河北省名校2020年高二第二学期数学期末预测试题含解析

河北省名校2020年高二第二学期数学期末预测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1
．已知复数21z i
=+，则||z =（ ） A ．1 B
C
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
直接由复数商的模等于模的商求解． 【详解】
21z i
-=
+Q ，
z ∴====
故选：C ． 【点睛】
本题考查复数模的求法，复数模的性质，属于容易题． 2．ABC V 中，90C ∠=︒，M 是BC 的中点，若1
sin 3
BAM ∠=，则sin BAC ∠=（ ）. A ．
13
B
．
3
C
D
【答案】D 【解析】 【分析】
作出图象，设出未知量，在ABM ∆中，由正弦定理可得2sin 3c AMB a
∠=
，进而可得2cos 3c
a β=，在RT ACM
∆
中，还可得cos β=
，建立等式后可得a =
，再由勾股定理可得=c ，即可得出结论． 【详解】
解：如图，设AC b =，AB c =，2
a
CM MB ==
，MAC β∠=， 在ABM ∆中，由正弦定理可得2sin sin a
c BAM AMB =
∠∠， 代入数据解得2sin 3c
AMB a
∠=，
故cos
cos()sin sin()2AMC AMC AMB π
βπ=-∠=∠=-∠
2sin 3c AMB a
=∠=
， 而在RT ACM ∆中，
22cos ()2
AC
b AM
a
b β=
=+， 故可得
2223()2
b
c
a a
b =
+，化简可得422422244(2)0a a b b a b -+=-=，
解之可得2a b =
，再由勾股定理可得222+=a b c ，联立可得3=c b ，
故在RT ABC ∆中，6
sin 3
BC BAC AB ∠==
， 故选：D ．
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属于中档题． 3．设0.1
359
2,ln ,log 210
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】A 【解析】 试题分析：
，，即，，
．
考点：函数的比较大小．
4．过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且| |3A F =，O 为坐标原点，
则AOF V 的面积与BOF V 的面积之比为 A ．
1
2
B ．
33
C 3
D ．2
【答案】D 【解析】
设点()11,A x y 位于第一象限，点()22,B x y ，并设直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出124y y =-，由抛物线的定义得出点A 的坐标，可得出点B 的纵坐标2y 的值，
最后得出AOF ∆的面积与BOF ∆的面积之比为12
y y 的值.
【详解】
设点()11,A x y 位于第一象限，点()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+，
将该直线方程与抛物线方程联立214x my y x
=+⎧⎨=⎩，得2
440y my --=，124y y ∴=-，
由抛物线的定义得113AF x =+=，得12x =，2
1148y x ∴==，10y >Q
，1y ∴=，
可得出2y =1
1221
2212
AOF BOF
OF y S y
S y OF y ∆∆⋅∴
===⋅，故选：D. 【点睛】
本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。

5．函数2x y x e =的单调递减区间是（ ） A ．()1,2-
B ．(),1-∞-与()1,+∞
C ．(),2-∞-与()0,∞+
D ．()2,0-
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的导函数 【详解】 ∵2x y x e =，
∴,222(2)x x x y xe x e x x e =+=+． 由,
0y <，解得20x -<<，
∴函数2x y x e =的单调递减区间是()2,0-． 故选D ．
利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
①确定函数f(x)的定义域；②求导数()'f x ；③在函数f(x)的定义域内解不等式()'0f x >和()0f x '<；④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间．
6．已知集合{}
2
02,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则A B =I ( ) A ．(,1](2,)-∞+∞U B ．(,0)(1,2)-∞U C ．[1,2) D ．(1,2]
【答案】D 【解析】
{}{}
|12,|01A x x B x x x =-≤≤=或，
所以[)(]
1,01,2A B ⋂=-⋃，故选B ．
7．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝
【答案】B 【解析】
解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．
8．现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12
【答案】A 【解析】
分析：直接利用组合数求解即可．
详解：现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为2
615.C =
故选A
点睛：本题考查组合的应用，属基础题..
9．某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人同抢到红包的情况有( ) A ．36种
B ．24种
C ．18种
D ．9种
【解析】 【分析】
分三种情况：（1）都抢到2元的红包（2）都抢到5元的红包（3）一个抢到2元，一个抢到5元，由分类计数原理求得总数。

