,则a 的取值范围是__________.
15.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若124AB AA AD ===
，
11A F B F ==P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，1C E ，1BB ，1A F 的中点，则异面直线
PQ 与MN
所成角的余弦值是___________.
16.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为_________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）
已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n b 满足n n b n a =+，求{}n b 的前n 项和n T .
18.（12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
已知函数()1
ax b
f x x +=
+，且()14f =-，()22f =-.（1）求()f x 的解析式；
（2）判断()f x 在()1,-+∞上的单调性，并用定义证明.
20.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。

为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
216362574
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.
已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过(2,0)，32⎫
⎪⎪⎭
两点.（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在直线l ，使得直线l 与圆221x y +=相切，与椭圆C 交于A ，B 两点，且
满足0OA OB ⋅=
(O 为坐标原点)?若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.
22.（12分）
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB ，余下的外围是抛物线的一段，AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O 是AB 的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD 区域种植草坪，其中A ，B ，C ，D 均在该抛物线上.经测量，直路AB 段长为60米，抛物线的顶点P 到直路AB 的距离为40米.以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .
（1）求该段抛物线的方程；
（2）当CD 长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD 的面积最大？
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：D
解析：10以内的质数有2，3，5，7，故A 错误；0是集合{0}中的一个元素，故B 错误；由集合元素的互异性可知{2,2}错误，故C 错误；由集合元素的无序性可知D 正确.故选D.2.答案：C
解析：根据已知有：因为复数z 满足：222z z -+0=，即2(1)1z -=-，故1i z =+或
1i z =-，因为复数z 所对应的点在第四象限，故复数1i z =-，所以22i z =-.故选C.
3.答案：D
解析：因为E 是棱AB 的中点，F 是棱CD 上靠近点C 的四等分点，所以
1124EF AB BC CD =++ ，所以1124EF AC AB AC BC AC CD AC ⋅=⋅+⋅+⋅
.因为
||||cos ,22cos 602AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅〈〉=⨯⨯︒=
，||||cos ,22cos 602BC AC BC AC BC AC ⋅=⋅〈〉=⨯⨯︒=
，||||cos ,22cos1202CD AC CD AC CD AC ⋅=⋅〈〉=⨯⨯︒=-
，所以115
22(2)242
EF AC ⋅=⨯++⨯-= .故选D.
4.答案：B
解析：第一天：大老鼠1+小老鼠1=2；
第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5
第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇5.答案：D
解析：设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为h '，则
由题意可知，2
2
22114222h ah a h h ⎧=⨯⨯⎪⎪
⎨⎛⎫
''⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，
因此有
2
222a h h ah ⎛⎫
''=-= ⎪⎝⎭，
即2
104h h a a ''⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，
解得122h a '=±，因为
0h a
'
>，所以122
h a '=+.
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为12+.
故选：D.6.答案：A
解析：由题意，设直线l 与平面α所成的角为θ，则3
sin |cos ,|2
θ=〈〉=
a n .由0,2θπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，得3θπ=.故选A.
7.答案：A
解析：因为2(ln ln )0e x y y x y m ⎛
⎫---≤ ⎪⎝
⎭，
所以12ln e x x y y m ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，设x t y =，0t >，()2ln e t f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则ln 21()e e t f t t '
=-
+-，ln e 21
(e)0e e e f '=-
+-=，令ln 21
()e e
t g t t =-
+-212
()0e g t t t
'=-
-<恒成立，故()y f t '=单调递减，当(0,e)t ∈时，()0f t '>，函数()f t 单调递增；当(e,)t ∈+∞时，()0f t '<，函数()f t 单调递减；
故max ()(e)1f t f ==所以
1
1m
≥，得到(0,1]m ∈.8.答案：C
解析：由ln ()1
x f x x =+，得2
1
1ln ()(0)1x x f x x x +-'=>+.令1()1ln g x x x =+
-，则22111()0x
g x x x x
+'=--=-<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减.又1(e)0e g =
>，222211
(e )1ln e 10e e
g =+-=-<，所以存在20e (),e x ∈，使得0()0g x =，所以当0()0,x x ∈时，()0g x >，()0f x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<.
