山东省东营市大王国华学校2018-2019学年高一数学理下学期期末试题含解析

山东省东营市大王国华学校2018-2019学年高一数学理
下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
参考答案：
C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】分别根据指数幂和对数的性质分别判断a，b，c的大小即可．
【解答】解：∵0＜0.62＜1，log20.6＜0，20.6＞1，
∴0＜a＜1，b＜0，c＞1，
∴b＜a＜c，
故选：C．
2. 设（a＞0，a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（）
A、 B、
C、 D、
参考答案：
B
3. 若，则（）
A．B． C.
D．
参考答案：
A
由条件可得，故
故得到.
4. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）
（A）(0,1) （B）(1,2) （C）(2,3)
（D）(3,4)
参考答案：
C
试题分析：由题意得，设，则，所以
，所以函数在区间有零点，即在区间方程有近似解，故选C．
5. 已知集合，则A∩B= （）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
6. 若a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b为（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
参考答案：
B
【考点】映射．
【专题】计算题．
【分析】由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，而M和N中都只有2个元
素，故 M=N，故有=0 且 a=1，由此求得a和b的值，即可得到a+b的值．
【解答】解：由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，而M和N中都只有2个元素，故 M=N，
∴=0 且 a=1．
∴b=0，a=1，∴a+b=1+0=1．
故选B．
【点评】本题主要考查映射的定义，判断 M=N，是解题的关键，属于基础题．
7. （5分）f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），则当x＜0时，f （x）=（）
A．﹣x3﹣ln（1﹣x）B．﹣x3+ln（1﹣x）C．x3﹣ln（1﹣x）D．﹣x3+ln（1﹣x）
参考答案：
C
考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：可令x＜0，则﹣x＞0，应用x＞0的表达式，求出f（﹣x），再根据奇函数的定义得，f（x）=﹣f（﹣x），化简即可．
解答：令x＜0，则﹣x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），
∴f（﹣x）=（﹣x）3+ln（1﹣x），
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣ln（1﹣x），
∴当x＜0时，f（x）=x3﹣ln（1﹣x）．
故选C．
点评：本题主要考查函数的奇偶性及应用，考查奇偶函数的解析式的求法，可通过取相反数，将未知的区间转化到已知的区间，再应用奇偶性的定义，是一道基础题．
8. 已知在区间上是增函数，则的范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
9. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
选项A中，函数与函数的定义域、对应法则相同，是同一函数；
选项B中，函数的定义域为R，的定义域为，故不是同一函数；选项C中，函数的定义域为R，的定义域为，不是同一函数；
选项D中，函数的定义域为，的定义域为，不是同一函数。

综上可得A正确，选A。

10. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 关于有如下结论：
1若，则是的整数倍；
②函数解析式可改为；
③函数图象关于对称；
④函数图象关于点对称．
其中正确的结论是．
参考答案：
②④
12. 将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最小值为．
参考答案：
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m 的最小值．
【解答】解：把函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）象向左平移m（m＞0）个单位，
可得y=cos（2x+2m+）的图象，
根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ+，k∈Z，
即m=+，则m的最小值为，
故答案为：
13. 已知函数在区间上是减函数,则与的大小关系是______________
参考答案：
略
14. 在△ABC中，则△ABC形状是______.
参考答案：
略
15. 二次函数经过（-1，0），（3,0）（2，3）三点，则其解析式为_________.
参考答案：
f(x)=-x2+2x+3
略
16.
参考答案：
30
17. 下面有五个命题：
①终边在y轴上的角的集合是 | ；
②函数是奇函数；
③的图象向右平移个单位长度可以得到的图象;
④函数的图象关于y轴对称;
其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）
参考答案：
②③
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）
如图，在△ABC中，已知，D是BC边上的一点，
（1）求△ADC的面积；
（2）求边AB的长.
参考答案：
解：（1）在中，由余弦定理得
…………………………（3分）
…………………………（5分）（2）在中，由正弦定理得：
…………………………（8分）
…………………………（10分）
19. （本小题满分12分）
设a为实数，函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）讨论f(x)的单调性；
（3）当时，讨论在区间(0,+∞)内的零点个数．
参考答案：
解：（1），因为，所以，
当时，，显然成立；……………………………………………………………………………1分
当，则有，所以.所以
.……………………………………………………2分
综上所述，的取值范围是.………………………………………………………………………3分（2）…………………………………………………4分
对于，其对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；……………………………………………………5分
对于，其对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减. ……………………………………………………6分
综上所述，在上单调递增，在上单调递减. ……………………7分（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以
.8分
(i)当时，，
令，即（）.
因为在上单调递减，所以
而在上单调递增，，所以与在无交点. 当时，，即，所以，所
以，因为，所以，即当时，有一个零点.………9分
(ii)当时，，
当时，，，而在上单调递增，
当时，.下面比较与的大小
因为
所以………………………………………………………10分
结合图象不难得当时，与有两个交点. ………………………11分
综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点. ………12分
20. 已知∆A、∆B、∆C为∆ABC的内角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2
(1)当f(A、B)取最小值时，求∆C
(2)当A+B=时，将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求参考答案：
解析：(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1
=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1
当sin2A=,sin2B=时取得最小值，
∴A=30︒或60︒，2B=60︒或120︒ C=180︒-B-A=120︒或90︒
(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-
=
=
=
21. 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。

