CAE模态分析 ppt课件

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EI
4
y(x, t) x4

l
2 y(x, t) t 2

f (x,t)
方程含有对空间变量 x 的四阶偏导数和对时间变量 t 的二阶偏导数，求解时必须引入4
个边界条件和2个初始条件。
2. 固有频率和模态函数
讨论梁的自由振动，因此令
f (x,t) 0
得到运动方程
2 x2
5），导出特征方程 4 - 4 =0
4个特征根为 ， i ，对应4个线性独立的解为 e x 和 ei x 。由于
e x =ch x sh x, ei x = cos x i sin x
因此可将方程（5）的通解写成
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p/k
sin（t-）
(1- 2）2 +（2）2
固有频率和振型
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• 固有频率：也可称为特征频率、共振频率、主频率。 • 振型：结构在特定频率下的变形称为主振动模态，也可称为振型、特
征型、固有型。 • 每一振型与特定的固有频率有关，这些结果反映结构动力特征，决定
结构怎样对动力载荷做出响应。
1. 动力学方程
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l (x)dx
2 y t 2

FS
(FS
FS x
dx)
f
( x, t )dx
（1）
不考虑剪切变形和截面转动的影响时，微元体满足力矩平衡条件，
对右截面上任意点取矩，得
（M
+
M x
dx)

M

FS dx

f
( x, t )dx
dx 2

0
（2）
略去高阶小量，得
2 y(x, t)
x2


l (x)
2 y(x, t) t 2

0
将方程的解写作 y(x, t) (x)q(t) ，代入上式，得到
q(t) EI (x)(x)
q(t)
l (x)(x)
=- 2
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于是导出方程 q(t) 2q(t) 0
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① 固定端
y 固定端处梁的挠度 y 和转角 x 等于零，即
(x0 ) 0,(xl ) 0 , (x0 ) 0,(xl ) 0
② 简支端
简支端处梁的挠度 y 和弯矩 M 等于零，即 (x0 ) 0,(xl ) 0 , (x0 ) 0,(xl ) 0

( i
l
)2
EI
l
l (x) S(x)
i
(
x)=
sin
i
l
x
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CAE大作业内容：
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作业提交到邮箱：
1. 确定分析对象
yhcae2018@
尺寸、材料自拟
2. 静强度分析 对上述对象施加载荷和边界进行静强度分析，载荷大小及作用点自拟。 （ 可能的话与解析解进行比对）
Fs：剪力 M：弯矩
设梁的长度 l,材料密度 ，弹性模量 E ，截面积和截面惯性矩为 S(x)和I(x)，
l (x) S(x) 为单位长度质量， EI (x) 为梁的抗弯刚度。作用在梁上的分布载荷为 f (x, t) 。
厚度为 dx 的微元体的受力状况如图所示，则可列出微元体沿 y 方向的动力学方程
(x) C1 cos x C2 sin x C3ch x C4sh x
积分常数 C j ( j 1, 2,3, 4) 及参数 应满足的频率方程由梁的边界条件确定。
可解出的无穷多个固有频率 i (i 1, 2, ) 及对应的模态函数 i (x)(i 1, 2, ) ，构成系统的 第 i 个主振动，
③ 自由端
自由端处梁的弯矩 M 和剪力 FS 等于零，即
(x0 ) 0,(xl ) 0 , (x0 ) 0,(xl ) 0
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算例：求简支梁的固有频率和模态函数
列出简支端处的边界条件
(x0 ) 0,(x0 ) 0
(xl ) 0,(xl ) 0
一阶主振型
二阶主振型
三阶主振型
梁的弯曲振动
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x 轴：未变形时梁的轴线，即各截面形心连成的直线。
y 轴：设梁有对称平面，将对称面内与 x 轴垂直的方
向取作 y轴，梁在对称平面内作弯曲振动时，梁的
轴线只有横向位移 y(x, t)。
欧拉-伯努利梁：不考虑剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲 振动的影响。
通解为 q(t) tonagsin(t )
EI (x)(x) 2l (x)(x) 0
变系数微分方程，除少数特殊情形 之外得不到解析解。
对于等截面梁，上式可化为
4 (x) 4(x) 0
（5）
其中， 4 l 2
EI
方程（5）的解确定梁弯曲振动的模态函数，设其一般形式为
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由 sin l 0 ，解得 il i ， (i 1, 2, )
而 4 l 2，所以解得
EI
i

( i
l
)2
EI
l
(i 1, 2, )
代回 (x) 表达式，得到模态函数
i (x)=C2 sin
i
l
x
C2 1
i (x)= sin
i
l
x
特征根
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il i
il (i 1/ 2)
(i 3)
il (i+1/ 2)
(i 2)
il (i+1/ 2)
(i 2)
il (i+1/ 4)
(i 1)
il (i+1/ 4)
(i 1)
模态函数
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sin i x
cos i x chi x i (sin i x shi ) cos i x+chi x i (sin i x shi ) cos i x-chi x i (sin i x-shi )
用求解无阻尼固有 频率的方式来决定 系统的动力特性
2. 有阻尼自由振动 临界阻尼 u(t) ( A Bt)e-nt
欠阻尼 u(t) Aent sin(dt )
d n 1 2
3. 简谐载荷作用下的强迫振动
u u0 up
Aent sin(dt )
y(i) (x, t) aii (x) sin(it t )
y(x,t) (x)q(t)
系统的自由振动时无穷多个主振动的叠加

y(x,t) aii (x) sin(it t ) i 1
其中，常数 ai 和 i 由系统的初始条件确定。
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常见的约束状况与边界条件有以下几种：
(i 1, 2, )
归一化
(i 1, 2, )
边界条件
简支-简支
固定-自由 自由-自由 固定-固定 简支-自由 固定-简支
频率方程
sin l 0
cos l chl 1 0 cos l chl-1 0 cos l chl-1 0 tan l thl 0 tan l thl 0
3. 模态分析 计算分析对象的前三阶频率及主振型，边界条件自拟。（可能的话与解析 解进行比对）
大作业考核形式：以小组为单位提交一份上述内容的分析报告。
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FS

M x
由材料力学知，弯矩与挠度的关系为
（3）
M
(x,
t
)

EI
(x)
2
y(x, x2
t)
将（3）和（4）代入（1），得到两点弯曲振动方程
（4）
2 x2
EI
(x)
2
y( x, x2
t)


l
(x)
2
y( x, t 2
t)

f (x, t)
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若梁为等截面，则方程可化为
代入 (x) C1 cos x C2 sin x C3ch x C4sh x
得到
C1 0，C3 =0
C2 sin l C4shl 0 C2 sin l C4shl 0
因 shl 0 ，故由以上方程组得 C4 =0 ，且得到频率方程 sin l 0 。
shi x i sin i x
shi x-i sin i x
算例
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• 某导弹弹长3m，弹径160mm，弹体壁厚5mm。 • 材料的杨氏模量E=70GPa，密度=2.7103kg/m3。 • 求该弹简支状态下的前三阶固有频率及主振型。 • （保存结果与上机结果比对）
i
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第五讲 结构固有特性分析
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-------《CAE技术基础》
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回顾
mu(t) cu(t) ku(t) P(t)
1. 无阻尼自由振动 u(t) U sin(nt )
过阻尼
u(t) Ae( 2 1)nt Be( 2 1)nt