高考数学大二轮复习 3.2 三角函数的图象与性质学案 理-人教版高三全册数学学案

第2讲 三角函数的图象与性质
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x
.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角关系：sin 2α＋cos 2
α＝1，sin αcos α＝tan α.
3．诱导公式：在
k π
2
＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
[例1] (1)[2018·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝2
3
，则|a －b |＝( )
A.15
B.55
C.
25
5
D ．1 (2)[2019·山东潍坊一中月考]化简1＋2sin (π－2)cos (π－2)得( ) A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±cos 2－sin 2
【解析】 (1)由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2
α＝23，
∴ cos 2
α－sin 2
αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2
α1＋tan 2
α＝2
3， ∴ tan α＝±
55，即b －a 2－1＝±5
5
， ∴ |a －b |＝55
. 故选B.
(2)1＋2sin (π－2)cos (π－2)＝1－2sin2cos 2 ＝sin 2
2＋cos 2
2－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2
＝|sin 2－cos 2|，又π
2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0，
∴1＋2sin (π－2)cos (π－2)＝sin 2－cos 2，故选C. 【答案】 (1)B (2)C
应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定
义就会出现错误．
(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
『对接训练』
1．[2019·湖北稳派教育检测]若一个扇形的面积是2π，半径是23，则这个扇形的圆心角为( )
A.
π6 B.π4 C.
π2 D.π3
解析：设扇形的半径为r ，圆心角为θ，则扇形的面积S ＝1
2lr ，其中弧长l ＝θr ，则S
＝12θr 2，所以θ＝2S r 2＝4π(23)2＝π3
，故选D. 答案：D
2．[2019·河北行唐月考]已知tan x ＝1
3，则sin x cos x ＝( )
A.
310 B.105 C.
310 D.35
解析：通解 ∵tan x ＝13，∴sin x cos x ＝13，即cos x ＝3sin x ，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x
＝110.①当x 为第一象限角时，sin x ＝1010，cos x ＝31010，∴sin x cos x ＝3
10；②当x 为第三象限角时，sin x ＝－1010，cos x ＝－31010，∴sin x cos x ＝310.由①②得sin x cos x ＝3
10
，故选C.
优解一 ∵tan x ＝13，∴sin x cos x ＝13，即cos x ＝3 sin x ，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2
x
＝110，又1＋2sin x cos x ＝(sin x ＋cos x )2＝16sin 2
x ，∴sin x ·cos x ＝16sin 2
x －12＝16
10－12＝3
10
，故选C. 优解二 ∵tan x ＝1
3>0，∴sin x 与cos x 同号，∴sin x cos x >0，不妨设x 是第一象限
角，且角x 终边上一点的坐标为(3,1)，∴sin x ＝1010，cos x ＝31010，∴sin x cos x ＝310
，故选C.
优解三 ∵sin x cos x ＝
sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x tan 2
x ＋1，且tan x ＝1
3，∴sin x cos x ＝13
1
9
＋1＝3
10
，故选C. 答案：C
考点2 三角函数的图象与解析式
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图
设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π
2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线
可得．
(2)图象变换
y ＝sin x
――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移|φ|个单位
y ＝sin(x ＋
φ)
y ＝sin(ωx ＋φ)
―――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍
横坐标不变
y ＝A sin(ωx ＋φ)．
[例2] (1)[2019·辽宁辽阳期末]已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A
2
cos
ωx 的部分图象如图所示，则( )
A ．A ＝1，ω＝3
π
B ．A ＝2，ω＝π
3
C ．A ＝1，ω＝π
3
D ．A ＝2，ω＝3
π
(2)[2019·山西平遥二中月考]为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos 2x 的图象上所有的点( )
A ．向左平行移动5π
12个单位长度
B ．向右平行移动5π
12个单位长度
C ．向左平行移动5π
6个单位长度
D ．向右平行移动5π
6
个单位长度
【解析】 (1)由已知图象，可知A 2＝1，T ＝2πω＝1.5×4＝6，所以A ＝2，ω＝π
3
.故选
B.
(2)通解 ∵y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12＋π2，∴
只需把函数y ＝cos 2x 的图象上所有的点向右平行移动
5π
12
个单位长度就得到函数y ＝
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，故选B. 优解 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12，∴只需把
函数y ＝cos 2x 的图象上所有的点向右平行移动5π12个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的
图象，故选B.
【答案】 (1)B (2)B
1．确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解析式的方法
已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求
解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2．[警示] 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
『对接训练』
3．[2019·河南洛阳一中月考]设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π3个
单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数，则φ＝________.
