普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)

信达
试卷类型：A
广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：
锥体的体积公式Sh V 31
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
台体的体积公式()
123
h
V S S =，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
信达
1．sin 240o
的值为
A
．
2 B ．12 C ．1
2
- D
．2-2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
A ．3log 2-
B ．3log 2
C ．2log 3-
D ．2log 3
3．已知双曲线C ：
22
2
14x y b -=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．
1
2
B
．2 C
D
4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是
A ．21
B ．32
C ．34
D ．64
5．已知命题p ：x ∀∈R ，2
0x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命 题为真命题的是
A ．p q ∧
B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()p q ∧⌝
6．设集合{}
22A x a x a =-<<+，{
}
2
450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 A ．[]1,3 B ．()1,3 C ．[]3,1-- D ．()3,1--
7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()
*
n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为
A ．21
21n -+ B ．2121n -- C ．221n +
D ．221n
-
信达
8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425 B ．12 C ．2
3
D ．1
9．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =
， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A
C D 10．设函数()3
2
33f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb
平面上所构成区域的面积为 A ．
14 B ．12 C ．3
4
D ．1
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1i
i
z -=
，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．
13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关系可以用2
y ax =来描
述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b ()km ．一辆这种型号的14的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）
在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,
12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和2
4,2x t y t
=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．
A
V
C
B
图2
图3
信达
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；
（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）
某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的
（1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；
（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有1
人被授予“环保之星”的概率． 18．（本小题满分14分）
如图4，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别是 棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN
==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；
（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积
之比．
19．（本小题满分14分）
已知点(),n n n P a b (
)n ∈*
N 在直线l ：31y x =+上，1
P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n
a 是公差为1
的等差数列．
C 1 A
B
A 1
B 1
D 1
C D
M
N
图4
c
信达
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若(),,
n n a n f n b n ⎧=⎨
⎩为奇数为偶数，
，
是否存在k ∈*
N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有
符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知函数()2
ln f x x ax x =++()a ∈R ．
（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间．
21．（本小题满分14分）
已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2
2
44x y -+=．
（1）求圆C 的方程；
（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据
试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．
信达
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15
题是选做题，考生只能选做一题．
16．（本小题满分
12分） 解：（
1）因为::7:5:3a b c =，
所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分 由余弦定理得，
222
cos 2b c a A bc +-=()()()222
537253k k k k k
+-=
⨯⨯…………………………………………………………3分 1
2
=-．
………………………………………………………………………………………………4分
（2）由（1）知，1
cos
2
A =-，
因为A 是△ABC 的内角，所以sin 2
A ==
．…………………………………………6分
由正弦定理
2sin a
R A
=，
…………………………………………………………………………………7分
得2sin 2142
a R A ==⨯⨯
=…………………………………………………………………8分 由（1）设7a k =，即k =
所以5b k ==3c k ==．………………………………………………………………10分
所以1
sin 2
ABC S bc A ∆=
122=⨯……………………………………………………11分
=
信达
所以△ABC
的面积为12分 17．（本小题满分12分）
解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分
年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分 年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，
所以200.1a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分 根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=，
解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分 （2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．
年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，
2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，
()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，
()42,a b ， ()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分
其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，
()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分
故所求的概率为
5
3
159=. ………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，
在四边形11A BCD 中，11A D BC P 且11A D BC =， 所以四边形11A BCD 是平行四边形．
所以11A B D C P ．…………………………………………2分
C 1 A
B
A 1
B 1
D 1 C D
M
N
信达
在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==， 所以
1AM AN
AA AB
=， 所以1MN A B P ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MN D C P ．
所以M ，N ，C ，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，
连接1D A ，1D N ，DN ，
则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++
1111111333
AMN ADN CDN S D A S D D S D D ∆∆∆=++g g g ………9分
111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
13
2
=．……………………………………………………………………………………………11分
从而1111121341
2722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分
所以
1213
41
V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为13
41
．……………………………………………14分
解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A P 平面11DCC D ，所以平面AMN P 平面1DD C ． 延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC P ，
C 1 A B A 1
B 1
D 1
C D M N
信达
所以
AN PA DC PD =
，即133PA PA =+，解得3
2
PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得3
2
QA =．
所以点P 与点Q 重合．
所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．
所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分
所以111191333222
AMN DD C V V -⎛⎫==
⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分 从而1111121341
2722
ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以
1213
41
V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为13
41
．……………………………………………14分 19．（本小题满分14分）
解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，
所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，
所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分 因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．
所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()
*
n ∈N ．………………………6分
（2）因为()1,32,
n n f n n n -⎧=⎨
-⎩为奇数为偶数，
，
假设存在k ∈*
N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分
信达
①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-，
解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分 ②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有()()31432k k +-=-，
解得10
11
k =
，不合题意．………………………………………………………………………………13分 综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分
因为()2
ln f x x ax x =++，
所以()1
21f x ax x
'=
++，………………………………………………………………………………2分 依题意有()10f '=，即1210a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分
此时()()()212121x x x x f x x x
--+-++'==，
所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，
所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分 所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分
（2）因为()1
21f x ax x
'=++221ax x x ++=，
（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分
因为()0,x ∈+∞，所以()f x '221
0ax x x
++=
>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分 （ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2
210ax x ++=．
因为180a ∆=->，
信达
此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x
--++==，
其中114x a -=-
，214x a
+=-． 因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a
=
<，所以10x <．……………………………………11分 所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，
所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分 综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增
区间是10,4a ⎛
- ⎝⎭
，单调递减区间是1,4a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
．……………………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分
因为圆C 过点()0,0和()1,1-，
所以()22222,11.
a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．
所以圆C 的方程为()2
211x y ++=．…………………………………………………………………4分 方法二：设()0,0O ，()1,1A -，
依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122
y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C 的方程为()2
211x y ++=．…………………………………………………………………4分
信达
（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，
则()2
20044x y -+=， 即()2
200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，
因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k
1=，
即1k ，2k 是方程()
()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分 即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩
所以120AB k k x =-
x =9分 因为()220044y x =--，
所以AB =10分 设()()002056
2x f x x -=+，
则()()0030522
2x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分
信达
由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分 所以()0max 2225564
f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min 0131min 2,6min ,484
f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB
的取值范围为4⎦
．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，
则()2
20044x y -+=， 即()2
200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ，
则直线PA ：00
y a y a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C
1=，
化简得()2
000220x a y a x +--=． ① 同理得()2
000220x b y b x +--=， ② 由①②知a ，b 为方程()2
000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分 即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩
所以AB a b =-=
信达
=
=
．……………………………………………………………………9分 因为()220044y x =--，
所以AB =10分
=．………………………………………………………………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184
t ≤≤．
所以AB =
=，………………………………………12分 当532
t =
时，max 4AB =， 当14
t =时，min AB =
所以AB
的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分。