高等数学(重庆专升本及高职高专)4.1不定积分

csc x cot xdx csc x C
1 dx arcsin x C 1 x2
1
1 x2
dx
arctan
x
C
以上基本积分公式是求不定积分的基础，必须记牢！
例3. 求
解: 原式 =
x
4 3
dx
x341
4 3
1
C
3x
1 3
C
例4. 求
解: 原式=
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
例 5.判断下列各式是否正确：
(3). (xex )dx (
);
(4). 2x arctan xdx (
xe x C
) . 2x arctan x
二、基本积分公式
由 F(x) f (x) 可得 f (x)dx F(x) C
导数基本公式
基本积分公式
C 0
0dx C
xa1
a
1
xa
a
1
ax ax ln a
在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 积分变量;
若
则
— 被积函数; — 被积表达式.
例如, exdx ex C
x2dx
1 3
x3
C
( C 为任意常数 )
C 称为积分常数, 不可丢 !
sin xdx cos x C
不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 .
高等 數學
第四章 不 定 积 分
第一节 不定积分的概念及性质
目录
第一节 不定积分的概念及性质
01
02
03
04
原函数与 不定积分 的概念
基本积分表 不定积分的 性质
小结
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
sin xdx cos x C
sec2
xdx
1 cos2
dx x
tan
x
C
csc2
xdx
1 sin2
dx x
cot
x
C
二、基本积分公式
导数基本公式
sec x sec x tan x
csc x csc x cot x
arcsin x 1
1 x2
arctan
x
1 1 x2
基本积分公式
sec x tan xdx sec x C
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中, A sin t 的原函数有 A cos t, A cos t 3,
m
m
m
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
cos x
(5). cot x cos x ; sin x
(7). csc x 1 . sin x
(6).sec x 1 ; cos x
倍角公式
cos 2x cos2 x sin2 x 2 cos2 x 1 1 2sin2 x
和差化积、积化和差公式等（略）
例6. 求
解: 原式 [(2e)x 5 2x ]dx
解.
(1)因为对任意
x ,
有
1 3
x3
x2
，则
x2dx 1 x3 C . 3
(2)因为对任意
x
,
有
1 3
cos
3x
sin
3x
，
则；
sin
3xdx
1 3
cos
3x
C
.
由不定积分的定义，可知
(1)若先积分后微分，则两者的作用相互抵消．即
f (x)dx f (x) ， d f (x)dx f (x)dx ，
(2 e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ex ln 2
1
5 ln 2
C
例7. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
例8. 求
解: 原式 =
x (1 x x(1 x2
2
)
)
dx
1
1 x
2
dx
1 x
dx
arctan x ln x C
推论: 若
则
n
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
直接积分法 将被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分
基本公式和不定积分的运算法则, 则可以计算一些 函数的不定积分, 这种方法一般称为直接积分法。
其中常用的三角公式有： 同角三角函数公式
(1). sin2 x cos2 x 1;(2).1 tan2 x sec2 x ; (3).1 cot2 x csc2 x ;(4). tan x sin x .
(2)若先微分Biblioteka 积分，则抵消后要差一个常数，即F(x)dx F(x) C ， dF(x) F(x) C 。
结论： 微分运算与求不定积分的运算是“互逆”的.
练习
(1). ( (2). (
)dx x 3x C ; )dx x cos 2x C ;
1
1
x2
3
2
1 2sin 2x
存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[ (x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
它属于函数族 F(x) C .
ex ex
xadx xa1 C a 1
a 1
axdx ax C
ln a
exdx ex C
二、基本积分公式
导数基本公式
ln x 1
x
sin x cos x cos x sin x
tan x sec2 x
cot x csc2 x
基本积分公式
1dx x
ln
x
C
cos xdx sin x C
(1)
xdx
1x2 2
(2) x3dx x4 C
(3)
1 x
dx
ln
x
C
( x 0)
(4) e2xdx e2x C
(5)
1 dx arcsin( x) C 1 x2
错 错 正确 错 错
三、不定积分的性质
1. k f (x) dx k f (x)dx (k 0) 2. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x) d x
f (x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
O
x0
x
设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
(1,2)
因此所求曲线为 y x2 1
O
x
例 2：求(1) x2dx ； (2) sin 3xdx .