河南省部分重点中学2019届高三第一次模拟考试数学试题

河南省部分重点中学2019届高三第一次模拟考试
数学试题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，则复数21i
i
-在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =( ) A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{1,0,1,2,3}-
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较
平稳
4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一
个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )
C.
D.
5.函数
2sin(6)
2
41
x
x
x
y
π
⋅+
=
-
的图像大致为
( )
A. B. C. D.
6.使2
3
1
()()
2
n
x n N
x
*
+∈展开式中含有常数项的n的最小值是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
7.已知
00
M x y
，
（）是双曲线C：
2
21
2
x
y
-=上的一点，
12
F F
、是C上的两个焦点，若12
MF MF
⋅<，则
y的取值范围是( )
A.(
33
B.(
66
C.()
33
-
D.(
8.已知函数()sin(2)(0)
2
f x x
π
ϕϕ
=+<<的图象的一个对称中心为
3
(,0)
8
π
, 则函数()
f x的单调递减区间是( )
A.3[2,2]()88
k k k Z ππ
ππ-+∈ B.5[2,2]()8
8
k k k Z π
π
ππ+
+
∈ C.3[,]()88k k k Z ππππ-
+∈ D.5[,]()88
k k k Z ππ
ππ++∈
9.如图1，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1AD 、
1B C 、11C D 上，当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时，三棱锥Q BMN -的正视图面积为( )
A.21
2
a B.214
a
2 2
a
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记
为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( ) A.12p p =
B.13p p =
C.23p p =
D.123p p p =+
11.设抛物线C :24x y ＝与椭圆E :2229x y +=交于A B 、两点，在椭圆E 位于抛
物线C 上方的部分取一点P ，点Q 为椭圆E 的右顶点，若QP QA QB λμ=+u u u r u u r u u u r ，则λμ+的取值范围是( ) A.(1,2]
B.(1,3]
C.(1,4]
D.(1,5]
12.已知函数2()(2)2
b
f x lnx e a x =+--
，其中e 是自然对数的底数，若不等式()0f x ≤恒成立，则
b
a
的最小值为( ) A.21e
-
B.22e -
C.1e -
D.2e
-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________.
14.已知变量x y ,满足约束条件10220|1|(0)x y x y x a a +-≥-+≥-≤>⎧⎪
⎨⎪⎩
，若目标函数z x y =-的最小值
为3
4
-，则实数a 的值为___________.
15.已知向量,a b ，||1,||2==a b ，若对任意单位向量e
，均有||||⋅+⋅≤a e b e 则⋅a b 的最大值是___________.
16.用123456，
，，，，组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，246，，三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为___________.（用数字填写答案）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）
在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠； （2
）若DC =BC .
18.（本题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，*13()3n n S S n N +=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n n
n
b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，其中*n N ∈.
19.（本题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中,PA ABC ⊥底面,90BAC ∠=︒.点D E N ,,分别为棱PA PC BC ,,的中点,M 是线段AD 的中点,4PA AC ==,2AB =.
（Ⅰ）求证：MN BDE 平面∥； （Ⅱ）求二面角C EM N --的正弦值；
（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦
值为21
，求线段AH 的长.
20.（本题满分12分）
某中学数学组推出微信订阅号后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3
（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更
关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；
（2） 如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记
为随机变量X ，求X 的分布列和期望；
（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重
充实哪个栏目的内容，并简要说明理由.
（2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）
21.（本题满分12分）
已知函数()f x ax =，()ln g x x =.
（Ⅰ）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()[sin(1)]()G x f x g x =--在(0,1)上为减函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）证明：2
11
sin
ln 2(1)n
k k =<+∑.
22.（本题满分12分）
抛物线1C :22(0)x py p =>的焦点F 是2C :2
112
y x =
+的顶点,过F 点的直线12,l l 的斜率分别是12,k k ，且12,2k k =-,直线1l 与12,C C 交于,,A C M ，直线2l 与12,C C 交于,,B D N .
（Ⅰ）求抛物线1C 的方程，并证明：,M N 分别是,AC BD 的
中点，且直线MN 过定点； （Ⅱ）①求MFN ∆面积的最小值
②设,,ABF MNF CDF ∆∆∆面积分别为123,,S S S ，求证：22134S S S =⋅.
