高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质课后课时精练a21

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解析
二、填空题 7．与双曲线 x2－y42＝1 有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方 程是________．
答案 x32－1y22 ＝1 解析 依题意，设双曲线的方程为 x2－y42＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得 λ ＝3， 12/所9/202以1 所求双曲线的标准方程为x32－1y22 ＝1.
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解析
三、解答题 10．已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 4，且过点(－3,2 6)． (1)求双曲线方程与其渐近线方程； (2)若直线 l：y＝kx＋2 与双曲线 C 有且只有一个公共点，求所有满足条 件的实数 k 的取值．
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6．已知椭圆 C1：mx22＋y2＝1(m>1)与双曲线 C2：nx22－y2＝1(n>0)的焦点重 合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则( )
A．m>n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2<1 C．m<n 且 e1e2>1 D．m<n 且 e1e2<1
b2＝4a2，∴－m1 ＝4，∴m＝－14.
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答案
解析
2．已知双曲线x22－ya2＝1 的一条渐近线为 y＝ 2x，则实数 a 的值为(
)
A. 2 B．2 C. 3 D．4
答案 D
解析
由题意，得
2＝
a，所以 2
a＝4.
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答案
解析
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解 (1)由y3＝x2－axy＋2＝1，1， 消去 y 得， (3－a2)x2－2ax－2＝0.① 依题意3Δ－>0a，2≠0， 即－ 6<a< 6且 a≠± 3.②
x1＋x2＝3－2aa2，
③
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝3－－2a2， ④
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答案
B 级：能力提升练 1．已知直线 y＝ax＋1 与双曲线 3x2－y2＝1 交于 A，B 两点． (1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值； (2)是否存在这样的实数 a，使 A，B 两点关于直线 y＝12x 对称？若存在， 请求出 a 的值；若不存在，请说明理由．
答案
(2)假设存在实数 a，使 A，B 关于 y＝12x 对称， 则直线 y＝ax＋1 与 y＝12x 垂直，∴a＝－2. 直线 l 的方程为 y＝－2x＋1. 将 a＝－2 代入③得 x1＋x2＝4. ∴AB 中点横坐标为 2，纵坐标为 y＝－2×2＋1＝－3. 但 AB 中点(2，－3)不在直线 y＝12x 上． 即不存在实数 a，使 A，B 关于直线 y＝12x 对称．
课后课时 精练 (kèshí)
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A 级：基础巩固练
一、选择题
1．双曲线 mx2＋y2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则实数 m 的值为( )
A．－14
B．－4
C．4
1 D.4
答案 解析
A 双曲线的标准方程为 y2－－x2m1 ＝1，∴a2＝1，b2＝－m1 .由题意，得
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答案
(2)显然直线 m 不与 x 轴垂直，设 m 方程为 y＝kx－1，
y＝kx－1，
设点 M，N 坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程x32－y2＝1
消去 y，
得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.(*)
依题意知 1－3k2≠0，由根与系数的关系知 x1＋x2＝3k62－k 1，x1x2＝3k26－1.
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答案
本课结束(jiéshù)
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课后课时(kèshí)精练
内容 总结 (nèiróng)
No
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答案 A
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答案
解析 由于 m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则 m2－n2＝2，故 m>n.又(e1e2)2＝ m2m－2 1·n2n＋2 1＝nn22＋＋12·n2n＋2 1＝n4n＋4＋2n22n＋2 1＝1＋n4＋12n2>1，所以 e1e2>1.
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的方程．
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解 (1)依题意，直线 l 的方程为：ax＋－yb＝1，即 bx－ay－ab＝0. 由原点 O 到 l 的距离是 23，得 aa2＋b b2＝acb＝ 23， 又 e＝ac＝233，所以 b＝1，a＝ 3. 故所求双曲线方程为x32－y2＝1.
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解析
9．已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若 A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________．
答案 9
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答案
解析 因为 A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为 F′(4,0)，于 是由双曲线的定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4.而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5.两式相 加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当 A，P，F′三点共线时，等号成立．由双曲线 的图象可知当点 A，P，F′共线时，满足|PF′|＋|PA|最小，易求得最小值为 |AF′|＝5，故所求最小值为 9.
||PPFF11||＋－||PPFF22||＝＝22aa12，，
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解析
∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c， ∠F1PF2＝π3，则在△PF1F2 中，由余弦定理得 4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·cosπ3，化简得 a12＋3a22＝4c2， 该式可变形为ac221＋3ca222＝4，∴e121＋e322＝4.
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解
a2＋b2＝4， (1)由题意得a92－2b42 ＝1，
解得ab22＝ ＝13，.
∴双曲线方程为 x2－y32＝1，其渐近线方程为 y＝± 3x.
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答案
y＝kx＋2， (2)由x2－y32＝1， 得(3－k2)x2－4kx－7＝0， 若 3－k2≠0，由题意得 Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0， ∴k2＝7，∴k＝± 7. 若 3－k2＝0，即 k＝± 3，则直线 l 与双曲线 C 的渐近线 y＝± 3x 平行， 此时直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点，∴k＝± 7或 k＝± 3.
3．设 P 是双曲线ax22－y92＝1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x－2y
＝0，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1 或 5
B．6
C．7
D．9
答案 C
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答案
解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为 3x－2y＝0， ∴ba＝32，∵b＝3，∴a＝2. 又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4. ∴|PF2|＝7 或|PF2|＝－1(舍去)．
Δ＝16k2＋401－k2>0， x1＋x2＝1－4kk2>0， x1·x2＝1－－1k02>0，
－
15 3 <k<
315，
即k<－1或0<k<1，
12/9/2021k<－1或k>1.
∴－ 315<k<－1.
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解析
5．已知直线 y＝12x 与双曲线x92－y42＝1 交于 A，B 两点，P 为双曲线上不 同于 A，B 的点，当直线 PA，PB 的斜率 kPA，kPB 存在时，kPA·kPB＝( )
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答案
∵以 AB 为直径的圆过原点，∴OA⊥OB. ∴x1x2＋y1y2＝0，但 y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1， 由③④知，(a2＋1)·3－－2a2＋a·3－2aa2＋1＝0. 解得 a＝±1 且满足②.
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41 A.9 B.2 C.23 D．与 P 点位置有关
答案 A
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答案
解析 设 A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)， ∴kPA·kPB＝yx－ －yx00·yx＋ ＋yx00＝yx22－ －yx2020 ＝4x92－x12－ －x420x920－1＝49xx22－－xx2020＝49.故选 A.
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பைடு நூலகம்
答案
解析
8．已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ∠F1PF2＝π3，椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则e121＋e322＝________.
答案 4
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答案
解析 如图，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长为 a2，则根据 椭圆及双曲线的定义：
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第二十四页，共三十一页。
答案
2．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率 e＝233，直线 l 过 A(a,0)，
B(0，－b)两点，原点
O
到
l
的距离是
3 2.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M，N 两点，若O→M·→ON＝－23，求直线 m
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解析
4．若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右支交于不同的两点，则 k 的
取值范围是( )
A.－
315，
15
3
C.－
315，0
B.0，
15
3
D.－
315，－1
答案 D
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第六页，共三十一页。
答案
解析 将 y＝kx＋2 代入 x2－y2＝6，得(1－k2)x2－4kx－10＝0，则
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第二十七页，共三十一页。
答案
O→M·→ ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝
631k2＋－k12－3k62k－2 1＋1＝－23，解得 k＝±12. 当 k＝±12时，判别式 Δ＝15>0，方程(*)有两个不等的实数根，满足条件． 故直线 m 方程为 y＝12x－1 或 y＝－12x－1.