河南省南阳市邓州第一中学2019年高三数学文期末试卷含解析

河南省南阳市邓州第一中学2019年高三数学文期末试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知F1，F2是双曲线的焦点，是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，
设，则（）
A．n=12 B．n=24 C．n=36 D．n≠12且n≠24且n≠36
参考答案：
A
由题意得
，选A
2. 函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
3. 定义在实数集R上的函数，满足，当时，
，则函数的零点个数为（）
A．31 B．32 C. 63 D．64
参考答案：
B
由题意得是偶函数且关于x=2对称，周期为4；当时，
作图，可得交点有32个，所以选B
4. 函数的图象大致是（）
参考答案：
D
略
5. 函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）
A．1 B．﹣C．1，﹣D．1，
参考答案：
C
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】由分段函数的解析式容易得出，f（1）=e1﹣1=1，∴f（a）=1，然后在每一段上求函数的值为1时对应的a的值即可．
【解答】解：由题意知，当﹣1＜x＜0时，f（x）=sin（πx2）；
当x≥0时，f（x）=e x﹣1；
∴f（1）=e1﹣1=1．
若f（1）+f（a）=2，则f（a）=1；
当a≥0时，e a﹣1=1，∴a=1；
当﹣1＜a＜0时，sin（πx2）=1，
∴，x=（不满足条件，舍去），或x=．
所以a的所有可能值为：1，．
故答案为：C
6. 在中，点为边上一点，若
，则的面积是（）
A．B． C. D．
参考答案：
A
7. 已知S=（x﹣a）2+（lnx﹣a）2（a∈R），则S的最小值为（）
A．B．C．D．2
参考答案：
B
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】由题意可得S的几何意义为两点（x．lnx），（a，a）的距离的平方，求得与直线y=x平行且与曲线y=lnx相切的切点的坐标，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求最小值．
【解答】解：S=（x﹣a）2+（lnx﹣a）2（a∈R）的几何意义为：
两点（x．lnx），（a，a）的距离的平方，
由y=lnx的导数为y′=，
点（a，a）在直线y=x上，
令=1，可得x=1，
即有与直线y=x平行的直线且与曲线y=lnx相切的切点为（1，0），
由点到直线的距离可得d==，
即有S的最小值为（）2=，
故选：B．
8. “a=1”是“a2=1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由a2=1得a=1或﹣1，
则“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
9. 在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意，；（2）对任意，
．
关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数
为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的序号为（）
A．①B．①②C．①②③
D．②③
参考答案：
B
知识点：命题的真假判断与应用
解析：∵ =（e x）?+（e x）*0+*0=1+e x+，
对于①，∵1+e x+≥1+=3（当且仅当x=0时取“=”），∴f（x）min=3，故①正确；
对于②，∵f（x）=1+e x+=1+e x+e﹣x，∴f（﹣x）=1+e x+e﹣x=1+e x+e﹣x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，故②正确；
对于③，∵f′（x）=e x﹣e﹣x=，∴当x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B．
【思路点拨】依题意，可得f（x）=1+e x+e﹣x，对于①，可由基本不等式
1+e x+≥1+=3判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误；
对于③，由f′（x）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．
10. 已知△ABC中， =10， =﹣16，D为边BC的中点，则等于（）A．6 B．5 C．4 D．3
参考答案：
D
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用数量积的性质和向量的平行四边形法则即可得出．
【解答】解：∵ ==， =﹣16，
∴．
∵D为边BC的中点，
∴====3．
故选：D．
【点评】本题考查了数量积的性质和向量的平行四边形法则，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积）．则由四维空间中“超球”的三维测度，推测其四维测度=．
参考答案：
略
12. 如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC2=AB?AC，则A的大小为．
参考答案：
【考点】相似三角形的性质．
【分析】利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出．
【解答】解：cosA=，连接AO并且延长与BC相交于点D．
设AD=m，∠ADB=α．
则AB2=﹣2××mcosα，
AC2=m2+﹣2m××cos（π﹣α），
相加可得：AB2+AC2=2m2+．
m2=（3OD）2==．
∴AB2+AC2=5BC2．
又4BC2=AB?AC，
∴cosA=，A∈（0，π）
∴A=，
故答案为：．
13. 曲线在点（1，）处的切线方程为，则
．
（为常数）
参考答案：
略
14. 已知，则．
参考答案：
解：由可得，所以
15. 已知是等差数列的前项和，其中则
参考答案：
6；9
由得。

所以。

16. 二项式展开式中x2项的系数是。

参考答案：
答案：192
17. 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______．
参考答案：
－+i
解：z1满足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i，=cos(－)+i sin(－)．
设z2的辐角为θ(0<θ<π)，则
z2=2sinθ(cosθ+i sinθ)．·z2=2sinθ[cos(θ－)+i sin(θ－)]，若其实部为0，则θ－=，于是θ=．z2=－+i．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）已知数列的前项之和为（），且满足
．
求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
求证：．
参考答案：
（1）
考点：数列的通项公式，裂项求和法
19. 已知直线C 1：(t 为参数)，圆C 2：(θ为参数)．当α＝时，将直线和曲线的参数
方程转化成普通方程并，求C 1与C 2的交点坐标； 参考答案：
略
20. 已知常数项为0的函数的导函数为，其中a为常数.
(1)当时，求的最大值；
(2)若在区间(0,e]（e为自然对数的底数）上的最大值为－3，求a的值.
参考答案：
（1）因为
当时，
当时，，当时，，
在上是增函数，在上是减函数，
（2）
①若，则在上是增函数，
，不合题意，
②若，则由，即，由
，从而在上为增函数，在上
为减函数，
，
令则，即
为所求.
21. （14分）
已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列{b n}滿足证明：数列{b n}是等差数列；
（Ⅲ）证明：
参考答案：
解析：（I）
是以为首项，2为公比的等比数列。

即
（II）证法一：
①
②
②－①，得
即
③－④，得
即
是等差数列。

证法二：同证法一，得
令得
设下面用数学归纳法证明
（1）当时，等式成立。

（2）假设当时，那么
这就是说，当时，等式也成立。

根据（1）和（2），可知对任何都成立。

是等差数列。

（III ）证明：
22. （本小题满分12分）某班级共有60名学生，先用抽签法从中抽取部分学生调查他们的学习情况，若每位学生被抽到的概率为. (1)求从中抽取的学生数；
(2)若抽查结果如下,先确定x ，再完成频率分布直方图；
(3)估计该班学生每周学习时间的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
参考答案：
（本小题满分12分）
(1)设共抽取学生n名，则＝，∴n＝10，
即共抽取10名学生．
(2)由2＋4＋x＋1＝10，得x＝3，频率分布
直方图如下：
(3)所求平均数为＝0.2×5＋0.4×15＋0.3×25＋0.1×35＝18，故估计该班学生每周学习时间的平均数为18小时．。