武汉市七一中学八年级数学上册第十五章《分式》经典练习题(培优)

一、选择题
1．若关于x 的一元一次不等式组()()11122
32321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-⎩
恰有3个整数解，且使关于y 的分式方程3133y ay y y
++=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．3A
解析：A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，求出之和即可．
【详解】 关于x 的一元一次不等式组整理得：325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩
， ∵325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩
恰有3个整数解， ∴2015
a +<≤，即：23a -<≤， 关于y 的分式方程3133y ay y y ++=--，整理得：6y a
=， ∵3133y ay y y ++=--有正整数解且63a
≠， ∴满足条件的整数a 的值为：1，3
∴所有满足条件的整数a 的值之和是4，
故选A ．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
2．下列变形不正确的是（ ）
A ．1122x x x x +-=---
B ．b a a b c c
--+=- C ．a b a b m m
-+-=- D ．22112323x x x x
--=--- A 解析：A
【分析】
答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断．
【详解】
解：A 、
1122x x x x +--=---，故A 不正确； B 、
b a a b
c c --+=-，故B 正确； C 、a b a b m m
-+-=-，故C 正确； D 、22
112323x x x x
--=---，故D 正确． 故答案为：A ．
【点睛】
本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A ．分式242
x x --的值为零，则x 的值为2± B ．根据分式的基本性质，m n 可以变形为2
2mx nx
C ．分式32xy x y
-中的,x y 都扩大3倍，分式的值不变 D ．分式
211
x x ++是最简分式D 解析：D
【分析】
直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案．
【详解】 A 、分式242
x x --的值为零，则x 的值为−2，故此选项错误； B 、根据分式的基本性质，等式m n =2
2mx nx
（x≠0），故此选项错误； C 、分式
32xy x y -中的x ，y 都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误； D 、分式211
x x ++是最简分式，正确； 故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义和性质是解题关键．
4．化简2111313x x x x +⎫⎛-÷
⎪---⎝⎭的结果是（ ） A ．2
B ．23x -
C ．41x x --
D ．21
x - D 解析：D 【分析】
利用乘法分配律计算即可
【详解】
解：原式=
11(3)(3)3(1)(1)x x x x x x +⋅--⋅--+-=1-31x x --=21
x -， 故选D ．
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 5．分式242
x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．2-
B ．2-或2
C ．2
D ．1或2C 解析：C
【分析】
分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零．
【详解】
解：依题意，得
x 2-4=0，且x+2≠0，
所以x 2=4，且x≠-2，
解得，x=2．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了求一个数的平方根，分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．将
0.50.0110.20.03x x +-=的分母化为整数，得（ ） A ．
0.50.01123x x +-= B ．5051003x x +-= C ．0.50.01100203x x +-= D ．50513
x x +-= D 解析：D
【分析】
根据分式的基本性质求解．
【详解】
解：将
0.50.0110.20.03x x +-=的分母化为整数，可得50513
x x +-=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 7．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．设原来参加游览的学生共x 人．则所列方程是（ ）
A ．
18018032x x -=- B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032
x x -=+ D 解析：D
【分析】
设原来参加游览的学生共x 人，增加2人后的人数为（x+2）人，用租价180元除以人数，根据后来每名同学比原来少分摊3元车费列方程．
【详解】
设原来参加游览的学生共x 人，由题意得
18018032
x x -=+， 故选：D ．
【点睛】
此题考查分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
8．若分式()222
22x y x y a x a y ax ay
+-÷-+的值等于5，则a 的值是（ ） A ．5
B ．-5
C ．15
D ．15- C 解析：C
【分析】
先进行分式除法，化简后得到关于a 的式子，列方程即可求解．
【详解】 解：()2
2222x y x y
a x a y ax ay +-÷-+
()22()(()=
))(a x y a x x y y y x x y ++-⨯-+， 1=a
，
根据题意，
15a =， 解得，15
a =， 经检验，15
a =
是原方程的解， 故选C
【点睛】 本题考查了分式的除法和分式方程的解法，正确化简分式，列出分式方程，是解决问题的关键．
9．3333
x a a y x y y x
+--+++等于（ ） A ．33
x y x y
-+ B ．x y - C ．22x xy y -+ D ．22x y + A
解析：A
【分析】
按同分母分式相减的法则计算即可.
【详解】 333333
x a a y x y x y y x x y
+---+=+++ 故选：A
【点睛】
本题考查同分母分式相加减法则：分母不变，分子相加减.
