5.2.1三角函数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习

三角函数的概念同步练习一、选择题1. 若点P 坐标为(cos2114°,sin2114°)，则点P 在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若sinθ>0,cosθ<0，则θ是第( )象限角．A. 一B. 二C. 三D. 四3. 已知点P(1,m)(m >0)是角α终边上一点，且cosα=35，则m =( )A. 13B. 43C. 23D. 254. 若α为第四象限角，则( )A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<05. 已知角α的终边经过点P(5,12)，那么sinα的值是A. 512B. 125C. 513D. 12136. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边与x 轴正半轴重合，终边过点(−√2,y)，且sinα=√144，则cos (α+π4)=( )A. 1−√74B. −1+√74C. √7−14D. 1+√747. 若角α的终边过点P(3,−4)，则sin2α的值为( )A. 1225B. −1225C. 2425D. −24258. 设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边上一点P 绕原点顺时针旋转π2到达点Q (4,3)的位置，则sinα=A. 45B. 35C. −35D. −45第10页，共10页9. 设α∈(−π,π)，且cosα=−12，则α=( )A. −2π3或2π3B. −π3或π3C. −π3或2π3D. −2π3或π310. 已知角θ的终边经过点(−1,−3)，则sin θ+2cos θ3sin θ−4cos θ=( )A. 1B. 12C. −12D. −111. 意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作—《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：AB =6.9 cm ，BC =7.1 cm ，AC =12.6 cm ，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间( )A. (π6,π4)B. (π4,π3)C. (π3,5π12)D. (5π12,π2)12. 若sin θ·cos θ>0，sin θ+cos θ<0，则θ在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题13. △ABC 中，若角A ，B ，C 成等差数列，则acb 2sinAsinC =______．14.如图所示，角α的终边与单位圆交于第二象限的点A(−45,35 )，则2cosα−sinα=______．15.9.已知点P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________；16.8.已知点P(t，√5)(t≠0)是角α其终边上一点，若cosα=√2t4，则sinα=______三、解答题17.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点P(m,2√2)，且cosα=−13．(1)求m的值；(2)求cos2α−sin2α+2sinα⋅cosα的值．18.已知α∈(π2,π)，且sinα=35．(1)求tan(α−π4)的值；(2)求sin(α2+2019π)的值．第10页，共10页19. 12.(1)已知角α的终边经过点P (4，−3)，求2sinα+cosα的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，−3a)(a ≠0)，求2sinα+cosα的值； (3)已知角α的终边上一点P (m ，−√3)(m ≠0)，且cosα=√2m 4，求出sinα和tanα．20. 如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AC =√3DC ．(1)若∠BAD =60°，求∠ADC 的大小； (2)若BD =2DC ，且AB =√6，求AD 的长．答案和解析1.【答案】D【解答】解：∵cos2114°=cos(5×360°+314°)=cos314°，sin2114°=sin(5×360°+314°)=sin314°，而314°角的终边在第四象限，∴cos314°>0，sin314°<0，所以点P在第四象限，故选：D．2.【答案】B【解答】解：∵sinθ>0，∴θ为第一、二象限角，又cosθ<0，∴θ为第二、三象限角；∴综上可得：θ为第二象限角．故选B．3.【答案】B【解析】解：由三角函数的定义可得cosα=√1+m2=35，解得m=±43，又m>0，∴m=43，4.【答案】D【解答】解：α为第四象限角，则−π2+2kπ<α<2kπ，k∈Z，则−π+4kπ<2α<4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α<0，故选：D．5.