所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减.故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.答案：ABD
解析：由于集合{}20,0x x ax b a ++=>∣有且仅有两个子集，所以240a b ∆=-=，
24a b =.因为20a >，所以0b >.22224(2)44a b b b b -=-=--+≤，当且仅当2b =
，
a =A
正确.21144a b b b +
=+≥=，当且仅当1
4b b
=，即1
2
b =
，a =时等号成立，故B 正确.不等式20x ax b +-<的解集为{}12x
x x x <<∣，则120x x b =-<，故C 错误.不等式2x ax b c ++<的解集为{}12!x x x x <<，即不等式
20x ax b c ++-<的解集为{}12x
x x x <<∣，且124x x -=，又因为12x x a +=-，12x x b c =-，所以()2
2
1212124x x x x x x -=+-24()416a b c c =--==，所以4c =，故D
正确.选ABD.10.答案：AB
解析：当双曲线C 的焦点在x 轴上时，渐近线为222b
y x b a a
=±⇒
=⇒=，可设1a =，2b =，则c =，离心率c
e
a
==；当双曲线C 的焦点在y 轴上时，渐近线
为222a
y x a b b
=±⇒=⇒=，可设2a =，1b =，则c =，离心率52c e a ==
，故选AB.
11.答案：ABC
解析：A，B，C 均正确，D 中，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示.12.答案：AC
解析：易知函数()f x 的定义域为(0,) +∞，2
()2ln (12ln )x f x x x x x x -'=-+=-+，令()(12ln )0f x x x '=-+=，则12ln 0x +=，解得
x =
x ⎛∈ ⎝
时，()0f x '>，
() f x 单调递增；当
x ⎫
∈+∞⎪⎭时，()0f x '<，() f x 单调递减.所以当x =函数()f x 有极大值1
2e f =，选项A 正确；因为
102e f =>，且当0x →时，()0f x >，当 x →+∞时()0f x <，所以方程()0f x =不可能有两个不同的实数
根，选项B 错误；因为函数() f x 在
⎛ ⎝12>>=，所以1
2f f f ⎛⎛⎫>> ⎪ ⎝⎭⎝，选项C 正确；不等式2()k f x x >+在(0,)+∞上恒成立即不等式22ln k x x x >-+在(0,)+∞上恒成立，令22()ln g x x x x =-+，则
()2ln (12ln )g x x x x x x '=-=-，令()(12ln )0g x x x '=-=，则12ln 0x -=，解得
x =x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，
()g x
单调递减.所以当x =时，函数()g x 有最大值，e
2g =，所以e
2
k >，选项D 错误.故选AC.
三、填空题：每小题5分，共4小题，共20分.13.答案：(,ln 28]
-∞-
解析：求导函数，可得112()2x g x x x
'-=
-=，12 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ()0g x '<，min ()(2)ln 24g x g ∴==-，
()2f x x a
=+ ()f x ∴在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，max 1()42f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭， 对任意的1x ，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()()12f x g x ≤成立，4ln 24a ∴+≤-，
ln 28a ∴≤-，
故答案为：(,ln 28]-∞-.
14.答案：[2,4)
-解析：函数()()lg f x x ax a 2
=+2-5在[,)2+∞上是增函数，可得,a a a -≤2⎧⎨4+4-5>0⎩解得a -2≤<4，所以a 的取值范围函数，可得为[,)-24.15.答案：215
15
解析：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(2,0,0)A ，1(2,0,4)A ，(2,4,0)B ，1(2,)4,4B ，1(0,4,4)C .因为11A F B F ==，114A B AB ==，所以11A B F △为等腰直角三角形，所以11C D E △也为等腰直角三角形.
又平面11A B F 与平面11C D E 均与x 轴垂直，所以(0,2,6)E ，(2,2,6)F .又P ，Q ，M ，N 分别是AB ，1C E ，1BB ，1A F 的中点，所以(2,2,0)P ，(0,3,5)Q ，(2,4,2)M ，
(2,1,5)N ，所以(2,1,5)PQ =- ，(0,3,3)MN =-
，所以
||215|cos ,|15||||PQ MN PQ MN PQ MN ⋅〈〉=== ，所以直线PQ 与直线MN 所成角的余弦值为21515
.16.答案：7
18d -<<-
解析：由题意知当且仅当8n =时n S 有最大值，可得890,0,0,d a a <⎧⎪>⎨⎪<⎩即0,770,780,d d d <⎧⎪+>⎨⎪+<⎩解得
718
d -<<-.四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）答案：（1）1
3n n a -=（2）2312
n n n n T ++-=解析：（1）234543
3923a a a a a a ++=⎧⎨=+⎩ ，()231432111
3923a q q q a q a q a q ⎧++=⎪∴⎨=+⎪⎩，0q >，解得113a q =⎧⎨=⎩，13n n a -∴=；（2）由题可知13n n b n -=+，1112133n n T n -=++++∴+++ ，
()2113312132
n n n n n n n T +-++-==-∴+，18.（12分）答案：（1）3y =或334
y x =-+，即3y =或34120x y +-=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
解析：（1）由24,1y x y x =-⎧⎨=-⎩得3,2,
x y =⎧⎨=⎩则圆心(3,2)C .
又圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为22(3)(2)1x y -+-=.
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=
.1=
，|31|k ∴+=，
2(43)0k k ∴+=，0k ∴=或34
k =-.∴所求圆C 的切线方程为3y =或334
y x =-+，即3y =或34120x y +-=.（2）设(,)M x y ，则由||2||MA MO =
=22(1)4x y ++=，故点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，记为圆D .
根据题意只要保证圆D 与圆C 有公共点即可.
设(,24)C a a -，则1||3DC ≤≤
，即13≤≤，解得1205
a ≤≤
.∴圆心C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.（12分）答案：（1）()2101
x f x x -=
+（2）单调递增，证明见解析解析：（1）由题意，得()()+1==422+2==23a b f a b f --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
，即+=82+=6a b a b --⎧⎨⎩，解得：2a =，10b =-.故()2101
x f x x -=+.（2）方法一：()f x 在()1,-+∞上单调递增.
证明：()12,1,x x ∈-∀+∞，且12x x <，则
()()()()()()()()()()()21122121212121212101210112210210111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+----=-==++++++.由211x x >>-，得210x x ->，210x +>，10x +1>，
所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >.故()f x 在()1,-+∞上单调递增.
方法二：()f x 在()1,-+∞上单调递增.
证明：()12,1,x x ∈-∀+∞，且12x x ≠，则()()2121212121
21021011x x f x f x x x y x x x x x ----++∆==∆--()()()()
()()()()
211221212121012101111211x x x x x x x x x x -+--+++==-++.由211x x >>-，得210x +>，10x +1>，所以
0y x ∆>∆.故()f x 在()1,-+∞上单调递增.20.（12分）答案：（1）概率的估计值为0.6
（2）概率的估计值为0.8
解析：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为216360.690
++=.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，
则2006(450200)24504100Y =⨯+-⨯-⨯=-；
若最高气温位于区间[20,25)，则3006(450300)24504300Y =⨯+-⨯-⨯=；
若最高气温不低于25，测450(64)900Y =⨯-=，所以，利润Y 的所有可能值为-100，300，900.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为3625740.890
+++=.因此Y 大于零的90概率的估计值为0.8.
21.（12分）答案：（1）22
143
x y +=（2）不存在直线l 满足题意，理由见解析
解析：（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠.因为过(2,0)
，
2⎫⎪⎪⎭两点，故41,331,4m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得14m =，13n =所以椭圆C 的方程为22
143x y +=.（2）假设存在直线l 满足题意.
(i)当直线l 的斜率不存在时，此时l 的方程为1x =±.
当:1l x =时，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0OA OB ⋅≠ ，同理可得，当:1l x =-时，0OA OB ⋅≠ .
(ii)当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，因为直线l 与圆O
1=，即221m k =+①，联立方程组22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()
2223484120k x kmx m +++-=，()
2248430k m ∆=-+>，由根与系数的关系得12221228,34412.34km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=.
所以()()()()221212121210x x kx m kx m k
x x km x x m +++=++++=，所以()222224128103434m km k km m k k
--+++=++，整理得22712120m k --=②，
联立①②，得21k =-，此时方程无解.
由(i)(ii)可知，不存在直线l 满足题意.
22.（12分）答案：（1）224045
y x =-+，3030x -≤≤（2）20米时，等腰梯形草坪ABCD 的面积最大
解析：（1）设该抛物线的方程为2y ax c =+，由条件知，()30,0B ，()0,40P ，
所以2403040c a c =⎧⎨⨯+=⎩，解得40245c a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故该段抛物线的方程为224045y x =-+，3030x -≤≤.
（2）由（1）可设22,4045C x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，所以梯形ABCD 的面积()()22121260402302024545S x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，030x <<，设()()21302045f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，030x <<，则()()()21030142015315
x x f x x x -+=--+=-'，令()0f x '=，解得10x =，当010x <<时，()()0,f x f x '>在()0,10上是增函数；当1030x <<时，()()0,f x f x '<在()10,30上是减函数.所以当10x =时，()f x 取得极大值，也是最大值.故当CD 长为20米时，等腰梯形草坪ABCD 的面积最大.。