高中数学3.1数系的扩充试题

高中数学3．1数系的扩充 试题 2019.09
1,方程22
111x y k k +=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围
是 。

2,已知点(,)m n 在椭圆
22
4936x y +=上，则24m +的取值范围是 。

3,棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE=BF=x ，其中0x a ≤≤，则直线A 1F 与C 1E 所成角的余弦值为 。

4,给出下列命题
（1）若a b a c =，则b c =
（2）对空间任意点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若
(
,,)O P x O A
y O B z O C x y z R =
++∈，则P ，A ，B ，C 四点共面。

（3）“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解”是“曲线C 的方程是
(,)0f x y =”的必要条件
（4）曲线C 的方程是(,)0f x y =，则曲线C 关于y 轴对称的曲线方程是
(,)0f x y -=
（5）()()c b a a c b -与c 垂直
写出以上命题为真命题的序号 。

5,已知0,1a a >≠，命题:p 函数log (1)a y x =+在(0,)+∞上单调递减，命题:q 曲线2
(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围。

6,如图， 已知空间四边形ABCD 中，,AB CD AC BD ⊥⊥，证明：AD BC ⊥
7,如图，椭圆以边长为1的正方形ABCD 的对角顶点A ，C 为焦点，且经过各边的中点，试建立适当的坐标系，求椭圆的方程。

8,如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD= AA 1=1，AB=2。

E 是CC 1的中点，（1）求二面角D-B 1E-B 的余弦值 （2）试判断AC 与面DB 1E 的位置关系，并说明理由。

（3）设M 是棱AB 上一点，若M 到面DB 1E 的距离为21
7，试确定点M 的位置。

9,直线l 与抛物线2
4y x =相交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点。

（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么3OA OB =-”是真命题 （2）设112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y 是抛物线上三点，且||,||,||AF BF DF 成等差数列。

当AD 的垂直平分线与x 轴交于点T （3，0）时，求点B 的坐标。

10,若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)
23,25(-，则椭
圆方程是
（ ）
A ．1482
2=+x y
B ．16102
2=+x y
C ．
1842
2=+x y
D ．1
6102
2=+y x
11,过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
12,椭圆上1
1692
2=+y x 一动点P 到两焦点距离之和为（ ）
A ．10
B ．8
C ．6
D ．不确定
13,双曲线14122
2
22=--+m y m x 的焦距是（ ）
A ．4
B ．22
C ．8
D ．与m
有关
14,一个物体的运动方程为2
1t t s +-=，其中s 单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米/秒
15,曲线y= x 3
－2x 在点(1，－1)处的切线方程是（ ）
A ．x －y + 2 = 0
B ．x+y=0
C ．x －y －2 = 0
D ．x + y －2=0
16,设A ．B 是双曲线x 2－22
y ＝1上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点，
F 1．F 2是双曲线的左右两个焦点。

（1）求双曲线的焦点坐标．渐近线方程； （2）求直线AB 的方程；
（3）若点P 在双曲线上，并且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积。

17,已知抛物线方程为212x y =，直线l 过其焦点，交抛物线于A ．B 两点，
|AB|＝16。

１）求抛物线的焦点坐标和准线方程；２）求Ａ．Ｂ中点的
纵坐标
18,家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子．一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润？
19,设函数3
()32f x x
x =-++分别在12x x 、处取得极小值．极大值.xoy 平面上
点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）．22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =,
点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求 (I)求点A B 、的坐标；
(II)求动点Q 的轨迹方程.
20,有下列关系：（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；（5）学
生与他（她）的学号之间的关系，其中有相关关系的是
试题答案
1, 1k <- 2, [2,10]- 3, 0 4, （3）、（4）、（5） 5, p 为真：01a <<；q 为真：
52a >
或1
02a <<
（1）当p 真q 假01
1
{115
222a a a <<⇒≤<≤≤
（2）当p 假q 真1
5
{152022a a a a >⇒>
<<>
或 综上，a 的取值范围是15
[,1)(,)
22+∞
6, 设{},,AB AC AD 为基底，则,,CD AD AC BD AD AB BC AC AB =-=-=-
由已知00 (1){{
{
0 (2)
(1)(2)AB CD AB CD AB AC AB AD AC BD
AC BD AB AC AC AD ⊥⋅=⋅-⋅=⇒⇒⊥⋅=⋅-⋅=-得
0()00 AC AD AB AD AD AC AB AD BC AD BC AD BC
⋅-⋅=⋅-=⇒⋅=∴⊥⊥，即
即
7,
如图建系，则
(
A C ，则
c =
设交点为P ，P 为AD 中点，则
8, 如图建系，则D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，2，0），B （1，2，0）
A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），C 1（0，2，1），有中点坐标公式，1
02E （，2，）
（1）1(1,2,1)DB =，1
(0,2,)
2DE =，设面DB 1E 的法向量n x =（，y ，z ），
由1220
0{{1,(2,1,4)1
200
2x y z n DB y n y z n DE ++=⋅=⇒⇒==-+=⋅=令则得，
而(0,2,0)DC =为面BB 1E 的法向量。

