高中数学 第一章 集合与函数概念 1 集合的含义课时作

课时作业(一) 集合的含义
一、选择题
1．①某班视力较好的同学；②方程x 2
－1＝0的解集；③漂亮的花儿；④空气中密度大的气体．其中能组成集合的是( )
A. ②
B. ①③
C. ②④
D. ①②④
答案：A 解析：求解这类题目要从集合元素的确定性、互异性出发．①③④不符合集合元素的确定性，故不能组成集合．
2．若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
答案：D 解析：△ABC 的三边长两两不等，故选D. 3．设不等式3－2x <0的解集为M ，下列结论正确的是( ) A. 0∈M,2∈M B. 0∉M,2∈M C. 0∈M,2∉M
D. 0∉M,2∉M
答案：B 解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是不是不等式3－2x <0的解即可．当x ＝0时，3－2x ＝3>0，所以0不属于M ，即0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1<0，所以2属于M ，即2∈M .
4．已知2a ∈A ，a 2
－a ∈A ，若集合A 中含有2个元素，则下列说法中正确的是( ) A ．a 取全体实数
B ．a 取除0以外的所有实数
C ．a 取除3以外的所有实数
D ．a 取除0和3以外的所有实数
答案：D 解析：根据集合中的元素具有互异性知，2a ≠a 2
－a ，∴a ≠0且a ≠3.故选D. 5．由a 2,
2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A. 1 B. －2 C. 6
D. 2
答案：C 解析：由题设知，a 2,2－a,4互不相等，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
≠2－a ，a 2
≠4，
2－a ≠4，
解得a ≠±2且a ≠1.
当实数a 的取值是6时，三个数分别为36，－4,4，可以构成集合，故选C.
6．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( ) A. 2
B. 2或4
C. 4
D. 0
答案：B 解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ； 若a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ； 若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B. 二、填空题
7．设集合A 是由1，－2，a 2
－1三个元素构成的集合，集合B 是由1，a 2
－3a,0三个元素构成的集合，若A ＝B ，则实数a ＝________.
答案：1 解析：由集合相等的概念，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－1＝0，
a 2
－3a ＝－2，
解得a ＝1.
8．已知集合A 由方程(x －a )(x －a ＋1)＝0的根构成，且2∈A ，则实数a ＝________. 答案：2或3 解析：由(x －a )(x －a ＋1)＝0得x ＝a 或x ＝a －1.又∵2∈A ，∴当a ＝2时，a －1＝1，集合A 中的元素为1,2，符合题意；
当a －1＝2时，a ＝3，集合A 中的元素为2,3，符合题意． 综上可知，a ＝2或a ＝3.
9．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2
－x ，则实数x 的取值范围是________．
答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪⎪
x ∈R ，且x ≠0，1，2，
1±5
2 解析：由元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ≠1，x 2
－x ≠1，
x 2－x ≠x ，
解得x ≠0,1,2，1±5
2
.
10．设a ，b ∈R ，集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有三个元素0，b a
， b ，且A ＝B ，则a ＋b ＝________.
答案：0 解析：由于B 中元素是0，b a
，b ，故a ≠0，b ≠0. 又A ＝B ，∴a ＋b ＝0.
11．由实数t ，|t |，t 2
，－t ，t 3
所构成的集合M 中最多含有________个元素． 答案：4 解析：由于|t |至少与t 和－t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素，如当t ＝－2时，t ，－t ，t 2
，t 3
互不相同，集合M 中含有4个元素．
三、解答题
12．已知集合A 是由a －2,2a 2
＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a 的值． 解：由－3∈A ，得－3＝a －2或－3＝2a 2
＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－3
2
.
当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2
＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2
＋5a ＝－3，符合题意．
∴a ＝－3
2
.
13．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋ Q 中元素的个数是多少？
解：∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 14．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2
－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x 的值．
解：(1)由集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ≠3，x 2
－2x ≠x ，
x 2－2x ≠3，
解得x ≠－1，x ≠0且x ≠3.
(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2
－2x ＝－2. 由于x 2
－2x ＝(x －1)2
－1≥－1， 所以x ＝－2. 尖子生题库
15．设S 是由满足下列条件的实数所构成的集合： ①1∉S ；②若a ∈S ，则1
1－a ∈S .
请回答下列问题：
(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； (2)求证：若a ∈S ，则1－1
a
∈S ；
(3)在集合S 中元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由． (1)解：∵2∈S,2≠1，∴
1
1－2
＝－1∈S . ∵－1∈S ，－1≠1，∴11－－1＝1
2
∈S .
∵12∈S ，12≠1，11－1
2＝2∈S . ∴集合S 中另外两个数为－1和1
2.
(2)证明：∵a ∈S ，∴1
1－a ∈S ，
∴
1
1－11－a
∈S ， 即
11－11－a ＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S (a ≠0)． 若a ＝0，则1
1－a ＝1∈S ，不合题意．
∴a ＝0∉S .∴若a ∈S ，则1－1
a
∈S .
(3)解：集合S 中的元素不能只有一个．
理由：假设集合S 中只有一个元素a ，则根据题意知a ＝11－a ，即a 2
－a ＋1＝0，此方程
无实数解，所以a ≠1
1－a
.因此集合S 中不能只有一个元素．。