2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：2.2.3 椭圆的参数方程

2．3　椭圆的参数方程
1．椭圆的参数方程
(1)椭圆的中心在原点
标准方程为＋＝1，其参数方程为Error!(φ为参数)．
x 2a 2y 2
b 2参数φ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正
□03 半轴的夹角．
(2)
椭圆方程不是标准形式
其方程也可表示为参数方程的形式，如
＋＝1(a ＞b ＞0)，参
(x －x 0)2
a 2(y －y 0)2
b 2数方程可表示为Error!(φ为参数)．
2．以AP 的斜率k 为参数的椭圆参数方程为
Error!(k 为参数)
．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＋＝1的参数方程为Error!(φ为参数)．( )x 29y 216(2)Error!(φ为参数)的普通方程为＋＝1．( )
x 216y 225(3)椭圆Error!(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则(0，b )对应的θ＝．( )π2
答案　(1)√　(2)√　(3)√
2．做一做
(1)椭圆Error!(φ为参数)的离心率为( )
A ．
B ．
C ．
D ．45353415
答案　B
解析　由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，
∴c 2＝9，c ＝3，e ＝．
35(2)椭圆Error!(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝(
)A ．π B ． C ．2π D ．π23π2
答案　A
解析　∵点(－a ，0)中x ＝－a ，
∴－a ＝a cos θ，∴cos θ＝－1．∴θ＝π．
(3)参数方程Error!(φ为参数)的焦点坐标为________．
答案　(5，0)，(－5，0)
77解析　Error!(φ为参数)的普通方程为＋＝1，
x 2162y 2
92∴a ＝16，b ＝9，c ＝5．
7∴焦点坐标为(5，0)，(－5，0)．
77(4)已知椭圆的参数方程为Error!(t 为参数)，点M ，N 在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN 的斜率为________．
π3π
6答案　－2
解析　当t ＝时，Error!
π
3即M (1，2)，同理N (，2)．33k MN ＝＝－2．23－2
1－3
探究 椭圆的参数方程的应用：求最值
1
例1　已知实数x ，y 满足＋＝1，
x 225y 216求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值．
解　椭圆＋＝1的参数方程为Error!(φ为参数)．
x 225y 216代入目标函数得
z ＝5cos φ－8sin φ＝cos(φ＋φ0)
52＋82＝cos(φ＋φ0)．89(tan φ0＝8
5)所以目标函数z min ＝－，z max ＝．
8989 利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：
(1)求出椭圆的参数方程；
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；
(3)借助三角函数的知识求最值．
【跟踪训练1】　已知椭圆＋＝1，点A 的坐标为(3，0)．在椭圆上找一x 225y 2
16点P ，使点P 与点A 的距离最大．
解　椭圆的参数方程为Error!(θ为参数)．
设P (5cos θ，4sin θ)，则
|PA |＝(5cos θ－3)2＋(4sin θ)2
＝9cos2θ－30cos θ＋25＝＝|3cos θ－5|≤8，
(3cos θ－5)2当cos θ＝－1时，|PA |最大．
此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5，0)．
探究 椭圆参数方程的应用：求轨迹方程
2
例2　已知A ，B 分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆x 236y 29上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．
解　由题意知A (6，0)，B (0，3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得
Error!即Error!