10．已知227x ,y ==-，则
221639y x y x y ---的值为（ ） A ．-1
B ．1
C ．-3
D ．3B
解析：B
【分析】
先通分，再把分子相加减，把x 、y 的值代入进行计算即可．
【详解】 原式=()()
16333y x y x y x y --+- =()()3633x y y
x y x y +-+-
=()()333x y x y x y -+- =13x y
+，
当227x ,y ==-，原式=
112221
=-， 故选B ．
【点睛】 本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
二、填空题
11．席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高（直径）约为0.0000012米，将数0.0000012用科学记数法表示为_________．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10-n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指整数数幂指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：000
解析：61.210-⨯
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指整数数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.0000012=1.2×10-6．
故答案为：1.2×10-6．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．化简23x x
+=____．【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果【详解】故答案为：【点睛】此题考查了分式的加减法熟练掌握运算法则是解本题的关键 解析：
5x
． 【分析】 原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【详解】
232+3x x x
+=5x =． 故答案为：
5x
【点睛】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．A B 两地相距36千米，一艘轮船从A 地顺流行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米时，则可列方程为__________．【分析】设该轮船在静水中的速度为x 千米/时则一艘轮船从A 地顺流航行至B 地已知水流速度为4千米/时所花时间为；从B 地逆流返回A 地水流速度为4千米/时所花时间为根据题意列方程即可【详解】解：设该轮船在静 解析：3636944
x x +=+- 【分析】
设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，已知水流速度为4千米/时，所花时间为
364x +；从B 地逆流返回A 地，水流速度为4千米/时，所花时间为364x -根据题意列方程3636944
x x +=+-即可． 【详解】
解：设该轮船在静水中的速度为x 千米时，根据题意列方程得：
3636944x x +=+- 【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，关键是正确列出分式方程，找出题干中等量关系式即可． 14．H 7N 9病毒直径为30纳米（1纳米＝10－9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小为________米．【分析】根据题意列得这个病毒直径为计算并用科学记数法表示即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查实数的乘法计算科学记数法正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键
解析：8310-⨯
【分析】
根据题意列得这个病毒直径为93010-⨯，计算并用科学记数法表示即可．
【详解】
983010310--⨯=⨯，
故答案为：8310-⨯ ．
【点睛】
此题考查实数的乘法计算，科学记数法，正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键．
15．化简：（﹣2y x
）3÷（223⋅y x x y ）＝_______________．﹣【分析】按照先乘方再乘除的运算顺序进行计算即可得到结论；【详解】解：原式＝﹣÷＝﹣•＝﹣故答案为：﹣【点睛】本题考查分式的混合运算按照正确的运算顺序进行运算并及
时化简是解题的关键
解析：﹣
2 5 y x
【分析】
按照先乘方再乘除的运算顺序进行计算即可得到结论；【详解】
解：原式＝﹣
3
6
y
x
÷
y
x
＝﹣
3
6
y
x
•
x
y
＝﹣
2
5
y
x
，
故答案为：﹣
2
5
y
x
．
【点睛】
本题考查分式的混合运算，按照正确的运算顺序进行运算并及时化简是解题的关键．
16．如果分式
1
26
x
x
-
-
的值为零，那么x＝________ ．1【分析】根据分式的值为零可
得解方程即可得【详解】由题意得：解得分式的分母不能为零解得符合题意故答案为：1【点睛】本题考查了分式的值为零正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键
解析：1
【分析】
根据分式的值为零可得10
x-=，解方程即可得．
【详解】
由题意得：10
x-=，
解得1
x=，
分式的分母不能为零，
260
x
∴-≠，
解得3
x≠，
1
x
∴=符合题意，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了分式的值为零，正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键．
17．方程
11
212
x x
=
+-
的解是x=_____．【分析】先将分式方程化成整式方程求
解然后再检验即可【详解】解：方程的两边同乘得：解这个方程得：经检验是原方程的解∴原方程的解是故答案为：【点睛】本题主要考查了解分式方程将
分式方程化成整式方程求解是解
解析：3-
【分析】
先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．
【详解】
解：方程的两边同乘()()212x x +⨯-，得：221x x -=+，
解这个方程，得：3x =-，
经检验，3x =-是原方程的解，
∴原方程的解是3x =-．
故答案为：3-．
