届川沙中学高三第一学期数学第二次月考卷修改

2006届川沙中学高三第一学期数学第二次月考卷
一、填空题（本大题共有12个小题，每小题4分，满分共得48分）
1．若6
1010C C r =，则r= 。

2. 方程1)3(lg lg =++x x 的解=x ______.
3．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x P ,115|
，则P M I 等于 . 4． 若x arccos =
3
2π
，则x= 。

5．（理） A 、B 两点的极坐标分别为A （3，3π
）、B （2，-
6
π），则A 、B 两点的距离|AB|= 。

（文）设x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤+x
y x y y x 2121
，则目标函数y x z 36+=的最大值是 。

（南校） 9)1(x
x -
的展开式中的常数项为 .
6．已知函数)24
(
log )(3+=x
x f ，则方程4)(1
=-x f 的解=x ______.
7．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象
与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = . 8．已知==-+⋅+⋅=)2(,4)2(,12sin )(f f tgx b x a x f 那么且 。

9.对一切实数x ，不等式012
≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 。

10. 函数0]1,1[213)(x a ax x f 上存在在--+=，使)1(0)(00±≠=x x f 的取值范围是 。

11．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，
则k 的取值范围是 。

12．设函数f(x)的图象与直线x=a ，x=b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a ，b]
上的面积，已知函数y ＝sinnx 在[0，n π]上的面积为n
2（n ∈N *
）， 那么y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为34，则y ＝sin （3x-π）+1在[3π，3
4π]上的面积为 。

二、选择题
13. 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这
三项任务，不同的选法共有
（ ）
A ．1620种
B ．2520种
C ．2025种
D ．5040种
14．函数)sin()(ϕω+=x x f （x ∈R ，ω＞0，0≤ϕ＜2)π的部分图象如图，则 （ ）
A ．ω＝2π，ϕ＝4π
B ．ω＝3π,ϕ＝6π
C ．ω＝4π,ϕ＝4π
D ．ω＝4π,ϕ＝4
5π
15．设函数1(0)
()0(0)1(0)
x f x x x -<⎧⎪
==⎨⎪>⎩
，则当a b ≠时，()()2a b a b f a b ++-⋅-的值应为（ ）
（A ）a ； （B ）b ； （C ）,a b 中的较小数； （D ）,a b 中的较大数。

16．定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，
给出下列四个命题中：
(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是 ( ) (A) 1；
(B) 2；
(C) 3；
(D) 4。

上海市川沙中学2006届高三数学第二次月考答题纸
一 、填空（48分）
1.________ ,
2.______ _,
3._________ ,
4.
_________ _,
5.
_________ , 6. _________ , 7._________ , 8.
________ ,
131o y
x
9.________ _, 10.
_________ , 11. , 12.
二、选择（16分）
13._______, 14.___ ____, 15. , 16.
三、解答题
17．已知函数1cos sin 3sin 2
-+=x x x y ωωω（)0>ω周期为π2.
求：当],0[π∈x 时y 的取值范围. 解：
18．（14分）记函数()2
7
2++-
=
x x x f 的定义域为A ， ()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ，
（1）求A ： （2）若B A ⊆，求a 、b 的取值范围。

解：
19. 设函数()1
1
ax f x x -=
+，其中a R ∈ （1）解不等式()1f x ≤- （2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数。

解：
20．经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/
小时）之间有函数关系：)0(1600
39202>++=
v v v v
y
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？（精
确到01.0千辆）；
（2）为保证在该时段内车流量知道为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 解：
21．(16分已知函数f(x )=sin 2x －2sin x cos x +3cos 2
x 的图象沿x 轴向左平移m 个单位
（m ＞0）所得到函数的图象关于直线817π
=x 对称
①求m 的最小值
②证明：当21,x x ∈（-817π，-815π）时，
2
121)
()(x x x f x f --＜0
③设有不相等的实数，x 1、x 2∈（0，π）且f(x 1)= f(x 2)=1，求x 1+x 2的值 解： ∴
22．（本题满分16分）若函数()f x 对定义域中任一x 均满足()(2)2f x f a x b +-=，则函
数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称。