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P(5,12)，x=5，y=12.r=13，则sinα=yr =1213．6.【答案】B 【解答】解：∵sinα=y√2+y2=√144，∴y=√14，，．故选B．7.【答案】D【解答】解：角α终边经过点P(−3,4)，则r=|OP|=5，根据任意角的三角函数的定义得，则．故选D．8.【答案】A【解答】解：根据题意可得α为第二象限的角，由三角函数的定义可得，所以sinα=√1−cos2α=45，故选A．9.【答案】A第10页，共10页【解析】解：因为α∈(−π,π)，且cosα=−12，则α=−2π3或2π3．故选：A．10.【答案】A【解答】解：由题知tanθ=3，则sinθ+2cosθ3sinθ−4cosθ=(sin θ+2cos θ)·1cos θ(3sin θ−4cos θ)·1cos θ=tanθ+23tanθ−4=1．故选A．11.【答案】B【解答】解：取AB=BC≈7，设∠ABC=2θ．则sinθ≈6.37=0.9，，，，，∴θ∈(π3,3π8)，2θ∈(2π3,3π4)．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则α+2θ=π，∴α∈(π4,π3 )．故选：B．12.【答案】C【解答】解：因为sinθ·cosθ>0，且sinθ+cosθ<0，所以sinθ<0，cosθ<0，θ为第三象限角．13.【答案】43【解答】解：∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，∵由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=2R，∴acb2sinAsinC=2RsinA⋅2RsinC(2RsinB)2sinAsinC=1sin2B =(√32)=43．故答案为：43．14.【答案】【解析】解：由三角函数的定义得，sinα=35，cosα=−45，故2cosα−sinα=−85−35=−115．故答案为：−115．15.【答案】7π4【解答】解：由点P(sin3π4,cos3π4)，即P(√22,−√22)，点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为7π4．故答案为7π4．16.【答案】√104【解答】解：∵|OP|=√t2+5，由cosα=√t2+5=√2t4，解得t=±√3．∴sinα=√5√3+5=√104，故答案为√104．17.【答案】解：(1)因为已知角α的终边经过点P(m,2√2)，且cosα=−13，所以有√m2+8=−13，求得m=−1；(2)由(1)可得，tanα=−2√2，第10页，共10页原式=cos2α−sin2α+2sinαcosαcosα+sinα=1−tan2α+2tanα1+tanα=−7−4√29．18.【答案】解：(1)因为α∈(π2,π)，且sinα=35．所以：cosα=−√1−sin2α=−45；∴tanα=−34；∴tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=−34−11+(−34)×1=−7；(2)因为α∈(π2,π)，∴α2∈(π4,π2)；又cosα=−45=1−2sin2α2⇒sinα2=3√1010；∴sin(α2+2019π)=−sinα2=−3√1010．19.【答案】解：(1)∵r=√x2+y2=5，∴sinα=yr =−35，cosα=xr=45，∴2sinα+cosα=−65+45=−25．(2)∵r=√x2+y2=5|a|，∴当a>0时，r=5a，∴sinα=−3a5a =−35，cosα=45，∴2sinα+cosα=−25；当a<0时，r=−5a，∴sinα=−3a−5a =35，cosα=−45．∴2sinα+cosα=25．(3)由题设知x=m，y=−√3，∴r 2=|OP| 2=(−√3) 2+m 2(O为原点)，r=√3+m2．所以cosα=mr =√2m4，∴r=√3+m2=2√2，即3+m 2=8，解得m=±√5．第10页，共10页当m =√5 时，cosα= √104 ，sinα=− √64，tanα=sinαcosα=−√155当m =−√5 时，cosα=− √10 4 ，sinα=− √64，tanα=sinαcosα=√15520.【答案】解：(1)∵∠BAD =60°，∠BAC =90°，∴∠DAC =30°，在△ADC 中，由正弦定理可得：DCsin∠DAC =ACsin∠ADC ， ∴sin∠ADC =AC DCsin∠DAC =√32， ∴∠ADC =120°，或60°， 又∠BAD =60°， ∴∠ADC =120°； (2)∵BD =2DC ， ∴BC =3DC ，在△ABC 中，由勾股定理可得：BC 2=AB 2+AC 2，可得：9DC 2=6+3DC 2， ∴DC =1，BD =2，AC =√3， 令∠ADB =θ，由余弦定理：在△ADB 中，AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BD ⋅cosθ， 在△ADC 中，AC 2=AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos(π−θ)，可得：{6=AD 2+4−4ADcosθ3=AD 2+1+2ADcosθ,∴解得：AD 2=2，可得：AD =√2．。