【点睛】
本题主要考查了解分式方程，将分式方程化成整式方程求解是解答本题的关键，对方程的解进行检验是解答本类题的易错点．
18．计算：22824x x
-=+-__________．【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可【详解】解：原式=故答案为：【点睛】本题考查了分式的加减属于基础题目熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键 解析：22
x - 【分析】
根据异分母分式的加减法则解答即可．
【详解】
解：原式=()()()()()()()()()()
22242222222282222x x x x x x x x x x x x +++-+-+=--==++--． 故答案为：
22x -． 【点睛】
本题考查了分式的加减，属于基础题目，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 19．计算：262393
x x x x -÷=+--______．1【分析】先将分母因式分解再将除法转化为乘法再根据法则计算即可【详解】故答案为：1【点睛】本题主要考查了分式的混合运算解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则
解析：1
【分析】
先将分母因式分解，再将除法转化为乘法，再根据法则计算即可．
【详解】
262393
x x x x -÷+--
633(3)(3)2
x x x x x -=+⋅++- 333
x x x =+++ 33
x x +=
+ 1=． 故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．计算：22a 1a 1a 2a a
--÷+=____．【分析】根据分式除法法则先将除法转化为乘法再运用分式的乘法法则进行计算即可得出结果【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了分式的除法运算掌握分式的乘除法的关系及运算法则是解题的关键 解析：12
a a ++ 【分析】
根据分式除法法则先将除法转化为乘法，再运用分式的乘法法则进行计算，即可得出结果．
【详解】 解：22a 1a 1a 2a a
--÷+ ()()()a 1a 1a a a 2a 1
+-=⋅+- 12
a a +=+ 故答案为：
12a a ++ 【点睛】
本题考查了分式的除法运算，掌握分式的乘、除法的关系及运算法则是解题的关键．
三、解答题
21．已知点()0,A y 在y 轴正半轴上，以OA 为边作等边OAB ，其中y 是方程31222y +-31
y =-的解． （1）求点A 的坐标；
（2）如图1，点P 在x 轴正半轴上，以AP 为边在第一象限内作等边APQ ，连QB 并延长交x 轴于点C ，求证：OC BC =；
（3）如图2，若点M 为y 轴正半轴上一动点，点M 在点A 的上边，连MB ，以MB 为边在第一象限内作等边MBN △，连NA 并延长交x 轴于点D ，当点M 运动时，DN AM -的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
解析：（1）()0,4A ；（2）见解析；（3）DN AM -的值不变，其值为12．
【分析】
(1)解分式方程求出y 即可知道A 点坐标；
(2)证明△AOP ≌△ABQ ，进而得到∠ABQ=∠AOP=90°，再由∠AOB=∠ABO=60°得到∠BOC=∠OCB=30°，由此可以证明CO=CB ；
(3)证明△ABN ≌△OBM ，得到OM AN =，60BAN BOM ∠=∠=︒，进而求出
∠DAO=60°，在Rt △DAO 中求出DA=2AO=8，最后DN-AM=(DA+AN)-(MO-AO)= (DA+AN)-(AN-AO)=8+4=12．
【详解】
解：(1)∵y 是方程3132221
y y +=--的解， 方程两边同时乘以最简公分母2(1)-y ：解得4y =
经检验4y =是原方程的解
∴点()0,4A ．
(2)∵APQ 、ABO 都是等边三角形
∴AO AB =，AP AQ =，60BAO PAQ ∠=∠=︒，
∴PAO BAQ ∠=∠，
∴()≌
PAO QAB SAS △△，∴90QBA POA ∠=∠=︒， ∵ABO 是等边三角形，
∴60AOB ABO ∠=∠=︒，∴30COB CBO ∠=∠=︒
∴CO BC =．
(3)其值不会变化，且12DN AM -=，理由如下：
∵AOB ∆、MBN ∆都是等边三角形，
∴4BO AB AO ===，MB BN =，60BAO ABO MBN ∠=∠=∠=︒，
∴OBM ABN ∠=∠，
∴()ABN OBM SAS ≌
△△， ∴OM AN =，60BAN BOM ∠=∠=︒，
∴4AN OM OA AM AM ==+=+，
∵18060OAD OAB BAN ∠=︒-∠-∠=︒，
∴
30ADO ∠=︒
∴28AD AO ==
∴4812DN AM AN AD AM AM AM -=+-=++-=
即DN AM -的值不变，其值为12． 【点睛】
本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
22．在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A 、B 两种不同型号的口罩，已知A 型口罩的单价比B 型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同．
（1）求A 、B 两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A 型口罩的数量最多是多少个？ 解析：（1）4元；2.5元 （2）800个
【分析】
（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为( 1.5)x 元，根据“用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，根据“增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元”列出不等式并解答即可．
【详解】
解：（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为()1.5x -元， 根据题意，得800050001.5
x x =-． 解方程，得：4x =．
经检验：4x =是原方程的根，且符合题意．
所以 1.5 2.5x -=．
答：A 型口罩的单价为4元，则B 型口罩的单价为2.5元．
（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，