解析：通解 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移
π
3
个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象，∵g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ是偶函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋2π3＝±1，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，∵|φ|<π2，∴φ＝－π
6
.
优解 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象
对应的函数是一个偶函数，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π3对称，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋2π3＝±1，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，∵|φ|<π2，∴φ＝－π
6
.
答案：－π
6
4．[2019·成都检测]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．现将函数f (x )图象上的所有点向右平移π
4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则
函数g (x )的解析式为( )
A ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4
C ．g (x )＝2cos2x
D ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4
解析：由图象，知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－3π8＝π，所以ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π8，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)得sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π4＋φ＝－1，即5π4＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，结合|φ|<π2，
得φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4，故选D. 答案：D
考点3 三角函数的性质
1．三角函数的单调区间
y ＝sin x 的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤2k π－π2
，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；
y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋
π](k ∈Z )；
y ＝tan x 的递增区间是⎝
⎛⎭
⎪⎫k π－π2
，k π＋π2(k ∈Z )．
2．三角函数的奇偶性与对称性
y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；
当φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )时为偶函数；
对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )求得．
y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2
(k ∈Z )时为奇函数；
当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；
对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．
y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．
[例3] (1)[2019·全国卷Ⅱ]下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )
A ．f (x )＝|cos 2x |
B ．f (x )＝|sin 2x |
C ．f (x )＝cos|x |
D ．f (x )＝sin|x |
(2)[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点
④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B．②④ C ．①④ D．①③
【解析】 (1)本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．
A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )
单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正
确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin x ，x ≥0，
－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )
均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.
(2)本题主要考查三角函数的图象与性质(单调性、奇偶性、最值)，函数零点，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．
f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；
当π
2
<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
2
，π单调递减，故②不正确；f(x)
在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.
【答案】(1)A (2)C
1. 三角函数的单调性、周期性及最值的求法
(1)三角函数单调性的求法：
求形如y＝A sin(ωx＋φ)(或y＝A cos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)三角函数周期性的求法：
函数y＝A sin(ωx＋φ)(或y＝A cos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π
|ω|
.应特别注意y＝
|A sin(ωx＋φ)|的周期为T＝π
|ω|
.
(3)三角函数值域的求法：
在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的
最值．
2．[警示] 求y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间.
『对接训练』
5．[2019·武昌区调研考试]已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )
A.⎣
⎢⎡
2k π－π6，2k π＋π6](k ∈Z )
B.⎣
⎢⎡ 2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )
C.⎣
⎢⎡ 2k π－2π3，2k π＋π3](k ∈Z )
D.⎣
⎢⎡
2k π－π6，2k π＋5π6](k ∈Z )
解析：解法一 因为f (x )＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －π6，f (x )的最小正周
期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6，
由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π
3(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.
解法二 因为f (x )＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，
f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 由2k π≤x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π
3(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
2k π－π3，2k π＋
2π3](k ∈Z )，故选B.
答案：B
6．[2019·重庆市学业质量调研]将函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π6＋2x －2cos
2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )
A ．函数g (x )的最小正周期为2π
B ．函数g (x )的最小值为－1
C ．函数g (x )的图象关于x ＝
π
6
对称 D ．函数g (x )在⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤2π3，π上单调递减
解析：函数f (x )＝2×⎝
⎛⎭
⎪⎫
32sin 2x ＋12cos 2x －2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －2cos 2x ＝
3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得y ＝g (x )＝
2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则函数g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，g (x )的
最小值为－2，g (x )的图象的对称轴为2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，即x ＝π6＋k π
2(k ∈Z )，当k
＝0时，x ＝π6为g (x )的图象的一条对称轴，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得
π
6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，2π3上单调递减，故选C.
答案：C
考点4 三角函数与其他知识的交汇问题 [交汇创新]
三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．
[例
4] (1)设集合
M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪x －1i <2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．[0,1]
(2)已知函数f (x )＝sin x ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1<x 2<…<x m ≤6π，且|f (x 1)－
f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x m －1)－f (x m )|＝12(m ≥2，m ∈N *)，则m 的最小值为________．
【解析】 (1)y ＝|cos 2x －sin 2
x |＝|cos 2x |∈[0,1]，所以M ＝[0,1]．因为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －1i <2，
所以|x ＋i|<2，即x 2
＋1<2.又因为x ∈R ，所以－1<x <1，即N ＝(－1,1)．所以M ∩N ＝[0,1)，
故选C.