【详解】
甲、乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，有2
3C 种；（2）都抢到5元的红包，有2
3C 种；（3）一个抢到2元，一个抢到5元，有1
2
23A C 种，故总共有18种．故选C ． 【点睛】
利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，是根据得红包情况进行分类。

10．已知2a b a b ==⋅=v v v v ，c tb -v v 的最小值为c a -v v
，则4
b a
c c a +-+-v
v v v v 的最小值为（ ）
A
1 B ．2
C
D
1
【答案】C 【解析】 【分析】
如图所示：在直角坐标系中，取点2F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，,12A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
，2B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，得到C
的轨迹方程为
2
y =，故4
b a
c c a CD CF CD CM DN +-+-=+=+≤v
u u u v u u u v u u u v u u u u v v v v v ，得到答案.
【详解】
如图所示：在直角坐标系中，取点F ⎫⎪⎪⎝⎭
，1A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
则)
a AF ==r u u u r ，()0,2
b AB ==r u u u r ，满足2a b a b ==⋅=v v v v ，设
c AC =r u u u r ，
过点C 作CM 垂直于AB 所在的直线与M ，则c tb -v
v 的最小值为MC u u u u r ， 即MC CF =u u u u r u u u r
，根据抛物线的定义知C
的轨迹方程为：2y =.
取342b a AD ⎫
+==⎪⎭r
r u u u r
，故122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
即4
b a
c c a CD CF CD CM DN +-+-=+=+≥=v
u u u
v u u u v u u u v u u u u v v v v v
当DC 垂直于准线时等号成立. 故选：C .
【点睛】
本题考查了向量和抛物线的综合应用，根据抛物线的定义得到C 的轨迹方程是解题的关键.
11．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x<10}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则(∁U A)∩B ＝( ) A ．{6，8} B ．{2，4}
C ．{2，6，8}
D ．{4，8}
【答案】A 【解析】 【分析】
先化简已知条件,再求,()U U C A C A B ⋂. 【详解】
由题得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,U =
U C A ={}5,6,7,8,9,因为{}2,4,6,8B =, ∴()U C A B =I {}6,8,故答案为A
【点睛】
本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 12．已知命题:,25x P x R ∀∈>，则p ⌝为 A ．,25x x R ∀∉> B ．,25x x R ∀∈≤ C ．0
0,25x x R ∃∈≤ D ．0
0,2
5x x R ∃∈>
【答案】C
【解析】
分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。

