弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解

平衡微 分方程
几何几学何学
几何方 程
应变与 位移的 关系
应变协 调方程 方程
物理物学理学
物理方 程
应力应 变关系
本构方 程方程
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试 验曲线
强度极限 屈服上限 屈服下限 弹性极限
残余变形
强化段 软化段
卸载 弹性变形
弹性极限 比例极限
3－1 拉伸和压缩时的应力应变曲线
屈服上限 塑性流动阶段
Tresca条件
O
1
3
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
应力空间屈服面
o
3
1
对Tresca屈服条件的评价
➢ Tresca屈服条件是主应力的线性函数，对 于主应力方向已知且不改变的问题，应用 较方便，但忽略了中间主应力的影响，且 屈服线上有角点，给数学处理带来了困难， 没有考虑平均应力对屈服的影响。
但却求不出应力i的值。只有给出0的值后， 才能求出i的值。
考虑弹性应变的本构关系
总应变偏量增量
deij deiej deipj
普朗特－罗伊
即
deij
dsij 2G
sijd
斯流本动构法方则程
展开后，为
de x
ds x 2G
sxd ,
de y
ds y 2G
s yd ,
dez
dsz 2G
szd ,
d
cos
s2
2 3
i
cos
120
s3
2 3
i
cos
240
得
de1p de2p de3p
s1
s2
s3
d
p i
cos d p
d
p i
cos
d p
120
d
p i
cos
d p
240
2 3
i
cos
2 3
i
cos
120
2 3
i
cos
240
de1p
de2p
de3p
3
d
p i
d
s1
பைடு நூலகம்
s2
s3 2 i
屈服下限
强化阶段 软化阶段 卸载
低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线
包辛格（Bauschinger）效应
➢ 具当有应强力化超性 质 着过 后 （的 塑或屈，材 性压服拉料变缩点伸随形） 的应增力加的，硬屈 服化极将限引在起一 个反方向向加上载提
高时，压而在缩相
反（方或向拉降伸低） 屈服应力 的弱化
塑性力学问题的特点
➢ 塑性力学问题有如下几个特点： (1)应力与应变之问题的关系（本构关系）是非 线性的，其非线性性质与具体材料有关； (2)应力与应变之间没有一一对应的关系，它与 加载历史有关； (3)在变形体中有弹性变形区和塑性变形区，而 在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界 线； (4)在分析问题时，需要区分是加载过程还是卸 载过程。在塑性区，在加载过程中要使用塑性 的应力应变关系，而在卸载过程中则应使用广 义的胡克定律。
➢ 若用纯剪时的屈服极限确定常数，则在单 向拉伸时两种屈服条件相差最大，用Mises 条 件 所 确 定 的 最 大 拉 应 力 比 用 Tresca 条 件 所确定的最大拉应力小13.4%。
3－5 塑性应力应变关系
➢ 在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应 变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
1
2
2
2
3
2
3
1
2
2
2 s
或 ( x y )2 ( y z )2 ( z x )2
6(
2 xy
2 yz
2 zx
)
2
2 s
或 i s
其中
i
3 2
0
3J2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
Ws
1 12G
➢ 屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它 是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。
➢ 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
特雷斯卡(Tresca)条件(1864)
米泽斯(von Mises)屈服条件(1913)
➢ 当应力强度达到一定数值时，材料进入塑 性状态。
➢ Mises条件可看成为当形变比能达到一定值 时，材料进入屈服状态。
➢ 或认为只要应力偏张量的第二不变量达到 某一数值时（或八面体剪应力）达到一定 数值时，材料进入塑性状态。
Mises屈服条件数学表达式
➢ 各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一维问题，
1678)
单向拉压
E——拉压弹性模量；
纯剪切
G——剪切弹性模量；
——泊松比
横向与纵向变形关系
➢ 广义胡克定律——对复杂应力状态，在弹性力学 假设条件下，应用叠加原理：
考虑x方向的正应变：
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加后得
产生的x方向应变：
因 此 ， Tresca 屈 服 条 件 的 屈 服 面 是 由 三 对
互相平行、垂直于 平面的平面组成的正六 角柱体表面。它与 平面的截线（屈服线）
是一个正六边形。它的外接圆半径是2k 2 / 3 （内切圆半径是 k / 2）。
平面上的屈服轨迹
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
Mises条件
➢ 考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系， 以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。
罗德（Lode）的试验结果
➢应力罗德参
数与塑性应
变增量罗德
参数相等：
d p
d
p
2 2 1 3 1 3
2d
p 2
d
p 1
d
p 3
d
p 1
d
p 3
由于
d
p
s1
2 3
i
或： 各种弹性常数之间的关系
广义胡克定律——应力偏量与应变 偏量的关系
➢ 用应力偏量与应变偏量表示
eij 1 sij 2G
➢ 用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
➢ 用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G 说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 ➢ 用3个主应力差与3个主应变差表示
以原点为中心，以静水压力m与广义剪应 力i为长短轴的椭圆。
➢ 在主应力空间，Mises屈服面为一以等倾线 为轴的正圆柱体表面。
Mises屈服条件的几何表示(屈服面)
