高中数学必修一1.2 集合间的基本关系巩固练习(人教A版,含解析)(82)

1.2 集合间的基本关系
一、单选题
1．已知集合{}|1A x x =≥，集合{}|33,B x a x a a R =-≤≤+∈.若B A ⊆，则实数a 的取值范围（ ）.
A ．(],2-∞
B ．[]0,2
C ．[]04，
D ．[]22-，
2．已知集合{}
234A x x x =<+，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-
B ．4a ≤
C ．1a ≥-
D ．4a ≥ 3．设集合{|10}P m m =-<≤，2{|440}Q m R mx mx =∈+-< 对任意实数x 恒成立，则下列关系中
成立的是（ ） A ．P 是Q 的真子集
B ．Q 是P 的真子集
C ．P Q =
D ．P 与Q 无关
4．已知集合A ＝1,2}，B ＝x|ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）．
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
6．集合{}0,2,3A =，满足{}0M A ⊆⊆的集合M 共有（ ） A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个 7．下列五个写法：①{0}{1,2,3}∈；②{0}∅⊆；③{0,1,2}{1,2,0}⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅，其中
错误写法的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知集合A =x x 是菱形}，B =x x 是正方形}，C =x x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是（ ）
A ．A
B
C ⊆⊆ B ．B A C ⊆⊆ C ．A B C ⊆
D ．A B C =⊆ 9．已知全集U =R ，{}{}29,24A x x B x x =<=-<<，则()R A B 等于（ ）
A ．{}32x x -<<-
B ．{}34x x <<
C ．{}|23x x -<<
D ．{}32x x -<≤-
10．已知集合{|12}A x x =<<，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B A =，则实数a 的取值范围是
A ．(－∞，－1]
B ．(－∞，－1)
C ．(－1，＋∞)
D ．[－1，＋∞)
二、填空题 1．已知集合{}|23A x x =-≤≤，{}|B x x m =≥，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为___________.
2．集合{}|20M x N x =∈-≤≤的子集个数为__________．
3．已知集合{1}A =，2{},3a a B +=，若A B ⊆，则实数a 的值为___________.
4．{}1,2,3,4U =，非空集合A ，B 是U 的子集，且x A ∃∈，使得y B ∀∈都有x y >，则满足条件的集合对(),A B 共___________对.
5．设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||A B k =并且A B S =，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为________
三、解答题
1．已知集合
.
（1）若集合A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个集合A 写出来.
2．集合[]34,2,4x A y y x x ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，{}|1B x x m =+≥. （1）若A B ⊆，求m 的取值范围；
（2）设命题p ：a A ∈，命题q ：函数()241f x x ax =-+在[]3,5上为减函数.若p q ∧为真，求a 的
取值范围.
3．已知21A x
x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，{|21}B x a x a =<<-，a R ∈，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围.
4．已知集合A ＝x|x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝x|x<0}，若A ⊆B ，求实数m 的取值集合．
5．已知全集U =R ，集合{}11A x x =-<<，{}248x B x =<<.
（1）求()U C A B ⋂；
（2）若{}427C x a x a =-<<-，且A C C ⋂=，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1．A
解析：先判断集合B 是集合A 的子集，再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求实数a 的取值范围即可.
详解：
解：因为B A ⊆，所以集合B 是集合A 的子集，
当B =∅时，则33a a ->+，解得0a <，满足题意；
当B ≠∅时，则33a a -≤+且31a -≥，解得：02a ≤≤，
综上所述：实数a 的取值范围为(],2-∞
故选：A.
点睛：
本题考查利用集合的包含关系求参数的范围，还考查了分类讨论的数学思想，是基础题.
2．D
解析：先求出集合A ，再根据包含关系即可列出不等式求解.
详解：
{}
{}23414A x x x x x =<+=-<<，A B ⊆， 4a ∴≥.
故选：D.
点睛：
本题考查集合的包含关系求参数范围，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.
3．A
解析：根据实数m 分类讨论，求得集合{|0}Q m R m =∈≤，再结合集合间的关系，即可求解. 详解：
由题意，由2{|440Q m R mx mx =∈+-<对任意的x 恒成立}，
对m 分类：
①当0m =时，40-<恒成立，
②当0m <时，则2(4)4(4)0m m ∆=-⨯⨯-<，解得0m <，
综上可得0m ≤，即{|0}Q m R m =∈≤，所以P 是Q 的真子集.
