三数学第一次诊断性考试试题理清晰扫描A试题

2021届高三数学第一次诊断性考试试题理〔明晰扫描版〕新人教A
版
高2021级第一次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分HY
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．
BCBCC AADDB AB
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．
13．-4
14．2
15．450233π
ππ⎡⎫⎛⎤
⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
，
， 16．①③
三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算
步骤．
17．解：〔Ⅰ〕f (x )=a ·b =(cos2x ，1)·(1x )
x+ cos2x
=2 sin(2x+
6
π
)， ……………………………………………6分 ∴ 最小正周期22
T π
π=
=， 令2x+
6
π
=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ，
即f (x )的对称轴方程为x=
26
k ππ
+，k ∈Z ．…………………………………8分 〔Ⅱ〕当x ∈[0，
2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6
π
≤76π，
∴ 当2x+
6π=2π，即x=6π时，f (x )获得最大值f (6
π
)=2； 当2x+
6π=76π，即x=2π时，f (x )获得最小值f (2
π)=-1． 即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：〔Ⅰ〕由S 3+S 5=58，得3a 1+3d +5a 1+10d=8a 1+13d =58， ①
∵ a 1，a 3，a 7成等比数列，a 32
=a 1a 7， 即(a 1+2d )2
=a 1(a 1+6d )，整理得a 1=2d ，
代入①得d =2， a 1=4，
∴ a n =2n+2． …………………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知a 8=18，b 5·b 6+b 4·b 7=2b 5·b 6=18，解得b 5·b 6 =9． ∵ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10
=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6) =5log 3(b 5·b 6) =5log 39
=10． ……………………………………………………………………12分
19．解：〔Ⅰ〕由y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，
可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，
代入点(1，-4)，得-4=a ×1×(1-5)，解得a =1，
∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 〔Ⅱ〕h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3
-(4k -10)x +5=x 3
+2x 2
-4kx +5， 于是2()344h x x x k '=+-，
∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，
∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3
+2x 2
-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-．
令22
()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223
x x =-=，． 由下表：
可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12
-4×1+5=4，
h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=95
27
，
∴ h (x )的最大值为13，最小值为
95
27
．……………………………………12分 20．解：〔Ⅰ〕∵a sin A =(a -b )sin B +c sin C ，
结合0C π<<，得3
C =
． …………………………………………………6分
〔Ⅱ〕由 C =π-(A +B )，得sin C =sin(B +A )=sin B cos A +cos B sin A ， ∵ sin C +sin(B -A )=3sin2A ，
∴ sin B cos A +cos B sin A +sin B cos A -cos B sin A =6sin A cos A ，
整理得sin B cos A =3sin A cos A ． ………………………………………………8分 假设cos A =0，即A =
2π时，△ABC 是直角三角形，且B =6
π，
于是b =c tan B =2tan
6
π，∴ S △ABC =12bc ． ……………………10分 假设cos A ≠0，那么sin B =3sin A ，由正弦定理得b =3a ．②
联立①②，结合c =2，解得a b
∴ S △ABC =
12ab sin C =12
．
综上，△ABC ．………………………………………12分 21．解：〔Ⅰ〕当t=1时，2a -2=0，得a =1，
于是数列{a n }为首项和公比均为1的等比数列． ……………………………1分 当t ≠1时，由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1， 由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n+1=2ta n+1-t -1， 两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ， , ∴
121
n n a t
a t +=
+〔常数〕． ∴ 数列{a n }是以1为首项，
21
t
t +为公比的等比数列．………………………4分 〔Ⅱ〕∵ q = f (t )=
21t
t +，b 1=a 1=1，b n +1=2
1f (b n )= 1n n b b +，
∴
111
11n n n n
b b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以1为首项，1为公差的等差数列，于是1
n n b =， ∴ 1
n b n
=
．………………………………………………………………………8分 〔III 〕当t =
13时，由〔I 〕知a n =11
()2
n -， 于是数列{c n }为：1，-1，
12，2，2，21
()2
，-3，-3，-3，31()2，… 设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ， 当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=
(1)
2
k k +， ∴ m 62=
626319532⨯=，m 63=6364
20162
⨯=． 设S n 表示数列{c n }的前n 项和， 那么S 2021=[1+
12+21()2+…+621()2
]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62
×62×62]
显然 1+12+21()2+…+621()2=63
62
11()1221212
-=--， ∵ (2n )2
-(2n -1)2
=4n -1，
∴ -1+(-1)2
×2×2+(-1)3
×3×3+…+(-1)62
×62×62 =-1+22
-32
+42
-52
+62
-…-612
+622
=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61) =3+7+11+…+123 =
31(3123)
2
⨯+
=1953． ∴ S 2021=62
1
22
-
+1953=1955-6212． ∴ S 2021=S 2021-(c 2021+c 2021+c 2021+c 2021)
=1955-
6212-(621
2
+62+62+62) =1769-
611
2
． 即数列{c n }的前2021项之和为1769-
611
2
．…………………………………12分 22．解：〔Ⅰ〕由：1
()f x a x
'=
-， ∴由题知11
(2)22
f a '=
-=-，解得a =1． 于是11()1x
f x x x
-'=
-=
， 当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，
即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕∀x 1∈(0，+∞)，f (x 1) ≤f (1)=0，即f (x 1)的最大值为0， 由题知：对∀x 1∈(0，+∞)，∃x 2∈(-∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立， 只须f (x )max ≤g (x )max ．
∵ 22()x kx k g x x ++=2k x k x =++2k x k x ⎛
⎫=--++ ⎪-⎝⎭
≤2k -， ∴ 只须k k 22+-≥0，解得k ≥1．………………………………………10分
〔Ⅲ〕要证明2222ln 2ln 3
ln 21
234(1)
n n n n n --++
+<+(n ∈N*，n ≥2)． 只须证22222ln 22ln3
2ln 21232(1)n n n n n --++
+<+， 只须证22
22222ln 2ln 3ln 2123
2(1)
n n n n n --++
+<+． 由〔Ⅰ〕当()1x ∈+∞，
时，()0f x '<，f (x )为减函数， f (x )=ln x -x +1≤0，即ln x ≤x -1，
∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，
22222ln 11111
111(1)1
n n n n n n n n n -<=-<-=-+++， 22
2222ln 2ln3ln 23
n n +++<111221⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1
111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭
21121
1212(1)
n n n n n --=--+=++，
∴ 2222ln 2ln 3
ln 21
23
4(1)
n n n n n --++
+<+．………………………………………14分。