消去参数θ得到＋(y －1)2＝1．
(x －2)24由条件可知，A ，B 两点坐标已知，点C 在椭圆上，故可设出点C 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．
本例的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
【跟踪训练2】　已知椭圆方程是＋＝1，点A (6，6)，P 是椭圆上一动x 216y 29点，求线段PA 中点Q 的轨迹方程．
解　设P (4cos θ，3sin θ)，Q (x ，y )，则有
Error!即Error!(θ为参数)．
∴9(x －3)2＋16(y －3)2＝36，即为所求．
探究 椭圆参数方程的应用：证明等式
3或求最值
例3　已知椭圆＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的x 24连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．
证明　设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1)．
则MB 1的方程：y ＋1＝·x ，
sin φ＋1
2cos φ令y ＝0，则x ＝，即|OP |＝．2cos φ
sin φ＋1|2cos φ1＋sin φ|MB 2的方程：y －1＝·x ，
sin φ－1
2cos φ令y ＝0，则x ＝．
2cos φ
1－sin φ∴|OQ |＝．
|2cos φ1－sin φ|∴|OP |·|OQ |＝·＝4．
|2cos φ1＋sin φ||2cos φ1－sin φ|
即|OP |·|OQ |＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．
【跟踪训练3】　曲线Error!(a >b >0)上一点M 与两焦点F 1，F 2所成角为∠F 1MF 2＝α．
求证：△F 1MF 2的面积为b 2tan ．
α2证明　∵M 在椭圆上，
∴由椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，两边平方，
得|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝4a 2．
在△F 1MF 2中，由余弦定理，得
|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos α＝|F 1F 2|2＝4c 2．
由两式，得|MF 1||MF 2|＝．
b 2
cos2α2
故S △F 1MF 2＝|MF 1||MF 2|sin α＝b 2tan ．
12α21．利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤
(1)求出椭圆的参数方程；
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；
(3)借助三角函数的知识求最值．
2．利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用
sin 2θ＋cos 2θ＝1进行消参，解决求最值、轨迹定值问题体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
1．已知椭圆的参数方程为Error!(θ为参数)，若点A 在椭圆上，且其对应的
参数θ＝，则直线OA (O 是原点)的斜率是( )
π6A ． B ．2 C ． D ．333223
3
答案　D
解析　把θ＝代入参数方程，得Error!即点A 的坐标为(，2)，故直线OA
π63的斜率k ＝＝．
2323
32．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是( )
A ．Error!(φ为参数)
B ．Error!(φ为参数)
C ．Error!(φ为参数)
D ．Error!(φ为参数)
答案　B
解析　把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为标准方程得＋＝1，故其参x 24y 2
9数方程为Error!(φ为参数)．
3．椭圆Error!(θ为参数)的一个焦点坐标为( )
A ．
B ．
C ．
D ．(22，0)(0，22)(32，0)(0，32
)答案　C 解析　椭圆的普通方程为x 2＋(2y )2＝1，即＋＝1．
x 21y 2
14c 2＝a 2－b 2＝1－＝，焦点为
．故选C ．1434(±32，0)4．参数方程Error!(θ为参数)表示的曲线是( )
A ．以(±，0)为焦点的椭圆
7B ．以(±4，0)为焦点的椭圆
C ．离心率为的椭圆
7
5D ．离心率为的椭圆
3
5答案　A
解析　Error!⇒Error!平方相加得＋＝1，c 2＝16－9＝7，所以c ＝，所x 2
16y 297以焦点为(±，0)．故选A ．
75．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：Error!(t 为参数)过椭圆C ：Error!(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．
答案　3
解析　先将参数方程化为普通方程，直线l ：Error!
消去参数t 后得y ＝x －a ．椭圆C ：Error!