详解：0
0,2
5x x R ∃∈≤，故选C
点睛：带全称、特称量词的否定，
命题“x M ∀∈，则p 成立”的否定：0x M ∃∈，则p ⌝成立 命题“0x M ∃∈，则p 成立”的否定：x M ∀∈，则p ⌝成立 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．定积分
2
1
1
dx x
⎰
的值等于________. 【答案】ln1 【解析】 【分析】
直接根据定积分的计算法则计算即可． 【详解】
2
211
1|2dx lnx ln x
==⎰
， 故答案为：ln1． 【点睛】
本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．
14．已知顶点在原点的抛物线C 的焦点与椭圆22
1167
x y +=的右焦点重合，则抛物线C 的方程为______．
【答案】212y x = 【解析】 【分析】
求得抛物线的右焦点坐标，由此求得抛物线方程. 【详解】
椭圆的2
2
16,7a b ==，故2229c a b =-=，故3c =，所以椭圆右焦点的坐标为()3,0，故
32
p
=，所以212p =，所以抛物线的方程为212y x =.
故答案为：212y x = 【点睛】
本小题主要考查椭圆焦点的计算，考查根据抛物线的焦点计算抛物线方程，属于基础题.
15．设集合{}1,2,3,5A =，{}1,B t =，若B A ⊆，则t 的所有可能的取值构成的集合是_______；
【答案】{}2,3,5 【解析】 【分析】
根据集合的包含关系可确定t 可能的取值，从而得到结果. 【详解】
由B A ⊆得：2t =或3或5
t ∴所有可能的取值构成的集合为：{}2,3,5
本题正确结果：{}2,3,5 【点睛】
本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，属于基础题.
16．已知向量(0,2,1)a =r ，(1,1,2)b =-r ，则a r 与b r
的夹角为________
【答案】 【解析】 【分析】
利用空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】
解：由已知224a b ⋅=+=r r
，a ==r
b ==r
cos ,a b a b a b
⋅===⋅r r
r r r r
则a r 与b r
的夹角为.
故答案为：. 【点睛】
本题考查空间向量夹角的求解，是基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数2()ln R f x x a a x
=+
-∈（）． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 在3
(,)e e 上的零点个数；
（Ⅱ）当3a <时，若()f x 有两个零点12,x x ，求证：124<x +x <3e-2 【答案】 (Ⅰ)有一个零点； (Ⅱ)见解析
【解析】 【分析】
(Ⅰ)对函数求导，将3a =代入函数，根据函数在3
(,)e e 单调性讨论它的零点个数．(Ⅱ)根据函数单调性构造新的函数，进而在各区间讨论函数零点个数，证明题目要求． 【详解】
因为()22122
x f x x x x
='-=
-，()f x 在,2（0）上递减，2+∞（，）
递增 (Ⅰ)当3a =时，()()
3
3322221320,330f e f e e e e e
=+-=-<=+-=>
()f x 在3,e e （）上有一个零点
(Ⅱ)因为()f x 有两个零点，所以()20,f <即ln2101ln2a a +-<⇒>+. 设1202,x x <<<则要证121244-x x x x +>⇔<，因为12244,2x x <-<> 又因为()f x 在2+∞（，）上单调递增，所以只要证 ()()()12140f x f x f x -<== 设()()()4(02)g x f x f x x =--<<
则()()()()
()()2
222282242
'''4044x x x g x f x f x x x x x ----=--=+=-<-- 所以()g x 在()0,2上单调递减，()()20g x g >=，所以124x x +> 因为()f x 有两个零点12,x x ，所以()()120f x f x == 方程()0f x =即2ln 0ax x x --=
构造函数()2ln ,h x ax x x =--则()()120h x h x ==
()()1'1ln ,'0,a h x a x h x x e -=--=⇒=记121ln2a p e a -=>>+（）
则()h x 在0p （，）上单调递增，在,p +∞（）上单调递减，所以()12
0h p x p x ⎧>⎨
<<⎩
设()
()()()2
22
214ln ln ,0x p p x p R
x x p R x x p x x p x x p --=--='-=>+++（）
（） 所以R x （）
递增，当x p >时，()()0R x R p >=当 0x p <<时，()0R x R p <=（） 所以()111111122ln ln x x p ax x x x p x p
--=<
++
即()()2
2
111111222ln ln ax x p x px x p x p p -+<-++
()2112ln 22ln 20p a x ap p p p x p +-+--++>（）（1,ln 1a p e p a -==-）
所以(
)2
1
1
112320a a x e x e
--+-+>，同理()
2
11222320a a x e x e --+-+<
所以(
)()
2
1
121122
11232232a a a a x e
x
e x e x e ----+-+<+-+
所以()(
)1
2121230a x x x x e
-⎡⎤-++-<⎣⎦，所以11
2
32a x x
e -+<-
由2a <得，-1
123232a x x e e +<-<-
综上：12432x x e <+<- 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的零点、考查了构造函数证明不等式，意在考查计算能力、转化思想的应用，是关于函数导数的综合性题目，有一定的难度.
18．某射击运动员每次击中目标的概率是0.9，在某次训练中，他只有4发子弹，并向某一目标射击. （1）若4发子弹全打光，求他击中目标次数X 的数学期望；
（2）若他击中目标或子弹打光就停止射击，求消耗的子弹数ξ的分布列. 【答案】（1）3.6（2）见解析 【解析】
分析：（1）他击中目标次数X 可能取的值为1，1，2，3，4 ，由题意，随机变量X 服从二项分布，即
X ~()4,0.9 ，则可求 4发子弹全打光，击中目标次数X 的数学期望；
（2）由题意随机变量ξ可能取的值是1，2，3，4 ，由此可求他击中目标或子弹打光就停止射击，求消耗的子弹数ξ的分布列 详解：
（1）他击中目标次数X 可能取的值为1，1，2，3，4
由题意，随机变量X 服从二项分布，即X ~()4,0.9
()40.9 3.6E X =⨯=
（若列出分布列表格计算期望，酌情给分）
（2）由题意随机变量ξ可能取的值是1，2，3，4
()10.9P ξ== ()20.10.90.09P ξ==⨯= ()30.10.10.90.009P ξ==⨯⨯= ()40.10.10.10.001P ξ==⨯⨯=
点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．。