故选：A.
4．D
解析：试题分析：由B=x|ax ﹣2=0}，且B ⊆A ，故讨论B 的可能性，从而求a ．
解：∵B=x|ax﹣2=0}，且B ⊆A ，
∴若B=∅，即a=0时，成立；
若B=1}，则a=2，成立；
若B=2}，则a=1，成立；
故a 的值有0，1，2；
故不可能是3；
故选D ．
考点：集合的包含关系判断及应用．
5．C
解析：∵{}{}1,2,31,2,3,4A =，
∴{}4A =；{}1,4；{}2,4；{}3,4；{}1,2,4；{}1,3,4；{}2,3,4；{}1,2,3,4，
则集合A 的个数为8，
选C.
6．B
解析：列举出符合条件的集合M 即可.
详解：
根据题意{}{}00,2,3M ⊆⊆，满足题意的集合M 为{}0、{}0,2、{}0,3、{}0,2,3，共4个. 故选：B ．
点睛：
本题考查利用集合的包含关系求集合个数，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
7．C
解析：利用元素与集合的关系以及集合与集合之间的关系，便可得出答案.
详解：
对①：{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误.
对②：∅是空集，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.
对③：{0,1,2}是集合，{1,2,0}也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确. 对④：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以0∉∅，故④错误.
对⑤：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误. 故选：C.
点睛：
本题是一道基础题目，主要考查集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系.
8．B
解析：由菱形，正方形，平行四边形的定义来判断相互包含关系即可得出答案.
详解：
由一对邻边相等的平行四边形是菱形，可得菱形是特殊的平行四边形，故A C ⊆；又因一个角为直角的菱形是正方形，即得正方形是特殊的菱形，故B A ⊆，所以A 、B 、C 之间关系为：B A C ⊆⊆.
故选：B.
点睛：
本题考查了集合之间的关系判断，属于基础题.
9．D
解析：先求出集合A 和集合B 的补集，再求()R A B
详解： 解：因为{}{}29,24A x x B x x =<=-<<， 所以{}{33,2U A x x B x x =-<<=≤-或}4x ≥， 所以()R A B ={}32x x -<≤-
故选：D
点睛：
此题考查集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，属于基础题.
10．A
解析：根据指数函数的性质求出集合B ，根据交集的运算和条件求出实数a 的取值范围． 详解：
解：由22a a x --<得a a x <--，解得2x a <-，
所以{|2}B x x a =<-，
∵A B A =，
∴A B ⊆，
∴22a -≥，
解得1a ≤-，
故选A ．
点睛：
本题考查指数函数的性质，以及交集的运算，属于基础题．
二、填空题
1．2m ≤-
解析：根据A B ⊆，列出不等式，解得即可得出答案.
详解：
解：因为集合{}|23A x x =-≤≤，{}|B x x m =≥，若A B ⊆，
所以2m ≤-.
故答案为：2m ≤-.
2．2
解析：因为集合{}{}|200M x N x =∈-≤≤=，所以集合M 子集有两个：空集与{}0，故答案为2.
3．1
解析：由A B ⊆可知1B ∈，即可求出.
详解：
A B ⊆，1B ∴∈，
若1a =，则{}1,4B =，满足题意；
若231a +=，无解，
综上，1a =.
故答案为：1.
点睛：
本题考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.
4．70
解析：根据题意，按照集合A 中元素的最大值分3种情况讨论，求出每种情况下集合对数量，由加法原理计算可得答案.
详解：
解：根据题意，分3种情况讨论：
①A 中最大的元素为2，此时{}12A =，
或{}2，共有2种情况，B 只有1种情况，则此时集合对(),A B 有212⨯=对；
②A 中最大的元素为3，此时{}123A =，
，或{}23，或{}13，或{}3，A 有4种情况，B 有4-1=3种情况， 则此时集合对(),A B 有4312⨯=对；
③A 中最大的元素为4，此时{}1234A =，
，，或{}234，，或{}134，，或{}124，，或{}34，或{}24，或{}14，或{}4，A 有8种情况，B 有8-1=7种情况， 则此时集合对(),A B 有8756⨯=对；
则符合题意为集合对(),A B 有2+12+56 =70对，
故答案为：70.
点睛：
本题考查集合的子集，集合间的关系，属于较难题.