（1）已知函数2()x mx m
f x x ++=的图像关于点(0,1)对称，求实数m 的值；
（2）已知函数()g x 在(,0)(0,)-∞+∞U 上的图像关于点(0,1)对称，且当(0,)x ∈+∞
时，2
()1g x x ax =++，求函数()g x 在(,0)x ∈-∞上的解析式； （3）在（1）、（2）的条件下，若对实数0x <及0t >，恒有()()g x f t <，
求实数a 的取值范围。

解：
2006届川沙中学高三第一学期数学第二次月考卷解答
一、填空题（本大题共有12个小题，每小题4分，满分共得48分）
1．若6
1010C C r =，则r= 4或6 。

2. 方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __2____.
3．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧∈≥+=R x x x P ,115|，则P M I 等于 {}31|≤<-x x .
4．若x arccos =
3
2π
，则x= -
2
1 。

5．[理] A 、B 两点的极坐标分别为A （3，3π
）、B （2，-
6
π），则A 、B 两点的距离。

[文] 设y x , 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤+x
y x y y x 2121
，则目标函数y x z 36+=的最大值是 5 。

[南校] 9)1(x
x -
的展开式中的常数项为 84 .
6．已知函数)24
(
log )(3+=x
x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x ___1___. 7．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象
与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = . （注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
(①x 轴，
x 2log 3-- ②y 轴，)(log 32x -+)③原点，)(log 32x --- ④直线3
2,-=x x y
8．已知==-+⋅+⋅=)2(,4)2(,12sin )(f f tgx b x a x f 那么且__－2__。

9.对一切实数x ，不等式012≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是[-2，+∞) 。

10. 函数0]1,1[213)(x a ax x f 上存在在--+=，使)1(0)(00±≠=x x f 的取值范围是5
1
>
a 或1-<a . 11．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__13k <<_。

12．设函数f(x)的图象与直线x=a ，x=b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a ，b]
上的面积，已知函数y ＝sinnx 在[0，
n π]上的面积为n
2（n ∈N *
）， 那么y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为34，则y ＝sin （3x-π）+1在[3π，34π]上的面积为 3
2+π .
二、选择题
13. 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这
三项任务，不同的选法共有 （ B ）A ．1620种 B ．2520种 C ．2025种 D ．5040种 14．函数)sin()(ϕω+=x x f （x ∈R ，ω＞0，0≤ϕ＜2)π的部分图象如图，则 （ C ）
A ．ω＝2π，ϕ＝4π
B ．ω＝3π,ϕ＝6π
C ．ω＝4π,ϕ＝4π
D ．ω＝4π,ϕ＝4
5π
15．设函数1(0)
()0(0)1(0)
x f x x x -<⎧⎪
==⎨⎪>⎩
，则当a b ≠时，()()2a b a b f a b ++-⋅-的值应为（ D ）
（A ）a ； （B ）b ； （C ）,a b 中的较小数； （D ）,a b 中的较大数。

16．定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，
给出下列四个命题中：
(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是 ( B ) (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4。

131o y
x
三、解答题
17．已知函数1cos sin 3sin 2
-+=x x x y ωωω（)0>ω周期为π2.
求：当],0[π∈x 时y 的取值范围.
解：12sin 2
3)2cos 1(21-+-=
x x y ωω----------------4分（每个公式的应用得2分） =2
1
)62sin(--πωx --------------------------2分
因为πωπ222==T ，所以21
=ω------------------2分
21)6sin(--=πx y 因为π≤≤x 0，所以6
566π
ππ≤-≤-x -----------1分
1)6
sin(21≤-≤-π
x ---------------1分
故 2
1
1≤≤-y -------------------------2分
18．（14分）记函数()2
7
2++-
=
x x x f 的定义域为A ， ()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ，
（1）求A ： （2）若B A ⊆，求a 、b 的取值范围。

解：（1）()[)+∞⋃-∞-=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
≥++-
=,32,0230272x x x x x x A （2）()()012>+-ax b x ，由B A ⊆，得0>a ，则a
orx b x 1
2-<>
，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-=,21,b a B ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<-≤-<<01232
0a b ⎪⎩⎪⎨⎧<<≥⇒602
1b a 19. 设函数()1
1
ax f x x -=
+，其中a R ∈ （1）解不等式()1f x ≤- （2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数。