(2)因为f (x )＝sin x ，所以|f (x m )－f (x n )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，因此要使得满足条件|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x m －1)－f (x m )|＝12的m 最小，须取x 1＝0，x 2＝π
2
，
x 3＝
3π2，x 4＝5π2，x 5＝7π2，x 6＝9π2，x 7＝11π2，x 8＝6π，即m ＝8. 【答案】 (1)C (2)8
解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质．本例(1)三角
函数与复数的交汇，本例(2)是绝对值不等式与三角函数的最值问题，利用放缩法解决.
『对接训练』
7．设a n ＝1n sin n π
25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100
解析：当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值；当51≤n ≤74时，a n >0；当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值．故当1≤n ≤100时，均有S n >0.
答案：D
课时作业7 三角函数的图象与性质
1．[2019·四川宜宾四中期中]角θ的终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－3
5，则tan θ
＝( )
A ．－43 B.43
C ．－34 D.34
解析：解法一 ∵sin θ＝－35，∴y y 2＋16＝－35，∴y ＝－3，∴tan θ＝－34，故选C.
解法二 由P (4，y )得角θ是第一或第四象限角或是终边在x 轴的正半轴上的角，∴cos
θ>0.∵sin θ＝－3
5，∴cos θ＝1－sin 2θ＝45，∴tan θ＝
sin θcos θ＝－3
4
，故选C. 解法三 由P (4，y )得角θ是第一或第四象限角或是终边在x 轴的正半轴上的角，∵sin
θ＝－35<0，∴角θ是第四象限角，∴tan θ<0，故排除选项B ，D ，又sin θ＝－35>－
22
，不妨取－π
4
<θ<0，∴－1<tan θ<0，故选C.
答案：C
2．[2019·福建厦门检测]已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，且|θ|<π
2，则θ等
于( )
A ．－π6
B ．－π3
C.
π6 D.π3
解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3.因为|θ|<π2，所以θ＝π
3
，故选D.
答案：D
3．[2019·安徽芜湖一中月考]设α是第三象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则α
2的终边
所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π2<α2<k π＋
3π
4
(k ∈Z )，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2≤0，∴2k π＋π2<α2<2k π＋3π4(k ∈Z )，∴α
2
是第二
象限角，故选B.
答案：B
4．[2019·重庆调研]函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象的一条对称轴方程是( )
A ．x ＝π2
B ．x ＝π
6
C ．x ＝π3
D ．x ＝－π
6
解析：通解 由x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一条对称轴方程是x ＝π
3
，故选C.
优解一 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝sin π2＝1，所以x ＝π3是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一条对称轴
方程，故选C.
优解二 因为将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，所以y ＝sin x 图象的一条对称轴x ＝π2向左平移π
6
个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象的一条对称轴x ＝π3，故选C.
答案：C
5．[2019·贵州贵阳十二中期中]已知sin α1＋cos α＝－23，则sin α1－cos α的值是( )
A.23 B ．－2
3 C.32 D ．－32
解析：∵sin α1＋cos α×sin α1－cos α＝sin 2
α1－cos 2α＝sin 2
αsin 2
α＝1， ∴
sin α1－cos α＝－3
2
，故选D.
答案：D
6．[2019·甘肃会宁一中月考]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值是( ) A.45 B ．－4
5 C.35 D ．－35
解析：易知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－136π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2＋α＋π3＝
－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－45，故选B.
答案：B
7．[2019·辽宁瓦房店三中月考]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )
A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：通解 由2n π＋
π2≤π3－2x ≤2n π＋3π2(n ∈Z )，得－n π－7π12≤x ≤－n π－π
12(n ∈Z )，令k ＝－n ，得k π－
7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，又区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )
和区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )相差一个周期π，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增
区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )，故选B.
优解一 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区
间即求函数t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π
＋
5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )，故选B. 优解二 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－2x 单调递增区间的左端点值对应的函数值是函数的最小值，
区间长度为一个周期π，经验证每一个选项的区间长度均为一个周期π，只有区间左端点x ＝k π＋5π12(k ∈Z )的相应函数值是函数的最小值－2，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－2x 的单调递增区
间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )，故选B. 答案：B
8．[2019·天津卷]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将
y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )，若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π8＝( )
A ．－2
B ．－ 2 C. 2 D ．2
解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，考查学生的数形结合能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象．
由f (x )为奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g (x )＝A sin 1
2ωx .