数学答案
一、选择题：
1.设i 是虚数单位，则复数
21i
i
-在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象
限 【答案】B 【解析】由题意22(1)11(1)(1)
i i i i i i i +==-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.
2.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =
( )
A.{1}
B.{1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{1,0,1,2,3}-
【答案】C
【解析】集合{|12,}{B x x x Z =-<<∈=，而{1,2,A =，所以
0,1,3}2,{A B =，故选C.
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A
【解析】由折线图，易知选项A 错误，故选A.
4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )
C.
D.
【答案】D
【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以f 为首项，
数列，
故第八个单音的频率为18
f-
⋅=，故选D.
5.函数
2sin(6)
2
41
x
x
x
y
π
⋅+
=
-
的图象大致为
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】由题意得
2c o s6
()
41
x
x
x
f x
⋅
=
-
，所以
2c o s(6)2c o s6
()()
4141
x x
x x
f x f x
-⋅-⋅
-==-=-
--
，
所以()
f x为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A；因为当x从右趋向于0时，()
f x趋向于+∞，当x趋向于+∞时，()
f x趋向于0，故排除BC，故选D.
6.使2
3
1
()()
2
n
x n N
x
*
+∈展开式中含有常数项的n的最小值是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】C
【解析】225
13
11
()()
22
k n k k k n k
k n n
k
T C x C x
x
--
+
==，令250
n k
-=得
5
2
n k
=，所以n的最小值是5，故选C.
7.已知
00
M x y
，
（）是双曲线C：
2
21
2
x
y
-=上的一点，
12
F F
、是C上的两个焦点，若12
MF MF
⋅<，则
y的取值范围是( )
A.(
33
B.(
66
C.()
33
-
D.(
33
-
【答案】A
【解析】由题知12(F F ,2
20012
x y -=,故
120000(,),)MF MF x y x y ⋅=-⋅-，2220003310x y y =+-=-<，解得
033
y -
<<
A . 8.已知函数()sin(2)(0)2
f x x π
ϕϕ=+<<
的图象的一个对称中心为3(
,0)8
π
, 则函数()f x 的单调递减区间是( ) A.3[2,2]()88
k k k Z ππ
ππ-+∈ B.5[2,2]()8
8
k k k Z π
π
ππ+
+
∈ C.3[,]()88k k k Z ππππ-+∈ D.5[,]()88
k k k Z ππ
ππ++∈ 【答案】D
【解析】由题意得3sin(2)08πϕ⨯
+=，得4πϕ=，所以()sin(2)4
f x x π
=+，由32222
4
2
k x k π
π
π
ππ+≤+
≤
+，得()f x 的单调递减区间为5[,]()8
8
k k k Z π
π
ππ+
+
∈，故选D .
9. 如图1，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为
a ，
动点M 、N 、Q 分别在线段1AD 、1B C 、11C D 上，当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时，三棱锥Q BMN -的正视图面积为( )
A.212a
B.214a
C.
24a D.2
4
a
【答案】B
【解析】由俯视图可知点N 和点C 重合，点Q 和1D 重合，M 为1AD 的
中点，故其正视图为三角形，如右图，从而得其面积为2111
224
a a a ⨯⨯=.
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个
半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )
A.12p p =
B.13p p =
C.23p p =
D.123p p p =+
【答案】A
【解析】假设2,2,2AC a AB b BC c ===，由三角形ABC 是直角三角形得，
222AC AB BC +=，即222
(2)(2)(2)a b c +=，即222a b c +=，故区域Ⅰ的面积为
2222a b ab ⨯=，区域Ⅱ的面积为222
(2)2222
a b c ab ab πππ+--=，区域Ⅲ的面积为2
22()
222
2
c a b ab ab ππ+-=
-，又由于总区域固定，所以12p p =，故选A .
11.设抛物线C :24x y ＝与椭圆E :2229x y +=交于A B 、两点，在椭圆E 位于抛
物线C 上方的部分取一点P ，点Q 为椭圆E 的右顶点，若QP QA QB λμ=+u u u r u u r u u u r ，则λμ+的取值范围是( )
A.(1,2]
B.(1,3]
C.(1,4]
D.(1,5] 【答案】B
【解析】易得(2,1),(2,1)A B -，又因为Q ，所以
32
2(2,1),(2,1)QA QB =-=-,设(,)(13)P x y y <≤，()QP x y =，所
以(1,3]y λμ+=∈，故选B .
