数学二轮复习简易通三轮考前体系通关训练1-5

第五辑平面向量
［通关演练]
(建议用时：40分钟）
1．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则错误!的值为
（）．A。

错误! B.错误! C.错误!D。

错误!
解析由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，∴AC＝3。

由正弦定理，得错误!＝错误!＝错误!.
答案D
2．已知向量错误!＝（4，6）,错误!＝(3，5)，且错误!⊥错误!,错误!∥错误!，则向量错误!＝
( )．A。

错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
解析设错误!＝(x，y），则错误!＝错误!－错误!＝(x，y)－（4,6)＝(x－4,y －6)，又错误!⊥错误!，错误!∥错误!,故错误!解得错误!
答案D
（)．A.错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!
解析a·（b－a）＝a·b－a2＝2.所以a·b＝3,cos 〈a,b〉＝错误!＝
错误!＝错误!，所以〈a，b>＝错误!。

答案B
4．在平面四边形ABCD中,满足错误!＋错误!＝0,(错误!－错误!)·错误!＝0，则四边形ABCD是
（)．
A．矩形B．正方形
C．菱形D．梯形
解析因为错误!＋错误!＝0，所以错误!＝－错误!＝错误!，所以四边形
ABCD是平行四边形,又错误!·错误!＝错误!·错误!＝0，所以四边形的对
角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
答案C
5．在△ABC中,∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为错误!，则BC
的长为
（)．A。

3 B．3 C.7 D．7
＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝错误!.答案A
6．在△ABC中,AB＝3，AC＝1，B＝错误!,则△ABC的面积为
( ）．A。

错误! B.错误!
C.错误!或错误!D。

错误!或错误!
解析由正弦定理可知，错误!＝错误!，所以sin C＝错误!,所以C＝错误!或C＝错误!,所以A＝π－错误!－错误!＝错误!或A＝π－错误!－错误!＝错误!。

所以S△ABC＝错误!×错误!×1×sin 错误!＝错误!或S△ABC＝错误!×错误!×1×sin 错误!＝错误!.
答案C
7．已知O，A，M，B为平面上不同的四点,且错误!＝λ错误!＋（1－λ)错误!,λ∈(1,2）,则
（)．A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M,B四点共线
则错误!－错误!＝λ(错误!－错误!），即错误!＝λ错误!。

由λ∈（1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．
答案B
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°,点M在AB边上,且AM＝错误!AB，则错误!·错误!等于
( )．A．－错误! B.错误!
C．－1 D．1
解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!·错误!＝(错误!＋错误!错误!)·(错误!＋错误!)＝错误!2＋错误!错误!2＋错误!错误!·错误!＝1＋错误!－错误!错误!·错误!＝错误!－错误!|错误!||错误!｜cos 60°＝错误!－错误!×1×2×错误!＝1.
答案D
9．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ,则cos θ＝
A.错误!B．2－错误!
C。

3－1 D.错误!
解析在△ABC中,由正弦定理可知，
BC＝错误!＝错误!＝50(错误!－错误!）,
在△BCD中,sin ∠BDC＝错误!
＝错误!＝错误!－1。

由题图，知cos θ＝sin ∠ADE＝sin ∠BDC＝错误!－1.
答案C
10．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0,则｜a＋b－c｜的最小值为
（)．A.错误!－1 B．1 C.错误!＋1 D.错误!
解析｜a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c －2b·c ＝3－2（a＋b)·c，因为a·b＝0，且｜a|＝|b|＝|c｜＝1，所以|a＋b|＝错误!，所以（a＋b）·c＝|a＋b｜|c｜·cos 〈a＋b，c>＝错误!cos 〈a＋b,c〉，即|a＋b－c｜2＝3－2错误!·cos 〈a＋b，c〉，所以当cos 〈a＋b,c>＝1时,|a＋b－c｜2最小值为|a＋b－c｜2＝3－2错误!＝（错误!－1)2，所以|a＋b－c｜min＝错误!－1.
11．已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数，若向量a＋b与向量k a－b垂直，则k＝________。

解析由题意，知(a＋b）·(k a－b）＝0，即k a2－a·b＋k a·b－b2＝0,（k－1)a·b＋（k－1）＝0，∴（k－1)（a·b＋1)＝0，∴k ＝1.
答案1
12．已知△ABC的三边成公比为错误!的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
解析设△ABC的三边a,b，c成公比为错误!的等比数列,∴b＝错误!a，c＝2a。

则cos C＝错误!＝错误!＝－错误!。

答案－错误!
13．如图，在△ABC中，O为BC的中点,若AB＝1，AC＝3，〈错误!,错误!〉＝60°，则|错误!|＝________。

解析因为<错误!,错误!>＝60°，所以错误!·错误!＝|错误!|｜错误!|·cos 60°＝3×错误!＝错误!，又错误!＝错误!(错误!＋错误!)，所以错误!2＝错误!（错误!＋错误!)2＝错误!错误!，即错误!2＝错误!（1＋3＋9)＝错误!，所以｜错误!｜＝错误!。

14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝错误!,cos B＝错误!，b＝3，则c＝________.
解析在△ABC中,∵cos A＝错误!>0,
∴sin A＝4 5。

∵cos B＝错误!>0,∴sin B＝错误!.
∴sin C＝sin [π－（A＋B)］＝sin （A＋B)＝sin A cos B＋
cos A sin B＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

由正弦定理，知错误!＝错误!，则c＝错误!＝错误!.
答案错误!
15．定义平面向量的一种运算:a b＝|a｜｜b｜sin 〈a,b〉，则下列命题:①a b＝b a;②λ（a b)＝（λa) b；③(a＋b）c＝（a c)＋（b c)；④若a＝（x1，y1),b＝（x2,y2)，则a b＝|x1y2－x2y1|.其中真命题是________________________(写出所有真命题的序号)．
解析由定义知b a＝|b||a｜sin <a,b>＝a b，所以①正确．②当λ<0时，〈λa，b〉＝π－〈a，b>,所以错误!b＝｜λa｜|b|sin 〈λa，b>＝－λ|a||b|sin 〈a·b〉，而λ(a b)＝λ|a||b|sin 〈a，b〉,所以②不成立．③因为a＋b＝0显然不成立,所以③不成立．④（a b)2
＝｜a|2·|b｜2sin 2<a,b〉＝｜a|2·|b|2(1－cos 2〈a，b〉）＝|a|2·|b｜2－|a|2·｜b|2cos 2〈a，b>＝｜a|2·|b|2－(a·b）2＝错误!
错误!－错误!2＝错误!2，所以a b＝|x1y2－x2y1｜,所以④成立．
答案①④。