库仑定律与场强计算

图49-1
图
49-4
图49-3
库仑定律与场强计算
【典型例题1】
在光滑绝缘水平面上，有一个不导电的弹簧，其两端分别与两个金属球相连，如图49-1所示，如果让两金属球带上等量异号电荷，此时弹簧的缩短量为x ，如果两金属球上的电量都慢慢减少到原来的一半，则弹簧的缩短量将（ ）
（A ）减小到x ／4， （B ）减小到大于x ／4的某一值，
（C ）减小到小于x ／4的某一值， （D ）减小到x ／2。

解答：两球带异号电，相互吸引，设弹簧原长为L ，弹簧劲度系数为K ，静电力恒量为k ，金属球带电量为q ，则每个金属球受到静电力F e 和弹力F 作用，如图49-2所示，原来有F e ＝k q 2
（L －x ）2
＝Kx ， 现将电量减半后的两球放到缩短量为x ／4处，则弹力变为F ’＝Kx ／4＝F ／4，而静电力变为F e ’＝k q 2
4（L －x /4）2
＜F e ／4，所以F e ’＜F ’，释放后金属球会向外移动一点才能平衡，则应选（C ）。

分析：本题如果直接由方程k q 2
4（L －x ’）2
＝Kx ’解出x ’是很困难的，因此采用假设法来分析。

【典型例题2】
A 、
B 、
C 为半径相同的三个金属球，其中只有一个球带电，如果让A 球分别依次与B 、C 接触后，再把A 、C 球放在相距R 处，它们间的库仑力大小为F ，若原来让C 球分别依次与B 、A 接触后，再把A 、C 球放在相距R 处，它们间的库仑力大小为F ／4，则可知原来带电的球是哪个？
解答：若原来A 球带电，电量设为Q ，则先A 球与B 球接触后，A 球带电量为Q /2，再与C 球接触后，两球带电量均为Q /4；而先让C 球与B 球接触，两球仍都不带电，再与A 球接触，两球带电量均为Q /2，这样后者的作用力要比前者大，不符合题意。

若原来B 球带电，电量设为Q ，则先A 球与B 球接触后，A 球带电量为Q /2，再与C 球接触后，两球带电量均为Q /4；而先让C 球与B 球接触，两球带电量都为Q /2，再与A 球接触，两球带电量均为Q /4，这样两次作用力应一样大，也不符合题意。

若原来C 球带电，电量设为Q ，则先A 球与B 球接触后，A 球不带电，再与C 球接触后，两球带电量均为Q /2；而先让C 球与B 球接触，两球带电量都为Q /2，再与A 球接触，两球带电量均为Q /4，这样前者作用力是后者的4倍，符合题意。

故应是C 球带电。

【典型例题3】
如图49-3所示，A 、B 是带有等量同种电荷的两小球，它们的质量都为m ，用长都为L 的绝缘轻线悬挂在同一点O ，B 球悬线竖直而被固定，A 球静止时在偏离B 球距离d 处，此时悬线拉力为T ，现保持其它条件不变，改变A 球的质量，使A 球静止时偏离B 球d /2，则此时悬线对A 球的拉力为多大？ 解答：A 球受到重力、绳子拉力和静电力的作用而平
图49-5
B 图
49-7 q q q 图49-8
图49-9
图49-6 衡，如图49-4所示，静电力与重力的合力应与绳子拉力等值而反向，由图可知，所得力三角形与几何三角形OAB 相似，由对应边成比例得：
T L ＝mg L ＝F e d ＝kq 2
d
3 ， 可见，保持其它条件不变，为使A 球静止时偏离B 球的距离变为d /2，应把质量变为8m ，则绳子拉力也就变为8T 。

【典型例题4】
如图49-5所示，电量分别为＋4Q 和－Q 的两个点
电荷相距为a ，求其连线中点A 及延长线上－Q 外与－Q 距离为a 的点B 处的电场强度，并讨论在此直线上两电荷的电场强度大小相等的点有几个，合场强为零的点有几个。

解答：两电荷在A 点和B 点产生的场强方向如图49-6所示，A 点处的合电场强度为
E A ＝E 1＋E 2＝k 4Q (a /2)2 ＋k Q (a /2)2 ＝k 16Q a 2 ＋k 4Q a 2 ＝k 20Q a
2 。

B 点处的合电场强度为
E B ＝E 1’－E 2’＝k 4Q (2a)2 －k Q a 2 ＝k Q a 2 －k Q a 2
＝0。

要两电荷产生的电场强度大小相等，只要k 4Q r A 2 ＝k Q r B
2 ，即r A ＝2r B ，所以在此直线上有两点，一点在两电荷之间，一点在－Q 的右侧；而要合场强为零，还必须两电荷产生的电场强度方向相反，所以只有－Q 右侧的一点了。

【拓展训练】
1．如图49-7所示，两绝缘细线的一端各系一个质量分别为m A 、m B
的小球A 、B ，另一端同系于O 点，线长分别为L A 、L B ，且m B ＝2m A ，L A ＝2L B ，由于两球带同种电荷，静止时两线与竖直方向的夹角分别为α和β，则（ ）
（A ）α＝β， （B ）α＜β， （C ）α＞β， （D ）无法确定。

2．如图49-8所示，三个点电荷q 1、q 2、q 3固定在一条直线上，q 2和q 3的距离为q 1与q 2的距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，则三个电荷的电量（ ）
（A ）q 1和q 2必同号，
（B ）q 1和q 3必同号，
（C ）电量绝对值之比为q 1: q 2: q 3＝9:4:36，
（D ）电量绝对值之比为q 1: q 2: q 3＝3:2:6。

3．如图49-9所示，用长为L 的绝缘轻线将质量为m 1、电量为q 1的小球A 悬挂于O 点，同时在O 点正下方距离L 处将质量为m 2、电量为q 2的另一小球B 固定，由于静电斥力作用，静止时两球相距为d ，现要使d 加
图49-11
倍，可采取的方法是（ ）
（A ）仅使q 1加倍， （B ）仅使m 1减半，
（C ）仅使q 1变为原来的1／8， （D ）仅使m 1变为原来的1／8。

4．如图49-10所示，一半径为R 的绝缘环上均匀带有电荷量为＋Q 的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P ，它与环心的距离OP ＝L ，则带电圆环在P 点的产生的场强大小为＿＿＿＿＿＿。

5．如图49-11所示，在场强为E 、方向竖直向下的匀强电场中，有两个质量均为m 的带电小球，电荷量分别为＋2q 和－q ，两小球用长为L
的绝缘细线相连，另用绝缘细线系住带正电的小球，悬挂于O 点而处于平衡状态，重力加速度为g ，细线均拉紧，则细线对悬点O 的拉力大小为＿＿＿＿＿，两球间的细线中的拉力大小为＿＿＿＿＿＿。

6．如图49-12所示，两根长均为L 的绝缘细线下端悬挂质量为m 、电荷量分别为＋q 和－q 的两小球A 和B ，处于水平向左、场强为E 的匀强电场中，使连接两球的长度也为L 的细线拉紧，并使两小球都处于静止状态，则E 的大小应满足的条件是＿＿＿＿＿＿。