解：（1）不等式()1f x ≤-即为
()11
1011
a x ax x x +-≤-⇔≤++ 当1a <-时，不等式解集为()[),10,-∞-+∞U 当1a =-时，不等式解集为()(),11,-∞--+∞U 当1a >-时，不等式解集为(]1,0-
（2）在()0,+∞上任取12x x <，则()()()()()()
12121212121111111a x x ax ax f x f x x x x x +----=
-=++++ 12121200,10,10x x x x x x <<∴-<+>+>Q
所以要使()f x 在()0,+∞递减即()()120f x f x ->， 只要10a +<即1a <-
故当1a <-时，()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数。

20．经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/
小时）之间有函数关系：)0(1600
39202
>++=
v v v v
y （1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？（精
确到01.0千辆）；
（2）为保证在该时段内车流量知道为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 解：（1）0>v Θ 08.11380920
3
1600920=+≤++=
∴v
v y ， 其中等号成立40=⇔v
∴当汽车的平均速度为40（千米/小时）时，车流量最大为11.08（千辆/小时） （2）由题意，
101600
39202
≥++v v v ，01600892
≤+-∴v v 0)64)(25(≤--v v 6425≤≤∴v
∴为保证车流量至少为10千辆/小时，汽车的速度应控制在25至64千米/小时的范围内。

21．(16分已知函数f(x )=sin 2x －2sin x cos x +3cos 2
x 的图象沿x 轴向左平移m 个单位
（m ＞0）所得到函数的图象关于直线817π
=x 对称
①求m 的最小值
②证明：当21,x x ∈（-817π，-815π）时，
2
121)
()(x x x f x f --＜0
③设有不相等的实数，x 1、x 2∈（0，π）且f(x 1)= f(x 2)=1，求x 1+x 2的值
解：⑴f(x )=sin 2x －2sin x cos x +3cos 2x =1+2cos 2x －sin2x =2
)42cos(2++
πx ----3’
将f(x )的图象向左移动m 个单位（m ＞0）得g(x )= 2)4
22cos(2++
+π
m x
∵ 此时关于x =817π对称：2×817π
+2m+
4
π
∴ 2m=29418ππππ-=-
k k 即 m=4
92π
π-k (k ∈z) 又 ∵ m ＞0 ∴ m min =4
π
--------------6’
⑵ ∵ 815817ππ-<<-x ∴ πππ2
7
424-<+<-x
∴f(x )在（―817π，―8
15π
）是单调减函数 即x 1＜x 2 f(x 1)＞f(x 2)---9’
∴ 2
121)()(x x x f x f --＜0 (10分)
⑶ 由f(x )=1得cos 2
2)4
2(-
=+π
x ∴)(4
324
2z k k x ∈±
=+
π
ππ
∴ 2
π
π-=k x 或 4
π
π+
=k x 又 ∵ x 1、x 2 ),0(π∈且21x x ≠
∴ x 1=
4
π x 2=
2
π ∴ x 1+x 2=
4
3π
--------16分 22．（本题满分16分）
若函数()f x 对定义域中任一x 均满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称。

（1）已知函数2()x mx m
f x x
++=的图像关于点(0,1)对称，求实数m 的值；
（2）已知函数()g x 在(,0)(0,)-∞+∞U 上的图像关于点(0,1)对称，且当(0,)x ∈+∞
时，2
()1g x x ax =++，求函数()g x 在(,0)x ∈-∞上的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数0x <及0t >，恒有()()g x f t <，求实数a 的取值范围。

解：（1）由题设可得()()2f x f x +-=，解得1m =；……………4分 （2）当0x <时，2
()2()1g x g x x ax =--=-++； …………………8分 （3）由（1）得1
()1(0)f t t t t
=++>， 其最小值为(1)3f =，……11分
2
2
2()1()124
a a g x x ax x =-++=--++， ……………………………13分
①当02
a
<，即0a <时，2max ()134a g x =+<，得(a ∈-，15分 ②当
02
a
≥，即0a ≥时，max ()13g x <<，得[0,)a ∈+∞，…………17分
由①、②得()a ∈-+∞。

……………………………………………18分。