12.已知函数2()ln (2)2
b
f x x e a x =+--，其中e 是自然对数的底数，若不等式
()0f x ≤恒成立，则b
a
的最小值为( )
A.21e -
B.22e -
C.1e -
D.2e -
【答案】B
【解析】因为函数2
()ln (2)2b f x x e
a x =+--，所以21()(2)f x e a x
'=+-，其中0x >，
当22a e ≤时，()0f x '>，()f x 在(0)+∞，上是增函数，∴()0f x ≤不可能恒成立，
当22a e >时，由()0f x '=，得2
1
2x a e =-，
所以2
1
(0,
)2x a e ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 2
1
(,)2x a e ∈+∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，
所以当2
1
2x a e =-时，()f x 取最大值，
又因为不等式()0f x ≤恒成立，所以()f x 的最大值为0， 所以22
111(
)ln()10222f b a e a e =--≤--，即2
1ln(2)102a e b -++≥，即21
1l n (2)
2
b a e ≥---，
所以22
11ln(2)(2)2b a e a e a a ---⋅≥
>，令221l ()n(2)(2)x e F e x
x x --->=，则 222222221ln(2)(2)ln(2)2()2(2)x
x e x e x e e F x x e x x e x
-
++-----=-'=
， 令222()(2)ln(2)2H x x e x e e =---，则2()ln(2)1H x x e '=-+，由()0H x '=得
21
2x e e =+，
当21
(2,)x e e
∈++∞时，()0H x '>，()H x 是增函数，
221
(2,2)x e e e ∈+时，()0H x '<，()H x 是减函数，
所以当212x e e =+时，()H x 取最小值2211
(2)2H e e e e
+=--，
因为22x e →时，()0H x →，23x e >时，()0H x >，2(3)0H e =， 所以当22(2,3)x e e ∈时，()0F x '<，()F x 是减函数；
当2(3,)x e ∈+∞时，()0F x '>，()F x 是增函数
所以23x e =时，()F x 取最小值，221
()3F e e
=-
， 所以12b a ⋅的最小值为21e -，即有b a 的最小值为22
e
-.故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________.
【答案】63-
【解析】由题意，当1n =时，1121a a =+，解得11a =-.
当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+=-，整理得，
12(2
)n n a a n -=≥
， 故{}n a 是以1-为首项，2为公比的等比数列，因此66(1)(12)6312
S -⨯-=--=.
14.已知变量x y ,满足约束条件10220|1|(0)x y x y x a a +-≥-+≥-≤>⎧⎪
⎨⎪⎩，若目标函数z x y =-的最小值
为3
4-，则实数a 的值为___________.
【答案】1
2
【解析】不等式组10220|1|(0)x y x y x a a +-≥-+≥-≤>⎧⎪
⎨⎪⎩
表示的平面区域如图所示，
当0＜a ＜1时，可行域为梯形ABCD ； 当a ≥1时，可行域为△CDE ；
当0＜a ＜1时，直线z x y =-经过点3(1,)2a A a --时，z 取得最小值3
4
-， 所以312a a ---
=34-，解得1
2
a =； 当a ≥1时，直线z x y =-经过点(01)E ，时，z 取得最小值﹣1，此时不满足题意；
综上，实数a 的值为.
15.已知向量,a b ，||1,||2==a b ，若对任意单位向量e ，均
有|||6⋅+⋅a e b ，则⋅a b 的最大值是___________.
【答案】1
2
【
解
析
】
221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2
e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤
，即最大值为1
2
16.用123456，
，，，，组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，246，，三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为___________.（用数字填写答案） 【答案】288
【解析】从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”,方法有2
36A =种,先排3个奇数,有3
3
6A =种,形成了4个空,将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中,方法有2
412A =种,根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6612432⨯⨯=种.若1排在两端,1的排法有12224A A ⋅=种;形成了3
个空,将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中,方法有236
A =种,根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有646144⨯⨯=种,故满足1不在左右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为432144288-=种.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）
在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；
（2）若DC =BC .
