2020年高考数学一轮复习专题6.6独立性检验练习(含解析)

6.6 独立性检验
独立性检验：2×2列联表
构造一个随机变量，利用随机变量χ2
来判断“两个分类变量有关系”的方法称为
独立性检验：
若，则有95%把握认为A 与B 有关；若，则有99%把握认为A 与B 有关；
其中是判断是否有关系的临界值，应判断为没有充分证据显示A 与B 有关，而不能作为小于95%的量化值来判断．
【例1】某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：
()2
112212212
1212
n n n n n n n n n χ++++-=2 3.841χ>2
6.635χ>2 3.841χ=2
3.841χ≤
（Ⅰ）若测试的同学中，分数段[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]内女生的人数分别为
2人、8人、16人、4人，完成2×2列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为x，求x的分布列及数学期望x(x)；
（Ⅲ）某评估机构以指标x（x=x(x)
，其中x(x)表示x的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若
x(x)
x≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
附表及公式：x2=x(xx−xx)2
(x+x)(x+x)(x+x)(x+x)
，其中x=x+x+x+x.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不需要调整安全教育方案.
【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[20,40)的频率为0.005×20=0.1，故抽取的学生答卷总数为
6
0.1
=60，∴x=60×0.2=12,x=18.
性别与合格情况的
2×2列联表为：
∴x2=60×(14×20−10×16)2
30×30×24×36
=
10
9
<2.706
即在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.
（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为24:36=2:3，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以x可能的取值为20、15、10、5、0,
x(x=20)=x64
x104=1
14
,x(x=15)=x63x41
x104
=8
21
,x(x=10)=x62x42
x104
=3
7
,x(x=5)=x61x43
x104
=4
35
,x(x=
0)=x44
x104=1
210
.
x的分布列为：
所以xx=20×1
14+15×8
21
+10×3
7
+5×4
35
+0×1
210
=12.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：x(x)=(20−12)2×1
14+(15−12)2×8
21
+(10−12)2×3
7
+(5−12)2×4
35
+
(0−12)2×1
210=16∴x=x(x)
x(x)
=12
16
=3
4
>0.7.
故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.
【举一反三】
1．为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”.
(1)由统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
(2)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,求抽取的2人中恰有一人来自乙班的概率.
附:2
2
(-)()()()()
n ad bc K a c b d a b c d =++++，（n a b c d =+++）
【答案】（1）见解析；（2）
8
15
【解析】(1)根据茎叶图中的数据作出22⨯列联表如表所示：
根据22⨯列联表中的数据,得2K
的观测值为
2
2
40(104-1610) 3.956 3.84126142020
K ⨯⨯⨯≈>⨯⨯⨯=,
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.
(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,所以ξ的所有可能取值为0,1,2,
1142
26C C 8(1)C 15
P ξ===,
1．我市某高中课题组通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如图所示的列联表，则下列结论正确的是（ ）
附参照表：
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++
A ．在犯错误的概率不超过90%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”
B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”
C ．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”
D ．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关” 【答案】C
【解析】由列联表数据可得：()2
210045151030 3.03 2.70675255545
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
∴有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”本题正确选项：C
2．“支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式，为了了解是否使用支付宝捐步与年龄有关，研究人员随机抽取了5000名使用支付宝的人员进行调查，所得情况如下表所示：
（1）由上表数据，能否有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关？
（2）55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前5天，捐步的步数与天数呈线性相关．
（i ）根据上表数据，建立x 关于x 的线性回归方程x ̂=x ̂x +x ̂；
（ii ）记由（i ）中回归方程得到的预测步数为x x ′，若从5天中任取3天，记x x ′<x x 的天数为X ，求X
的分布列以及数学期望． 附参考公式与数据：x ̂=
∑(x x −x )(x x −x )
x
x =1∑(x x −x )2
x x =1，x ̂=x −x ̂⋅x ；K
2
=x (xx −xx )2
(x +x )(x +x )(x +x )(x +x )；
【答案】（1）有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关；（2）（i ）x ̂=380x +3460,（ii ）X 的分布列为：
xx =1×3
10+2×3
5+3×1
10=1.8。

【解析】（1）x 2
=
5000×(1000×500−1000×2500)2
2000×3000×3500×1500
=635>10.828，