由g (x )的最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，g (x )＝A sin x .g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝2，所以A ＝2，所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.
答案：C
9．[2019·安徽芜湖一中月考]函数y ＝cos 2
x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之
和为( )
A.3
2 B ．2 C ．0 D.3
4
解析：y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，设t ＝sin x ，则y ＝－t 2
＋t ＋1，∵－
π6≤x ≤π6，∴－12≤t ≤12，∵y ＝－t 2
＋t ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上是增函数，∴当t ＝－12时y 最小，
为14，当t ＝12时y 最大，为54，∴最大值与最小值的和为3
2
，故选A. 答案：A
10．[2019·北京一零一中学统考]将函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移a (a >0)个单
位长度得到函数g (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，则a 的值可以为( ) A.
5π12 B.7π
12 C.
19π24 D.41π
24
解析：通解 将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移a (a >0)个单位长度得到函数y ＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2a ＋π3的图象，∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2a ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2a －π6，∴g (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和
y ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －2a －π6
是同一个函数，∴－2a －π6＝2k π＋π4(k ∈Z )，∴a ＝－k π－
5π
24
(k ∈Z )，当k ＝－1时，a ＝19π24，∴a 的值可以为19π
24
，故选C.
优解一 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π24＋π4，
∴将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移5π24个单位长度得到函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的
图象，又函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的周期为π，∴将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移
π－5π24＝19π24个单位长度得到函数g (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，故选C.
优解二 ∵g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－3π2＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －5π4
＝
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛
⎭⎪⎫x －
19π24＋π3，∴将函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移19π24个单位长度得到函数g (x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π4
的图象，故选C.
优解三
∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2x ＋11π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋19π24＋π4，∴将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移19π24个单位长度得到函数g (x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π4
的图象，故选C.
答案：C
11．[2019·河南洛阳联考]已知函数f (x )＝a sin x －3cos x 的图象的一条对称轴为直
线x ＝5π
6
，且f (x 1)·f (x 2)＝－4，则|x 1＋x 2|的最小值为( )
A ．0 B.π
3
C.
2π3 D.4π3
解析：∵直线x ＝5π6为函数f (x )的图象的一条对称轴，∴±a 2
＋3＝a ＋32
，解得a ＝1，
∴f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3.∵f (x 1)·f (x 2)＝－4，∴f (x 1)和f (x 2)中必有一个为
函数f (x )的最大值，另一个为最小值．由x －π3＝k π(k ∈Z )得x ＝k π＋π
3(k ∈Z )，即函数
f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z )，∴|x 1＋x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k π＋2π3(k ∈Z )，∴|x 1＋x 2|
的最小值为2π
3
，故选C.
答案：C
12．[2019·湖南株洲统一检测]
如图，正方形ABCD 的边长为1，射线BP 从BA 的位置出发，绕着点B 顺时针旋转至BC 的
位置，在旋转的过程中，记∠ABP ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域(阴
影部分)的面积为y ＝f (x )，则函数f (x )的图象是( )
解析：由题意得，当0≤x ≤
π4时，f (x )＝12tan x ，∵在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上函数f (x )＝12tan x
是增函数且随x 的增大f (x )增加得越来越快，∴排除选项A ，C ，又当π4<x ≤π
2时，阴影部分
的面积增加得越来越慢，∴排除选项B ，∴函数f (x )的图象是选项D.
答案：D
13．[2019·江苏淮海阶段测试]在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π
3的终边上，且|OP |
＝2，则点P 的坐标为______________．
解析：设点P
的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝|OP |cos 2π
3
，y ＝|OP |sin 2π
3
，∴⎩⎨
⎧
x ＝－1，
y ＝3，
∴点P 的坐标为(－1，3)．
答案：(－1，3)
14．[2019·江西九江一中月考]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝____________.
解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－α－sin 2
⎝
⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α－1＝－2＋33.
答案：－2＋3
3
15．[2019·浙江温州一中月考]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于
________________________________________________________________________．
解析：由图象得函数f (x )的周期为π，∴ω＝2，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2
)，
∴x 1＋x 2＝π6且直线x ＝π12为函数f (x )图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝sin 2π3＝32.
答案：
3
2
16．[2018·北京卷]设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．
解析：∵ f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，
∴ 当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4
ω－π6＝1，∴ π4ω－π6＝2k π，
k ∈Z ，
∴ ω＝8k ＋2
3
，k ∈Z .
∵ ω>0，∴ 当k ＝0时，ω取得最小值2
3.
答案：23。