【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB
A ADB
=∠∠. 由题设知，
52
sin 45sin ADB
=︒∠，所以
sin 5
ADB ∠=
.………………………………………3分 由题设知，90ADB ∠<︒，所以
cos 5
ADB ∠==分 （2）由题设及（1）知，
cos sin 5
BDC ADB ∠=∠=
.………………………………………7分
在BCD △中，由余弦定理得：
2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅
∠258255
=+-⨯⨯25=，故5BC =.……10分
18.（本题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，*13()3n n S S n N +=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n n
n
b a a +=
-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，其中*n N ∈.
【解析】（1）133n n S S +=+，当2n ≥时，133n n S S -=+， 两
式
相
减
，
得
：
13n n
a a +=（2n ≥）……………………………………………………………2分 又
13
a =，代入
133
n n S S +=+得
29
a =，所以
213a a =，………………………………………3分
所以数列{}n a 是13a =为首选，3为公比的等比数列，………………………………………4分 所
以
1
33
n n
n a -=⋅
=
()n N +∈， …………………………………………………………………6分 （
2
）
1n n n
n
b a a +=
-133n n n +=-123n n =， ……………………………………………
…………8分
231123()23333n n
n T =+++
2341111231()3233333n n n n n T +-=++++ 23412111111()32333333n n n n T +∴=++++- ……………………………………………………10分 解得，
36243n n
n T +=
-……………………………………………………………………………12分
19.（本题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥底面，90BAC ∠=︒.
点D E N ,,分别为棱PA PC BC ,,的中点，
M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.
（Ⅰ）求证：MN BDE 平面∥； （Ⅱ）求二面角C EM N --的正弦值；
（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE
，求线段AH 的长.
【解析】如图，以A 为坐标原点，分别以,,AB AC AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则由题意得
(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2)A B C D ， (0,2,2),(0,0,4),(0,0,1),(1,2,0)E P M N ，
（Ⅰ）(0,2,0)DE =，(2,0,2)DB =-.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00
DE DB ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n ，即20
220y x z =⎧⎨
-=⎩
，
不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又(1,2,1)MN =-，可得0MN ⋅=n ， 因
为
M N
⊄平面，所以
M N 平面∥. ………………………………………………4分
（Ⅱ）易知1(1,0,0)=n 是平面CEM 的一个法向量，设2(,,)x y z =n 是平面EMN 的法向量， 则2200
EM MN ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1),(1,2,1)EM MN =--=-，
所
以20
20
y z x y z --=⎧⎨
+-=⎩，不妨设1y =，可
得
2(4,1,2)=--n ，………………………………………6分
所以121212,|||cos <>=⋅=n n n n |n n
12sin ,<>=n n ， 所
以
二
面
角
C EM N
--的正弦值
为
21
.……………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设(04)AH h h =≤≤，则(0,0,)H h ，从而可得
(1,2,),(
N H h B E =--=-， 由已知得
，|,|co ||21|s |NH BE NH BE NH BE h <>=
=⋅=
||，整理得2102180h h -
+=， 解得81
52
h =或
，所以，线段AH 的长为
81
52
或.……………………………………………12分 20.（本题满分12分）
某中学数学组推出微信订阅号后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3
（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更
关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；
（2） 如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记
为随机变量X ，求X 的分布列和期望；
（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重
（2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）
【解析】（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关
注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以25,5,15,15a b c d ====，列联表如图
……………………2分
2
2
60(2515515)7.5 6.63530302040
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，……………………………………………
…………4分
所以能有99%的把握认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”. …………………5分 （2）X
的取值为0,1,2，由题意，
2
(2,)3
X
B ，……………………………………………6分
所以1(0)9P X ==，4(1)P x ==，4
(2)P x ==，分布列如下
……………………8分
X 的期望为
4
3
EX =
， …………………………………………………………………………10分
（3）关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，即关注栏目1的人数多， 所以应该充实栏目1的内容. …………………………………………………………………12分 21.（本题满分12分）
已知函数()f x ax =，()ln g x x =.