所以有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关；
（2）（i ）x =
1+2+3+4+5
5
=3,x =
4000+4200+4300+5000+5500
5
=4600,
∑x x ⋅5x =1x x =1×4000+2×4200+3×4300+4×5000+5×5500=72800,
∑x x 25
x =1
=12+22+32+42+52=55
x ̂=∑(x x −5
x =1x )⋅(x x −x )
∑(x x 5
x =1−x )2=
∑x x ⋅5x =1x x −x ⋅x ⋅x
∑x x 25
x =1−x ⋅x 2
=
72800−5×3×4600
55−5×9
=380，
x ̂=x ̅̅̅−x ̂⋅x ̅̅̅=3460.所以x 关于x 的线性回归方程为x ̂=380x +3460。

（ii ）根据线性回归方程，把x =1，2，3，4，5分别代入线性回归方程中，求出每天的预测步数，如下表所示：
由表中可知：x x′<x x的天数共有3天，从5天中任取3天，记x x′<x x的天数为X，X=1，2，3；
x(x=1)=x22⋅x31
x
5
3
=
3
10
,x(x=2)=
x21⋅x32
x
5
3
=
3
5
,x(x=3)=
x33
x
5
3
=
1
10
,
X的分布列为：
xx=1×3
10+2×3
5
+3×1
10
=1.8。

3．2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛（简称xxx）于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.而在分量极重的国际数学奥林匹克（xxx）比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，也已经有连续4年没有拿到冠军了.人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会热点.某重点高中培优班共50人，现就这50人“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：
若采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人. （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？请说明你的理由；
（2）现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为x，求x的分布列和数学期望.
参考公式与数据：x2=x(xx−xx)2
(x+x)(x+x)(x+x)(x+x)
【答案】（1）有99%的把握；（2）见解析.
【解析】（1）列联表补充如下：
所以x2的观测值，x2=50×(20×15−10×5)2
30×20×25×25=25
3
≈8.333>6.635,
所以有99%的把握认为是否应该下“禁奥令”与性别有关.
(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应该下“禁奥令”，x所有可能取值有1,2,3,4.
x(x=1)=x41x11x32
x
5
2x
5
2
=
12
100
;x(x=2)=
x42x32+x41x11x21x31
x
5
2x
5
2
=
42
100
;
x(x=3)=x41x11x22+x42x21x31
x
5
2x
5
2
=
40
100
;x(x=4)=
x42x22
x
5
2x
5
2
=
6
100
.
所以x的分布列是
所以x(x)=12+2×42+3×40+4×6
100
=2.4（人）
4．手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：(年龄单位：岁)
(1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?
(2)若从年龄在[55，65)，[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：
参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
【答案】（1）见解析.（2）见解析
【解析】（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人， 可得列联表如下：
于是有2K
的观测值
2
100(60151510)14.28610.82875257030
k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.
故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关. （2）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，相应的概率为：
223222531(0)10C C P X C C ===，11221
32232222253532
(1)5
C C C C C P X C C C C ==+=，
11122322222222535313(2)30C C C C C P X C C C C ==+=，21
2222
531
(3)15
C C P X C C ===，
于是X 的分布列为:
所以0123105301515
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 5．随着教育信息化2.0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；
(2)求50名学员满意度评分的中位数m ，并将评分不超过m 、超过m 分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级．
(i)利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意? (ii)根据茎叶图填写下面的列联表：
并根据列联表判断能否有99.5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?
附：()
(
)()()()()
2
2
02
0.0100.0050.001.6.6357.87910.828P K k n ad bc K a b c d a c b d k ≥-=
++++，
【答案】（1）对线下培训满意度更高（2）（i）84人（ii）有把握
【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：
（i）由茎叶图可知：在线上培训中，有72%的学员满意度评分至多79分，在线下培训中，有72%的学员评分至少80分．因此学员对线下培训满意度更高．
（ii）由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为76分，线下评分的中位数为85分．因此学员对线下培训满意度更高．
（iii）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于80分；线下培训的平均分低于80分，因此学员对线下培训满意度更高．
（iv）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知
7980
79.5
2
m
+
==．
（i）参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意，频率为7 25
，
又本次培训共300名学员，所以对线上培训满意的学员约为
7
30084
25
⨯=人.