5．2k n k n C -⋅
解析：当||A B k =时，共有k n C 种情况，当A B S =时，共有2n k -种情况，由此可计算得到答案.
详解：
由题意，当||A B k =时，即A B 中有k 个元素，
所以共有k
n C 种情况，
此时集合S 中剩下n k -个元素，其子集个数为2n k -个，
即A B S =共有2n k -种情况，
所以S 的“k —覆盖”个数为2k n k n C -⋅.
故答案为：2k n k n C -⋅
点睛：
本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
三、解答题
1．（1）（2），或， 解析：(1)由题意得出方程无解，然后由解得即可得出答案； (2)由题意得出方程有一个解或有两个相等的实数解，然后分和
两种情况分别求解即可得出实数，进而得出集合A.
详解：
解析（1）要使集合A 为空集，则方程
无实数根， 当时，得不满足题意；则有解得.
故a 的取值范围是
. （2）当时，方程为，解得为一个解满足题意，此时； 当
时，方程为一元二次方程，此时集合A 中只有一个元素的条件是，解得，此时，则得
. 综上可得：时，；时，. 点睛：
本题考查了由集合中元素的个数求参数的问题，考查了分类讨论的思想，考查了计算能力，属于一般难度的题.
2．（1）0m ≥；（2）∅.
解析：（1）由于A B ⊆，根据子集的定义，即可求出m 的取值范围；
（2）根据p q ∧为真，得出p 真且q 真，分别求出命题p 和命题q 对应的a 的范围，取交集后，即可得出a 的取值范围.
详解：
解：由题意得，集合[]1,2A =，{}|1B x x m =≥-，
（1）∵A B ⊆，
∴11m -≤，则0m ≥；
（2）由题可知，∵p q ∧为真，∴p 真且q 真，
命题p ：[]1,2a ∈，
命题q ：函数()241f x x ax =-+在[]3,5上为减函数，
则抛物线对称轴大于等于5，即：5252
a a ≥⇒≥， 则1252a a ≤≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：a ∈∅.
所以a 的取值范围为∅.
点睛：
本题考查根据集合间的关系求参数范围，以及根据复合命题的真假性判断命题真假，进而求参数范围.
3．（1）1a ≤； （2）32
a ≤.
解析：“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件等价于B A ⊆，化简集合A ，讨论B 是否为空集，利用包含关系列不等式求解即可求a 的取值范围.
详解：
A {x |0x 2}=<< 因为”x∈A”是”x∈B”的必要条件
所以B A ⊆，
（1）当B=φ时，B A ⊆ 则a≥2a -1所以1a ≤
（2）当B≠φ时，则210212a a a a <-⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩
所以1<a≤32, 综上所述，a≤32.
点睛：
判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
4．3{|3}2m m -<<
解析：由A ⊆B 讨论A 是否是空集，从而求实数m 的取值集合．
详解：
∵A ⊆B ，
∴当A ＝∅时，即方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0无实根，
故Δ＝16m 2－8(m ＋3)<0，解得－1<m<32 .
当A≠∅时，方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的根为负，
则121231020400260m m x x m x x m ⎧≥≤-⎪∆≥⎧⎪⎪+<⇒<⎨⎨⎪⎪>+>⎩⎪⎩或 ，则31203m m m m ⎧≥≤-⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩
或⇒⇒－3<m≤－1. 综上，实数m 的取值集合是3{|3}2m m -<<． 点睛：
本题考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
5．(1)31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；(2)(],4-∞. 解析：试题分析：
(1)由题意可得(][)U C ,11,A =-∞-⋃+∞.13,22B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则()U 3C 1,2A B ⎡⎤⋂=⎢⎥⎣⎦； (2)分类讨论C =∅和C ≠∅两种情况可得实数a 的取值范围是(],4-∞. 试题解析：
（1）因为()1,1A =-，U=R ，所以(][)U C ,11,A =-∞-⋃+∞. 因为{}13
248,22x B x ⎡⎤=<<=⎢⎥⎣⎦， 所以()U 3C 1,2A B ⎡⎤
⋂=⎢⎥⎣⎦
； （2）因为A C C ⋂=，所以C A ⊆. 当C =∅时，427a a -≥-，所以3a ≤；
当C ≠∅时， 只需27441271a a a a ->-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，解得34a <≤， 所以实数a 的取值范围(],4-∞.。