（Ⅰ）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()[sin(1)]()G x f x g x =--在(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）证明：2
1
1
sin
ln 2(1)
n
k k =<+∑. 【解析】（Ⅰ）()()()ln F x f x g x ax x =-=-，1
()F x a x
'=-
，易得定义域为(0,)+∞，……2分
所以当0a ≤时，()0F x '<，()F x 在(0,)+∞上单调递减，()F x 无极值， …………………3分
当0a >时，由()0F x '=得1x a =，从而()F x 在1(0,)a 上单调递减，在1
(,)a
+∞
上单调递增，
所以()F x 有极小值为，1
()1ln 1F a a
=+=，解得
1a =， ………………………………4分 （Ⅱ）由题意()(G x f x g x
=--=-， (5)
分 因为()G x 在()0,1上为减函数，所以1
()cos(1)0G x a x x '=--≤在(0,1)恒成立，
又因为(0,1)x ∈时，c o s (1)0x ->，所以1
c o s (1)
a x x ≤
-在(0,1)上恒成立，……………6分
设1()(01)cos(1)H x x x x =
<<-，则22sin(1)cos(1)
()0cos (1)
x x x H x x x '---=<-， 所以()H x 在区间()0,1上为减函数，∴1
()1cos(1)
H x x x =
>-， 故所求a
的范围是：(],1-∞.………………………………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）()G x 在()0,1上为减函数，取1a =有()(1)0G x G >=,
所
以s i n (x x -->，即sin(1)ln x x ->，即1
sin(1)ln x x -<, ………………………9分
取2
11(1)
x k =-+，k N *
∈，显然()0,1x ∈， 则2
2
1(1)sin ln (1)(2)k k k k +<++，………………………………………………………………10分
所以
222
1
12s i (1n
k n n k n n n =++<⋅⋅⋅=<+⋅⋅⋅++∑，得证. …………12分
22.（本题满分12分）
抛物线1C :22(0)x py p =>的焦点F 是2C :2
112
y x =
+的顶点,过F 点的直线12,l l 的斜率分别是12,k k ，且12,2k k =-,直线1l 与12,C C 交于,,A C M ，直线
2l 与12,C C 交于,,B D N .
（Ⅰ）求抛物线1C 的方程，并证明：,M N 分别是,AC BD 的中点，且直线MN 过
定点；
（Ⅱ）①求MFN ∆面积的最小值
②设,,ABF MNF CDF ∆∆∆面积分别为123,,S S S ，求证：22134S S S =⋅.
【解析】（Ⅰ）因为12
1
:22+=x y C 的顶点()0,1F ,所以抛物线
:1C 24x y =，………………1分 直线11:1l y k x =+，22:1l y k x =+，
由121214404y k x x k x x y =+⎧⇒--=⎨=⎩,设()()1122,,,A x y C x y ，
则121124,4x x k x x +==-， 所以
AC
的中点为211(2,21)
k k +，同理BD 的中点为
2
22(2,21)k k +，…………………………2分 易知211(2,21)k k +、222(2,21)k k +满足方程12
1:2
2+=
x y C ， 故由题意,M N 坐标即为211(2,21)k M k +、2
22(2,21)k N k +，
从而可知,M N 分别是,A C B D 的中
点，………………………………………………………4分 由上得()
2
2212121
222MN k k k k k k k -=
=+-，
所以直线()()22112112112:21(2)22MN y k k k x k k k x k k k --=+-=+--
因为122k k =-，所以()221121122122y k k k x k k k --=+--，即()125y k k x =++， 所
以
直
线
MN
过定点
()0,5, ……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）①
||MN =
=
F
到直线MN
的距
离
d =
………………………………………………………7分
1
||2
FMN S MN d ∆=
⨯=
=≥==，……………………………………
……8分
② 设()()1122,,,A x y C x y ,()()3344,,,B x y D x y
121124,4x x k x x +==-,342342,4x x k x x +==-
()222121212112111,24216
y y x x y y k x x k =
=+=++=+,2
343421,42y y y y k =+=+ 设AFB θ∠=，则1311
||||sin ||||sin 22
S S FA FB FC FD θθ=⨯
()()()()()()2212341212343411
1111sin 11sin 44y y y y y y y y y y y y θθ=++++=++++++ ()()()()222222*********sin 411sin 4
k k k k θθ=++=++，………………………………………10分
()()22222424
22112211||||sin 4444sin 44S FM FN k k k k θθ==++ ()()()()22222222121212411sin 1611sin k k k k k k θθ=++=++
所
以
221
4
S S =，………………………………………………………………………………12分。