（ii）列联表如下：
于是
2
2
50(181877)
9.68
25252525
k
⨯-⨯
==
⨯⨯⨯
，
因为9.687.879
>，所以有99.5%的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异．
6．手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：(年龄单位：岁)
(1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?
(2)若从年龄在[55，65)，[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
.
【答案】（1）见解析.（2）见解析
【解析】（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，
可得列联表如下：
于是有2K
的观测值
2100(60151510)14.28610.82875257030
k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.
故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关. （2）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，相应的概率为：
223222531(0)10C C P X C C ===，11221
32232222253532
(1)5
C C C C C P X C C C C ==+=，
11122322222222535313(2)30C C C C C P X C C C C ==+=，21
2222
531
(3)15
C C P X C C ===， 于是X 的分布列为:
所以0123105301515
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 7．近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.
（1）已知抽取的n 名学生中含男生55人，求n 的值；
（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
（3）在抽取到的女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为X ，求X 的分布列及期望.
附：22
()()()()()
n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++
【答案】(1) 100n =；(2) 有把握；(3)
169
. 【解析】（1）由题意得
55
1000550
n =，解得100n =． （2）22⨯列联表为：
()2
2100452025108.1289 6.63555457030
K ⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为选择科目与性别有关
（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数X 可为0，1，2，3，4.
设事件X 发生概率为()P X ，则()45495
0126C P X C ===，()31
544
9401126
C C P X C ===， ()225449602126C C P X C ===，()135449203126C C P X C ===，()4
44
91
4126
C P X C === . 所以
X 的分布列为：
期望()2341261261261269
E X =
+⨯+⨯+⨯=. 8．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均
在区间[]0,30内，按[]0,5，(]5,10，(]10,15，(]
15,20，(]20,25，(]25,30分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计
最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.
附：观测值公式：()()
()()()()
2
2
a b c d ad bc K
a b c d a c b d +++-=
++++ 临界值表：
【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3)
7
3
【解析】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=， 后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=，所以中位数位于区间(]
15,20内.
设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得 2.5x =，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.
（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：
因为22
100(45201520)600 6.593 5.0246040356591
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得()2
5.0240.025P K ≥=，
所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为
12，2
3
. 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意，12,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
:，22,
3Y B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
:. 所以1()212E X =⨯
=，24()233
E Y =⨯=. 因为X Y ξ=+，则7()()()3E E X E Y ξ=+=
，所以ξ的数学期望为7
3
. 9．2021年，辽宁省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用33+模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.
为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.
（1）已知抽取的n 名学生中含女生45人，求n 的值及抽取到的男生人数；
（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科
目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22
⨯列联表：
请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中按分层抽样再抽出9名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这9名女生中再抽取4人，设这4人中含选择“地理”的人数为X，求X的分布列及期望.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
【答案】（1）=100
n；男生55人（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）由题意得：
45
1000450
n
=，解得=100
n，
男生人数为：
100
550=55
1000
⨯人．
（2）2×2列联表为：
()2
2100452025108.1289 6.63555457030
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．
（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理， 9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数X 可为0，1，2，3，4． 设事件X 发生概率为()P X ，
则()454990126C P X C ===，()415449401126C C P X C ⋅===，()22
544
960
2126
C C P X C ⋅===，
()135449203126C C P X C ⋅===，()
44491
4126
C P X C ===， X 的分布列为：
E X=+⨯+⨯+⨯=．
期望()234
1261261261269
CCTV-）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课. 10．由中央电视台综合频道（1
每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A、B两个地区的100名观众，得到如下的22
⨯列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35.
（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的A、B地区的人数各是多少.
（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.
（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X 的分布列和期望.
附：参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
【答案】（1）A 抽6人，B 抽取7人；（2）没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；（3）见解析
【解析】（1）由题意，得
0.35100
x
=，所以35x =， A 地抽取20306100⨯
=，B 地抽取20
357100
⨯=. （2）
22
100(30203515)100
0.1 3.841653545551001
K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，
所以没有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系. （3）从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为2
3
P =， 随机抽取3人，X 的可能取值为0，1，2，3，
311(0)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2
132162(1)33279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，
22321124(2)33279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3
28(3)327
P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭，
2EX =.。