根据题意，得：2.5247200m m ⨯+≤．
解不等式，得：800m ≤．
答：增加购买A 型口罩的数量最多是800个．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
23．计算
（1）2201920200112202132-⎛⎫⎛⎫---⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（2）22
224122x x x x x x x
--+---． 解析：（1）12；（2）
3x ． 【分析】
（1）先分别计算负整数指数幂，逆运用同底数幂的乘法和计算零指数幂，再将结果相加即可；
（2）将原分式的分子分母分别因式分解后约分，再计算同分母分式的减法运算即可．
【详解】
解：（1）原式=2019122921⎛⎫--⨯⨯+ ⎪⎝⎭
=()9121--⨯+
=9+2+1
=12； （2）原式=2
(1)(2(2))(1))
(2x x x x x x x -+---- =
12x x
x x +-- =21x x
x +-+ =3x
． 【点睛】 本题考查零指数幂和负整数指数幂，同底数幂的乘法，分式的减法等．（1）中能逆运用同底数幂的乘法正确计算是解题关键；（2）中注意分式加减时，能约分，先给各自分别约分，再进行加减运算．
24．（1）计算：1301|6|(2)(2)3π-⎛⎫-÷--⨯- ⎪⎝⎭
； （2）先化简，再求值：(3)(2)()x x y x y x y +-++，其中1x =-，2y =．
解析：（1）10；（2）22
x y --；-5
【分析】
（1）实数的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，如果有小括号，先算小括号里面的；
（2）整式的混合运算，注意先算乘法，然后再算加减进行合并同类项的化简计算，最后代入求值
【详解】
解：（1）1301|6|(2)(2)3π-⎛⎫-÷--⨯- ⎪⎝⎭
=63(8)1÷--⨯
=2+8
=10
（2）(3)(2)()x x y x y x y +-++
=2223(22)x xy x xy xy y +-+++
=222323x xy x xy y +---
=22x y --
当1x =-，2y =时，原式=22(1)2145---=--=-
【点睛】
本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
25．先化简，再求值：2246221121x x x x x x ++⎛⎫-÷
⎪---+⎝⎭，其中x 取－1、＋1、－2、－3中你认为合理的数． 解析：22(1)
x x -+；3x =-；4 【分析】
先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，再代入求值，即可．
【详解】 原式2462(1)2(1)(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x ⎡⎤+++=-÷⎢⎥+-+--⎣⎦ 2
24(1)(1)(1)(2)
x x x x x +-=⋅+-+ ()211x x -=
+
221x x -=+ 当3x =-时，原式2(3)2431
⨯--=
=-+． 【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，是解题的关键．
26．解方程：
（1）
3311x x x +=-- （2）23425525
x x x +=-+- 解析：（1）3x =；（2）1x =
【分析】
（1）先去分母，再解整式方程求解，检验解是否为原方程的解即可；
（2）先去分母，再解整式方程求解，检验解是否为原方程的解即可．
【详解】
解：（1）方程两边同乘1x -，得
33(1)x x +=-，
解得3x =，
检验：当3x =时10x -≠，
∴原分式方程的解为3x =；
（2）方程两边同乘(5)(5)x x -+，得
3(5)4(5)2x x ++-=，
解得1x =，
检验：当1x =时，(5)(5)0x x -+≠，
∴原分式方程的解为1x =．
【点睛】
此题考查解分式方程，掌握解方程的步骤：先去分母，再解整式方程求解，检验解是否为原方程的解．
27．解答下面两题：
（1）解方程：35322x x x
-+=-- （2）化简：232121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝
⎭ 解析：（1）1x =-是该方程的解；（2）(1)x x +．
【分析】
（1）去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，最后验证根即可；
（2）先计算括号内的，再将除法化为乘法分别因式分解后，约分即可．
【详解】
解：（1）去分母得：353(2)x x --=-，
去括号得3536x x --=-，
移项后合并得：1x =-，
经检验，1x =-是该方程的解；
（2）原式=22321121x x x x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪++++⎝⎭
=2232121
x x x x x x x +--÷+++ =2222112x x x x x x -+++- =2(2)(1)12
x x x x x -++- =(1)x x +．
【点睛】
本题考查解分式方程和分式的混合运算．（1）中注意分式方程一定要验根；（2）注意运算顺序，其次除法化为乘法后才能约分．
28．先化简，再求值：2442244a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中a 与2，3构成ABC 的三边长，且a 为整数．
解析：224a a -，6
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出a 的值，代入计算即可求出值．
【详解】
解：2442244
a a a a a a -⎛
⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ()
22244422a a a a a a ---=÷-- ()()224224
a a a a a --=⋅-- 224a a =-．
∵a 与2，3构成ABC 的三边长，
∴ 3232a -<<+，即15a <<．
∵ a 为整数，
∴ a 为2或3或4．
当2a =时，分母20a -=（舍去）；
当4a =时，分母40a -=（舍去）．
故a 的值只能为3．
∴当3a =时，222423436a a -=⨯-⨯=．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．。