2
Mises条件
平面上的屈服轨迹
外切Tresca条件
O
3
1
内接Tresca条件
Mises屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
➢ 在莱维－米泽斯理论中，包括了如下一些假设： (1) 应变偏量增量与应力偏量成比例； (2) 材料是不可压缩的； (3) 材料是理想刚塑性的；
(4) 材料满足米泽斯屈服条件，即i = s。
➢ 在莱维－米泽斯理论中，若已知三个正应 力的值，便可确定deip（i = 1, 2 3）之间的 比值，但还不能确定各应变偏量的具体数 值。如果给出deip的值，则可求出si的值，
如果s+s =2s，则称为理想包辛格效应
名义应力与真实应力
➢ 在体积不可压缩的假设前提下
荷载
➢ 拉伸（压缩）时的名义应力 P
A0
初始截面积
➢ 拉伸时的真实应力
➢ 压缩时的真实应力
T
P A
(1 )
变形后截面积
T
P A
(1 )
3－2 弹塑性力学中常用的简化力学 模型
➢理想弹塑性
模型：
➢ 当最大剪应力达到材料的某一定值时，材料就开 始屈服，进入塑性状态。表示为
max = k ➢ 当 1 > 2 > 3 时可写作
1 - 2 = 2k
➢ 在主应力的次序未知的情况下，Tresca屈服条件应
表示为：
1
2
2k
2 3 2k
3
1
2k
➢ 上式中至少一个等式成立时，材料就开始进入塑 性变形。
d的物理意义
➢ d为比例系数，它在塑性变形过程中，随 着dip和i比值的变化而变化，但在变形的
某一瞬间，应变偏量增量的每一分量与相
对应的应力偏量分量的比值都相同为d。
➢ 对数于d理又想可塑以性写材成料，i = s，因此，比例系
d
3
d
p i
,
d
deipj
3
d
p i
2 s
sij 2 i
莱维－米泽 斯本流构动方法程则
即 同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的 应力与应变的关系，称为广义 Hooke定律。也称为弹性问题 物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
➢ 体积应变与体积弹性模量
令： 则：
m称为平均应力; q 称为体积应变
➢广义胡克定律的其他表示形式
物理方程：
物理方程：
➢用应变表示应力：
2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3
说明， =，=
3－4 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
➢ 塑性变形——当作用在物体上的外力卸去 后，物体中没有完全恢复的那部分永久变 形称为塑性变形。
➢ 塑性力学——研究塑性变形和作用力之间 的关系以及在塑性变形后物体内部应力分 布规律的学科称为塑性力学。
xy
d xy
G
2 xyd
d
yz
d yz
G
2 yzd
d z x
d z x
G
2 zxd
普朗特－罗伊斯（L. Prandtl－A. Reuss）本构方程
➢ 普朗特－罗伊斯经过推导，将比例系数d用变形
比能dW表示，即
d
dW 2k 2
3dW
2
2 i
普朗特－罗伊 斯本构方程
得
de x
ds x 2G
3dW
2
2 i
sx ,
d xy
d xy
G
3dW
2 i
xy
de y
ds y 2G
3dW
2
2 i
sy,
d
yz
d yz
G
3dW
2 i
yz
dez
dsz 2G
3dW
2
2 i
sz ,
d z x
d z x
G
3dW
2 i
zx
增量理论的基本方程及边值问题的提法
设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的ij、ij、ui，
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca条件与Mises条件的比较
Tresca条件与Mises条件的比较
➢ 两种屈服条件的差别与确定常数的方法有 关。
➢ 若用单向拉伸时的屈服极限确定常数，则 在纯剪应力状态下两种屈服条件相差最大， Mises条件所确定的最大剪应力比Tresca条 件所确定的最大剪应力大15. 5%。
Tresca屈服条件参数
➢ 常数k由试验确定。如由单拉试验，一般取
k = s/2 (有时取k = s/ )3。如由纯剪切试验， k = s。因此，按照Tresca屈服条件，材料 的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在s = s/2。
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
➢ 在三维应力空间中，1 - 2 = 2k 是一对与 平面的法线(等倾线)以及3轴平行的平面。
求在此基础上，给定体力增量dfi、ST上面力增量 dfi 、Su上位
移增量 dui 时，物体内部各点的应力增量dij、应变增量dij 、
位移增量dui。
确定这些增量的基本方程组有：
1） d ij,i df j 0
2）
d ij
1 2
dui, j duj,i
3）本构关系（理想弹塑性材料）
A
B
s
O
E
E
s
s
e e
➢线性强化弹 塑性模型：
A
s
E
O
s
E
E1
(
s)s
e e
B E1
➢ 线性强化刚塑性
A
模型：
s
O
E s s
B
➢ 理想刚塑性模型：
A
s
O
s
B
➢ 幂强化模型：
A n
n = 1 n=1/2 n=1/3
n=0
O =1
3－3 广义胡克定律
第3章 弹性与塑性应力应变关系
第3章 弹性与塑性应力应变关系
1. 拉伸和压缩时的应力应变曲线 2. 弹塑性力学中常用的简化力学模型 3. 广义胡克定律 4. 特雷斯卡和米泽斯屈服条件 5. 塑性应力应变关系 6. 德鲁克公设和伊柳辛公设 7. 塑性本构关系的内在联系
弹塑弹性塑力性学力学
静力静学力学
➢ 在塑性变形的过程中，比例系数d不仅与
材料的屈服极限有关，而且还和变形程度
有关。
莱维－米泽斯塑性本构关系的基本 假设
➢ 圣维南认为，在材料达到塑性状态后，应力和应 变没有一一对应的关系，因而提出，在塑性变形 的过程中，应力和应变的关系式应以增量形式给 出，而塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴是 重合的。这个见解为塑性本构关系的建立奠定了 基础，塑性力学中的增量理论就是在这一假设的 前提下发展起来的。
1
2 2 2
3 2 3
1 2
应力偏量张量第二不变量
J2
1 6
( 1
2 )2
( 2
3 )2
( 3
1 )2
八面体（等倾面）上的剪应力
0
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
Mises屈服条件几何表示
➢ 在 平面上，Mises屈服曲线为一圆。 ➢ 在3 = 0的平面上，Mises屈服曲线为一个