设二面角D-B 1E-B 为θ，(0,)
2πθ∈
…
21cos |cos ,|21n DC θ=<>=
（2）(1,2,0)AC =-，
从而10//AC n AC n AC DB E ⋅=∴⊥∴面
（3）设点M (1,,0)(02)a a ≤≤，M 到面DB 1E 的距离为d , 且(1,,0)DM a
=
则
||21177||DM n d a n ⋅=
=⇒=⇒=
即M (1,1,0)
，M 为AB 的中点
9, （1）①当k 不存在，直线l ：
3x =代入
24y x =得2
y =±此时，(3,(3,A B -，9123OA OB =-=-，命题成立。

②当k 存在，设直线l 的方程：(3)y k x =-代2
4y x =消x 得，
24
120y y k -
-=，
设
1122(,),(,),A x y B x y 121212121221212124
13
{(3)(3)()99
129123
y y y y x x y y y y k k k k k
y y OA OB x x y y +=
⇒=++=+++==-∴=+=-=-
综上，命题成立。

（2）由||,||,||AF BF DF 成等差，则2||||||BF AF DF =+即
213213
2()2222p p p
x x x x x x +=+++⇒=+
直线AD 斜率3131223131
314
1()4y y y y k x x y y y y --=
==
-+- 所以，
314y y k +=
，设AD 中点为22
(,)
x k
故AD 的垂直平分线为
221
()y x x k k -
=--
令0y =，得22x x =+即2223,1x x +=∴=，代入2
4y x =得2y =±
故(1,2)B 或(1,2)B -
10, D 11, B 12, B 13, C 14, C 15, C 16, 解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB 的方程为y=k （x －1）+2，
代入x 2－22
y =1，整理得（2－k 2）x 2－2k （2－k ）x －（2－k ）2－2=0
①
记A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1．x 2是方程①的两个不同的根，所以2－
k 2
≠0， x 1+x 2=22)2(2k k k --，由N （1，2）是AB 的中点得21
（x 1+x 2）=1，∴k
（2－k ）=2－k 2
解得k=1，所以直线AB 的方程为y=x+1.
17, 解：1）由212x y =，对比标准方程)0(22
>=p py x 可得2P=12，P=6
得焦点F （0，3），准线方程为：3-=y ．
２）（解）设直线l 的斜率为k,设),(),,(2211y x B y x A ,A ．B 的中点M ),(00y x ． 直线的方程：ｙ＝ｋｘ＋３，联立方程组得：
⎩⎨⎧=+=y x kx y 1232
， 消去ｙ，整理得：036122=--kx x
方程中，
0144144)36(4)12(2
2>+=---=∆k k ，有两个不同的根． 由根与系数的关系得：36,122121-==+x x k x x 由|AB|＝１６得：16
)4))((1(||21212=-++=x x x x k AB ，
代入，整理得：
916)1(22=
+k ，得31
2=
k ．
M ),(00y x 在直线l 上，有：300+=kx y ，
363222
10+=++⋅
=k x x k y
∴50=y ，即Ａ．Ｂ中点的纵坐标为5．
18, 生产200把椅子．900张书桌可获得最大利润21000元（点拨：设每星期生产x 把椅子．y 张书桌，那么利润P=15x+20y ，而x ．y 必须满足约
束条件：⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+.0,0,13002,800084y x y x y x 在直角坐标系内作出它的表示的区域，它围成一
个封闭的四边形，其四个顶点分别为（0，0），（650，0），（200，900），（0，1000），而直线P=15x+20y ，易见当直线过点（200，900）时，P 值最大。

）
19, 解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或
当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故
1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f
所以, 点A ．B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -. (Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，
()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m
21-
=PQ k ，所以21-
=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，
所以，⎪⎭⎫
⎝⎛-+=+4222
m x n y 消去n m ,得()()9282
2
=++-y x
解法二：
设),(n m p ，),(y x Q ，
()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m
9)2(22=-+n m ，动点P 圆心O 坐标（0,2），圆心O 关于直线对称点为（m ，
n ）
21-
=k ，所以212-
=-m n ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+42022
2m n 解得：m ＝8，n ＝－2，得
()()9282
2=++-y x
20, （1）（3）（4）。