2022年四川省资阳市中考数学试卷(含答案与解析)

2022年四川省资阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．
1．﹣3的绝对值是（）
A．﹣3 B．3 C．−1
3D．
1
3
2．如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是（）
A．文B．明C．城D．市
3．下列计算正确的是（）
A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2
C．a2×a＝a3D．（a2）3＝a5
4．按疫情防控要求，学校严格执行“一日三检”．小明记录某周周一至周五的晨检体温（单位：℃）结果分别为：36.2，36.0，35.8，36.2，36.3．则这组数据的中位数和众数分别是（）
A．36.0、36.2 B．36.2、36.2 C．35.8、36.2 D．35.8、36.1
5．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
6．如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么√3在数轴上对应的点可能是（）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
7．如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：
第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD＝AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N．
下列结论一定成立的是（）
A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA
8．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE 的最小值是（）
A．4√2B．2√5+2C．2√13D．2√10
̂交于点C，9．如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB
连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（）
A ．
2π3−√32 B ．2π3−√3 C ．π3−√32 D ．π3
10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，其对称轴为直线x ＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc ＞0，②a ﹣b +c ＞1，③3a +c ＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m ≤x ≤1时，y 有最大值为2、最小值为﹣2，此时m 的取值范围是﹣3≤m ≤﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．根据国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”调查报告数据显示，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人，成功实现了“三亿人参与冰雪运动”的宏伟目标．数3.46亿用科学记数法表示为＿＿＿＿＿．
12．小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是＿＿＿＿＿．（填一种即可）
13．投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的
概率是＿＿＿＿＿．
14．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是＿＿＿＿＿．
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC 的度数是＿＿＿＿＿度．
16．女子10千米越野滑雪比赛中，甲、乙两位选手同时出发后离起点的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则甲比乙提前＿＿＿＿＿分钟到达终点．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．先化简，再求值．(1−
1
a+1
)÷a
2
a2−1
，其中a＝﹣3．
18．某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
19．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
20．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2√5，求△BCD的面积．
21．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=6
x的图象交于点A（1，m）和点B（n，
﹣2）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）结合图象，写出当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围；
（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．
22．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100√3米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
23．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
（1）求证：△ABM∽△EBF；
（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
24．已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B 的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使
得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1. B
【解析】根据“负数的绝对值是其相反数”可得，|﹣3|＝3．
故选：B．
2. D
【解析】将正方体的表面展开图还原成正方体，以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，可知“创”字与“市”字相对．故选：D．
3. C
【解析】A．2a与3b不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意
C．a2×a＝a3，故C符合题意
D．（a2）3＝a6，故D不符合题意．
故选：C．
4. B
【解析】将小明周一至周五的体温数据从小到大排列为：35.8，36.0，36.2，36.2，36.3，所以这组数据的中位数为：36.2；众数为：36.2
故选：B．
5. B
【解析】如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
6. C
【解析】∵1＜√3＜2，
∴观察数轴，点P符合要求，
故选：C．
7. C
【解析】由题意可知，AM平分∠CAB，
∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A选项不符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B选项不符合题意；
∵AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠BAM，因此C选项符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D选项不符合题意．
故选：C．
8. D
【解析】如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，
∵A与A'关于BC对称，
∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，
此时AE +OE ＝A 'E +OE ＝A 'O ，
∵正方形ABCD ，点O 为对角线的交点，
∴OF =FB =12AB =2，
∵A 与A '关于BC 对称，
∴AB ＝BA '＝4，
∴F A '＝FB +BA '＝2+4＝6，
在Rt △OF A '中，OA′=√FO 2+FA′2=2√10，
故选：D ．
9. B
【解析】连接CO ，且直线l 与AO 交于点D ，如图所示，
∵扇形AOB 中，OA ＝2，
∴OC ＝OA ＝2，
∵点A 与圆心O 重合，
∴AD ＝OD ＝1，CD ⊥AO ，
∴OC ＝AC ，
∴OA ＝OC ＝AC ＝2，
∴△OAC 是等边三角形，
∴∠COD ＝60°，
∵CD ⊥OA ，
∴CD =√OC 2−OD 2=√22−12=√3，
∴阴影部分的面积为：
60π×22360−2×√32=2π3−√3， 故选：B ．
10. A
【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），
∴−b
2a
=−1，c＝1，
∴ab＞0，
∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，
因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2⋅a+（﹣1）⋅b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确；
∵−b
2a
=−1，
∴b＝2a，
从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，
将（0，1）代入得，1＝a+2，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴当x＝1时，y＝﹣2；
∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
11. 3.46×108
【解析】将数据3.46亿用科学记数法表示为346000000＝3.46×108，故答案为：3.46×108．
12. 4（6或12）
【解析】正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°＝360°，
∴正四边形可以，
正六边形的每个内角是120°，
∵2×60°+2×120°＝360°，
∴正六边形可以，
正十二边形的每个内角是150°，
∵1×60°+2×150°＝360°，
∴正十二边形可以，
故答案为：4或6或12．
13. 12 【解析】在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面，
∴朝上的数字为偶数的概率为：3÷6=12
．
故答案为：12．
14. 6
【解析】∵a 是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的一个根，
∴a 2+2a ﹣3＝0，
∴a 2+2a ＝3，
∴2a 2+4a ＝2（a 2+2a ）＝2×3＝6，
故答案为：6．
15. 35
【解析】∵AB 为直径，
∴∠C ＝90°，
∵∠B ＝35°，
∴∠BAC ＝55°，
∵AD与⊙O相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．故答案为：35．
16. 1
【解析】由图象可知，甲20～35分钟的速度为：10−5
35−20=
1
3
（千米/分钟），
∴在32分钟时，甲和乙所处的位置：5+1
3
×(32−20)=9（千米），
乙20分钟后的速度为：9−6
32−20=
1
4
（千米/分钟），
∴乙到达终点的时间为：20+(10−6)÷1
4
=36（分钟），
∴甲比乙提前：36﹣35＝1（分钟），故答案为：1．
17. 4 3
【解析】原式=a+1−1
a+1
÷a
2
(a+1)(a−1)
=a a+1×(a+1)(a−1)
a2
=a−1a，
当a＝﹣3时，
原式=−3−1
−3
=43．
18.（1）本次调查的学生人数为200人，条形统计图见解析（2）900
（3）树状图见解析；概率为1 3
【解析】（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），
补全条形统计图如下：
（2）愿意参加劳动社团的学生人数为：3600×50200
=900（人）； （3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A 、B 、C ，
画出树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为39=13．
19.（1）甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元
（2）30
【解析】（1）设乙种型号的单价是x 元，则甲种型号的单价是（x +20）元，
根据题意得：10（x +20）+10x ＝1760，
解得：x ＝78，
∴x +20＝78+20＝98，
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元；
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a 个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a ）个， 根据题意得：98a +78（50﹣a ）≤4500，
解得：a ≤30，
∴a 最大值是30，
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
20.（1）见解析
（2）10
【解析】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
{AB=EC
∠ABC=∠ECD BC=CD
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
（2）∵∠A＝90°，
∴∠CED＝∠A＝90°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，
设BE＝x，
∵EC＝AB＝3，BD＝2√5，
∴CD＝BC＝3+x，
∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，
∴（2√5）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，
整理得x2+3x﹣10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，
∴DE=√BD2−BE2=√(2√5)2−22=4，
∴S△BCD=1
2BC•DE=
1
2
×5×4＝10，
∴△BCD的面积为10．
21.（1）y＝2x+4
（2）x＞1
（3）y=−1 x
【解析】（1）由题意得：m=6
1
=6，−2=6n，
∴m ＝6，n ＝﹣3，
∴A （1，6），B （﹣3，﹣2），
由题意得：{k +b =6−3k +b =−2
， 解得：{k =4b =2
， ∴一次函数的表达式为：y ＝2x +4；
（2）由图象可知，当x ＞0时，
一次函数的图象在反比例函数的图像上方对应x 的值为x ＞1，
当x ＞0时，满足y 1＞y 2的x 的取值范围为x ＞1；
（3）一次函数y ＝2x +4的图象平移后为y ＝2x ，
函数图象经过第一、三象限，
要使正比例函数y ＝2x 与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k ＜0，
∴当k ＝﹣1时，满足条件，
∴反比例函数的解析式为y =−1x
（答案不唯一）．
22.（1）300米
（2）(150√2+150√6)
【解析】（1）由题意可知：∠ACD ＝15°+45°＝60°，∠ADC ＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 在Rt △ADC 中，
∴AD =DC ×tan∠ACD =100√3×tan60°=100√3×√3=300（米），
答：点D 与点A 的距离为300米．
（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，
∵AB 是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，
∴DE=AE=AD×sin∠ADE=300×sin45°=300×√2
2
=150√2，
在Rt△BDE中，
∴BE=DE×tan∠BDE=150√2×tan60°=150√2×√3=150√6，∴AB=AE+BE=(150√2+150√6)（米），
答：隧道AB的长为(150√2+150√6)米．
23.（1）见解析
（2）4√5
（3）y=−6
25x
2+22
5x，当x=
55
6时，y有最大值为
121
6
【解析】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABM∽△EBF；
（2）过点E作EN⊥AD于点N，如图：
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
又∵AM是BC边上的高，
∴AM⊥AD，
∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，
∴四边形AMEN为矩形，
∴NE＝AM＝4，AN＝ME，
在Rt△ABM中，BM=√AB2−AM2=√52−42=3，又∵E为BC的中点，
∴BE =12
BC =5，
∴ME ＝AN ＝2，
∴DN ＝8，
在Rt △DNE 中，DE =√DN 2+NE 2=√42+82=4√5；
（3）延长FE 交DC 的延长线于点G ，如图：
∵sin B =AM AB =EF BE ，
∴45=EF x
， ∴EF =45x ，
∵AB ∥CD ，
∴∠B ＝∠ECG ，∠EGC ＝∠BFE ＝90°，
又∵∠AMB ＝∠EGC ＝90°，
∴△ABM ∽△ECG ，
∴
CG BM =EC AB ， ∴CG 3=10−x 5， ∴GC =35（10﹣x ），
∴DG ＝DC +GC ＝5+35
（10﹣x ），
∴y =12EF •DG =12×45x •[5+35（10﹣x ）]=−625x 2+225x =−625（x −556）2+1216， ∴当x =556时，y 有最大值为1216
， 答：y =−625x 2+225x ，当x =556时，y 有最大值为1216
．
24.（1）y ＝﹣（x ﹣1）2+4（或y ＝﹣x 2+2x +3）
（2）①m＝4
②存在符合条件的点Q，其坐标为（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）【解析】（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴m＞0，
∴BP＝m+1，
由旋转可得：BD＝2BP，
∴BD＝2（m+1），
过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，
∴BE＝2，AE＝4，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BEA＝90°，
又∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE⋅BD，
∴4（m+1）＝20，
解得m＝4；
②由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，
∴C（7，﹣4），
∵点M在直线x＝4上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y1＝﹣21，
∴Q（﹣4，﹣21），
2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y2＝﹣117，
∴Q（12，﹣117），
3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得：y3＝3，
∴Q（2，3），
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．。