每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。

今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．设a n、b n分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设S n、T n分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。

（1）求S n、T n，并求n年里投入的所有新公交车的总数F n；
（2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．
参考答案：
（1），，
；
（2）147．
试题分析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，通过分析可知数列是首项为、公比为的等比数列,数列是首项为、公差为的等差数列，由等比数列的前项和公式，等差数列
的前项和公式即可求出;（2）通过分析、
是关于的单调递增函数，故是关于的单调递增函数，要求满足的最小值应该是，此时应注意实际问题中取整的问题．
试题解析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列；1分
数列是首项为、公差为的等差数列，2分
所以数列的前项和，4分
数列的前项和，6分
所以经过年，该市更换的公交车总数
；7分
（2）因为、是关于的单调递增函数，9分
因此是关于的单调递增函数，10分
所以满足的最小值应该是，11分
即，解得，12分
又，所以的最小值为147．
考点：1、等差数列、等比数列的定义的灵活应用；2、等差数列、等比数列的前项和公式；3、函数的单调性；4、求最值问题．
22. （14分）已知函数f（x）=x2+2x，
（Ⅰ）若x∈，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若存在实数t，当x∈，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
考点：二次函数在闭区间上的最值；函数恒成立问题．
专题：分类讨论；函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）由f（x）的图象与性质，讨论a的取值，从而确定f（x）在上的增减性，求出f（x）的值域．
（Ⅱ）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即u（x）=x2+（2t﹣1）
x+t2+2t，在x∈恒小于0问题，考查u（x）的图象与性质，求出m的取值范围．
解答：（Ⅰ）∵f（x）=x2+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣1，
∴当﹣2＜a≤﹣1时，f（x）在上是减函数，
，
∴此时f（x）的值域为：；
当﹣1＜a≤0时，f（x）在上先减后增，
f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1，
∴此时f（x）的值域为：；
当a＞0时，f（x）在上先减后增，
，
∴此时f（x）的值域为：．
（Ⅱ）若存在实数t，当x∈，f（x+t）≤3x恒成立，
即（x+t）2+2（x+t）≤3x，
∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0；
设u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈
∵u（x）的图象是抛物线，开口向上，
∴u（x）max=max{u（1），u（m）}；
由u（x）≤0恒成立知；
化简得
； v 令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m，
则原题转化为存在t∈，使得g（t）≤0；
即当t∈时，g（t）min≤0；
∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=﹣1﹣m＜﹣2，
①当﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3时，g（t）min=g（﹣4），
∴，
解得3＜m≤8；
②当﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜≤3时，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m，
∴，
解得1＜m≤3；
综上，m的取值范围是（1，8]．
解法二，由，
∴m≤，
即=8，1＜m≤8；
即得m的取值范围（1，8]．
点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内？在区间左侧？区间右侧？从而确定函数的最值．。