消去参数φ后得＋＝1．
x 29y 2
4又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3．
A 级：基础巩固练
一、选择题
1．椭圆Error!(φ为参数)的长轴长为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
答案　D
解析　椭圆化为普通方程为＋＝1，∴a ＝3，长轴长2a ＝6．
x 24y 292．椭圆Error!(φ为参数)的离心率为( )
A ．
B ．
C ．
D ．23525332
答案　C
解析　椭圆化为普通方程为
＋＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝．∴e ＝＝，故选C ．
x 29y 245c a 5
33．若φ为参数，则动点M (3cos φ，2sin φ)的轨迹必经过的点的坐标为( )
A ．(0，3)
B ．(－2，0)
C ．(－3，0)
D ．(2，3)
答案　C
解析　易知动点M 的轨迹的参数方程为Error!(φ为参数)，将其化为普通方程是＋＝1，即动点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其中a ＝3，b ＝2，故动x 29y 2
4点M 的轨迹经过(－3，0)．
4．椭圆Error!(θ为参数)的焦点坐标为( )
A ．(0，)和(0，－)
2121B ．(，0)和(－，0)
2121C ．(0，)和(0，－)
2929D ．(，0)和(－，0)
2929答案　A
解析　把参数方程Error!(θ为参数)化为普通方程是＋＝1，它表示焦点在x 24y 225y 轴上的椭圆，其中a ＝5，b ＝2，c ＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
a 2－
b 221215．已知曲线Error!(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为，则P 点坐标是( )π
4A ．(3，4) B ．(322，22
)C ．(－3，－4) D ．(125，125)答案　D 解析　设P (x ，y )，因为＝tan θ＝tan ＝1，所以tan θ＝．所以y －0x －04
3π434cos θ＝，sin θ＝，代入得P 点坐标为．4535(125，125)
6．直线x ＋y ＝2被椭圆Error!(φ为参数)截得的弦长为( )
3A ．2 B ．2 C ． D ．3663
答案　C
解析　把Error!代入x ＋y ＝2得cos φ＋sin φ＝，即sin
＝，于333(φ＋π3)32是φ＝0或φ＝，得两交点M (2，0)，N (，)，|MN |＝＝．
π
33333＋36二、填空题
7．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆Error!(0≤θ<2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________．
答案　[－2，2]
55解析　将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得，
4sin θ＝2cos θ＋b ，b ＝4sin θ－2cos θ．
∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝2sin(θ－φ)．5(tan φ＝12)
∴－2≤f (θ)≤2．55∴－2≤b ≤2．
558．已知椭圆的参数方程为Error!(β为参数)，P 为椭圆上一点，则点P 与定点A (1，0)之间距离的最小值是________．
答案　45
5
解析　设点P 的坐标为(3cos β，2sin β)，则
|AP |＝(3cos β－1)2＋(2sin β)2
＝5cos2β－6cos β＋5＝，5(cos β－35)
2＋165故当cos β＝时，|AP |有最小值，即点P 与定点A (1，0)之间距离的最小值3545
5是．
45
59．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!
(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与C 2的交点的个数为________．
答案　2
解析　由题意，曲线C 1的参数方程Error!(α为参数)可化为普通方程＋＝1，直线C 2的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0可化为直角坐标方程
x 24y 2
3x －y ＋1＝0．联立两个方程，消去y 可得＋＝1，即7x 2＋8x －8＝0．因x 24(x ＋1)2
3为Δ＝82＋4×7×8>0，所以直线与椭圆相交，即有两个交点．
三、解答题
10．在椭圆＋＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最x 216y 2
12小．
解　设椭圆的参数方程为Error!(θ为参数)．
d ＝
|4cos θ－43sin θ－12|5＝|cos θ－sin θ－3|45
53＝，455|2cos (θ＋π3)－3|当cos ＝1即θ＝2k π－(k ∈Z )时，d min ＝，此时所求点为(2，－3)．
(θ＋π3)π3455B 级：能力提升练
1．已知两曲线参数方程分别为Error!(0≤θ<π)和Error!(t ∈R )，求它们的交点坐标．
解　将Error!(0≤θ<π)化为普通方程得，
＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－)，
x 2
55将x ＝t 2，y ＝t 代入得t 4＋t 2－1＝0，
5
4516解得t 2＝，
4
5∴t ＝(∵y ＝t ≥0)，x ＝t 2＝×＝1，25554544
5∴交点坐标为．
(1，255)2．设F 1，F 2分别为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右两个焦点．
x 2
a 2y 2
b 2(1)若椭圆C 上的点A
到F 1，F 2
的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程(1，32)和焦点坐标；
(2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．解　(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，
得2a ＝4，即a ＝2．
又点A 在椭圆上，
(1，
32)因此＋＝1，得b 2＝3，14(32)2b 2于是c 2＝a 2－b 2＝1，
所以椭圆C 的方程为＋＝1，
x 24y 23焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．
(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为3(x ，y )，则x ＝，y ＝，2cos θ－1
2
3sin θ＋02所以x ＋＝cos θ，＝sin θ．1
22y 3消去θ，得2＋＝1．(x ＋1
2
)
4y
2
3
即为线段
F 1
P
中点的轨迹方程
．。