常微分Ch5.习题课

则得原方程组的特解为 x1 1 sin t . x2 sin t cos t 2
P245,8 求解 x1 '' 3x1 ' 2 x1 x2 ' x2 0 x1 ' 2 x1 x2 ' x2 0, x1 (0) x2 (0) 0, x1 '(0) 1. 解法一. 化该方程组为一阶线性方程组
1 (1)-(2)得 x2 [ x1 '' 4 x1 ' 4 x1 ] (3) 2 将(3)代入(2)得 x1 ''' 3x1 '' 2 x1 ' 0 (4)
解得(4)的通解为
x1 c1 c2e c3e
t
2t
(5)
将(5)代入(3)得 x 2c 1 c et , 2 1 2 2 从而方程组(1)(2)的通解为
P218,13. x '' 8 x ' 7 x f (t ) (1) 试证明:
f (t ) c[0, ),
1). 若 f (t ) M x(t ) M , t [0, ); 2). 若 lim f (t ) 0 lim x(t ) 0.
t t
E A ( 1)( 2), 1 0, 2 1,3 2,
对应的特征向量分别为
1 2 1 v1 0 , v2 2 , v3 2 . 2 1 0
1 1 1 2t e 2 2t 1 2e , (0) 2 1 1 , 0 3 1 2 2 故(2)的解为 3 2t 1 t 2e e x1 y1 0 2 2 x ' y (t ) 1 (0) 1 2et 3e 2t 1 2 t x y 0 1 e 2 3
1 1 v1 , v2 , 1 i 1 i
1 1 i i , 2 1 i i
对应的特征向量分别为 则基解矩阵为 eit (t ) it (1 i ) e
1
e it 1 , (0) it (1 i )e
基解矩阵为
exp At e 2t [ E ( A 2 E )t ] t 1 0 1 1 2t 1 t e [ t] e , 1 t 0 1 1 1 t
2t
方程组的解为
1 t t 5 X (t ) (0) exp At e 7 t 1 t 2 t 5 12t e . 7 12t
则基解矩阵为 1 2et (t ) 0 2et 2 et
则原方程组(1)的特解为 1 3 2t t x1 2e e 2 2 . t x 1 e 2
解法二. 消元法
x1 '' 3x1 ' 2 x1 x2 ' x2 0 (1) (2) x1 ' 2 x1 x2 ' x2 0
这里顺便介绍以下消元法解方程组,即将常系数线性方 程组化为常系列化方程来求解. 将原方程组改写为
x1' x1 x2 1, ' x2 2 x1 x2 ,
(1) (2)
由(1)得
x2 x1' x1 1
x1 '' x1 1
(3)
(4) (5)
将(3)代入(2)得
1 2t
例2. 求解
x1 4 3 x1 et x1 (0) 1 x ' 2 1 x t , x (0) 1 2 e 2 2
3 E A ( 1)( 2) 0, 1 1, 2 2. 2 1 3 3 u1 1 1 1 (1E A)u 0 0 U1 , 2 2 u2 1 2 3 u1 3 2 2 (2 E A)u 0 0 U2 2 3 u2 2
令
x1 y1 , x1 ' y2 , y3 x2 ,
原方程组化为
y1' 0 1 0 y1 y1 (0) 0 ' y , y (0) 1 (2) y 4 4 2 2 2 2 ' 2 1 1 y y (0) 0 y3 3 3
sin t sin t cos t exp At (t ) (0) . sin t cos t 2sin t
则所求解为
X exp At[ exp( As ) F ( s )ds ]
0
t
sin s 1 t cos s sin s 1 exp At[ ds ] 0 cos s sin s 0 1 2sin s 1 cos t 1 sin t 1 sin t exp At[ ] . 1 2cos t 2 sin t cos t 2
30. E A ( 1 )n , ( A 1E ) t (t ) exp At e ; k! k 0
1t
n 1 k k
40. E A ( 1 ) n1 ( 2 ) n2 ( k ) nk , (i j , i j , n1 n2 ... nk n, n j 1, j 1,2,..., k .)
(4)的通解为 x1 c1 cos t c2 sin t 1
将(2)代入(3)得
x2 c1 (cos t sin t ) c2 (sin t cos t ) 2, (6)
由初始条件得
1 c1 1 c1 0 , 1 c1 c2 2 c2 1
Ch5. 习题课
一.基本概念 一阶线性方程组, 矩阵函数的连续,可微,积分,向量 函数的线性相关, 线性无关, W-行列式, 解矩阵, 基解矩阵, exp At. 二. 基本定理 定理5.1—5.11, 定理 1* ,2* , 推论 1* ,2*. 三. 基本计算 1. 求
X ' AX X (t0 )
的解 X (t )1 (t0 ) ;
2.求 X ' AX F (t ) 的解 X (t0 )
X (t )[ (t0 ) 1 ( s) F ( s )ds]
1 t0
t
exp At[exp( At0 ) exp( As ) F ( s )ds];
学生练习: 求解
x1 ' 1 1 x1 1 x1 (0) 1 (98年华师大) , x2 ' 2 1 x2 0 x2 (0) 1
解:
E A 2 1 0, 1,2 i,
3. 基解矩阵 (t ) 的求法 10. (t ) exp At (A);
t0
t
20. E A ( 1 )( 2 )...( n )(i j , i j ) (t ) (e1t v1 , e2t v2 ,..., ent vn ), ( j E A)v j 0, j 1,2,..., n;
则
et (t ) t e
t 3e 2t 2 e 1 (t ) 2t 2t 2e e
解:
4
3e t 2 t e
则所需求的解为
X (t )[ (0) 1 ( s ) F ( s ) ds ]
1 0 t

2 3 1 t 2e s 3e s e s (t )[ 2 s ds ] 2 s s 0 e e 1 11 e 3 2t 3 2t e t 2t e 3e 1 2 2 t [ ] 2t 1 3t 2 t e 2e 0 e e 3 3 1 1 t t 2t e (2t 2 ) 2 e 2e . 1 5 t 4 2t t e (2t ) e e 2 6 3
(t ) exp At (1,2 ,...,n ),
j e ,( j 1,2,..., n) U1 U 2 ... U k ,
j
e
j 1
k
jt
n j 1

k 0
( A j E )k t k k!
U j,
( A j E ) U j 0, j 1,2,..., k .
x1 c1 c2et c3e 2t 1 t , x2 2c1 c2e 2 1 再由初始条件得 c c1 c2 c3 0 1 2 c2 2c3 1 c2 2, 1 3 2c1 c2 0 c3 2 2 则原方程组的特解为 1 3 2t t x1 2e e 2 2 . t x 1 e 2
nj
x1' 1 1 x1 x1 (0) 5 , . 例1.解方程组 ' x2 1 3 x2 x2 (0) 7
四. 举例
解:
E A
1
1
1 ( 2)2 0, 2 (二重) 3
证:
(1)对应的齐线性方程为 x '' 8 x ' 7 x 0 (2)
其特征方程为 则(2)的基本解组为
t
2 8 7 ( 1)( 7) 0
x1 et , x2 e2t ,
x1 ( s ) x2 (t ) x1 (t ) x2 ( s ) x c1 x1 c2 x2 f ( s )ds 0 W ( s) 1 t s t t 7 t 7( s t ) c1e c2e (e e ) f ( s )ds, 0 6