2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3课件：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
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C0 + C2 + C4 +…=C1 + C3 + C5 +…=2n-1.
名师点拨第一个式子由二项式定理,令a=1,b=1得到,第二个式子由二
项式定理,令a=1,b=-1及第一个式子得到.
第七页，编辑于星期日：点 十八分。
-7-
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
1
2
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2
(4)∵(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零,
∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)
=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0
=8 256-(-8 128)+(-1)=16 383.
-1
+1 +3
中间两项是第 2 , 2 项,它们的二项式系数是C2
+1
2
, C ,这两
个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大值.
各二项式系数和:C0 + C1 + C2 +…+C =2n 源于
(a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C bn 中令 a=1,b=1,即得到C0 + C1 +
+1
时,二项式系数是逐渐增大的,由对
2
(2)增减性与最大值:当 k<
称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是
2
偶数时,中间一项的二项式系数C 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两
-1
2
+1
2
项的二项式系数C 和C 相等,且同时取得最大值.
名师点拨求二项式系数的最大最小值时,一定要搞清楚n是奇数还
HISHI SHULI
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HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
题型二
求展开式中各项系数的和
【例2】 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:
(1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1;
(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
到右是展开式,由简变繁,从右到左则是由繁变简,为什么要把二项式
展开,化简为繁呢
剖析一般地,化繁为简是我们解题的基本思路,但有时候,化简
为繁也是一种创举.
由简变繁可以判断二项式系数的关系,如C =
-
C
-1
(n≥m),C-1 + C-1
= C (n≥k+1)等,可以更深刻地理解组合数的
式:
上面的二项式系数表称为杨辉三角.
归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出,在同一行中,每行两端都
是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1以外的每
一个数都等于它“肩上”两个数的和.
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-3-
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
1
2
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是偶数.
第五页，编辑于星期日：点 十八分。
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1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
1
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3
2
【做一做2-1】 在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,
第
(2+1)-1
+1
2
项和第
2+1+1
+1
2
项,即第(n+1)项和第(n+2)项.
答案:C
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1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
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2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用.
第二页，编辑于星期日：点 十八分。
-2-
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
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1.杨辉三角
(a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形
【例1】 如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数
组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.
分析本题关键是观察数列的特征及数列的每一项在杨辉三角中的位置,
把各项还原为二项展开式中的二项式系数,再利用组合数求解.
-12-
第十二页，编辑于星期日：点 十八分。
一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系数
之间的大小关系,如 n 是偶数,则中间一项的二项式系数最大等.如果
给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如 2n=C0 +
C1 +…+C , C0 + C2 +…=C1 + C3 +….
从这个角度看,二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简.
,第 18 项是C10
,第 19 项是C11
.
1
故 S19=(C21 + C22 )+(C31 + C32 )+(C41 + C42 )+…+(C10
+
(2+10)×9
+
2
2
2
1
2
C10
)+C11
=(C21 + C31 + C41 +…+C10
)+(C22 + C32 +…+C11
)=
3
C12
=274.
分析所求结果与各项系数有关,可以考虑用“赋值法”解题.
-16-
第十六页，编辑于星期日：点 十八分。
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
题型一
题型二
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题型三
-13-
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题型三
反思解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
-14-
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与二项式系数的性质
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题型三
解:由题图知,数列中的首项是C22 ,第 2 项是C21 ,第 3 项是C32 ,第 4
2
1
2
项是C31 ,…,第 17 项是C10
2
-17-
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题型三
①+②
(3)由 2 得,a6+a4+a2+a0
1
= [128+(-4)7]=-8 128.
-8-
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
1
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2
1.二项式定理(a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C an-rbr+…+C bn,从左
解:(1)令 x=0,则 a0=-1;
令 x=1,则 a7+a6+…+a1+a0=27=128,
所以 a7+a6+…+a1=128-(-1)=129.
(2)令 x=-1,
则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,
①
②
①-②
由
,得 a7+a5+a3+a1
2
1
= [128-(-4)7]=8 256.
反思“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要
求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,
令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系
与二项式系数的性质
1
2
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3
2.二项式系数的性质
(1)对称性:在(a+b)n 的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二
-1
-
项式系数相等,即C0 = C , C1 = C ,…,C = C .
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3
【做一做1】 如图,满足①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关系类
似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2个数是
.
2 -+2
答案: 2
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-4-
1.3.2 “杨辉三角”
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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【做一做 3】 3 +
为
1 6
的展开式中各项的系数和
.
解析:令 x=1,则 3 +
1 6
的展开式即为各项的系数和,即
(3+1)6=46.
答案:46
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2
中间一项是第2+1
2
项,它的二项式系数是C ,它是所有二项式系
数中的最大值;②当 n 是奇数时,(a+b)n 的展开式共有(n+1)项,n+1 是
偶数,这时展开式的形式是
C13
解析:由已知
C14
=
2
,
3
!
(-14)!·14!
2
×
= ,
!
3
(-13)!·13!
14
2
化简得
= 3.解得 n=34.
-13
即
答案:34
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第十五页，编辑于星期日：点 十八分。
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
题型一
题型二
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C2 +…+C =2n.
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第十一页，编辑于星期日：点 十八分。
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与二项式系数的性质
题型一
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题型一
与杨辉三角有关的问题
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
题型一
题型二
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题型三
【变式训练1】
如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第
行中从左至
右第14个与第15个数的比为2∶3.
1.3.2
“杨辉三角”与二项式系数的性质
第一页，编辑于星期日：点 十八分。
-1-
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
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1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数.
第九页，编辑于星期日：点 十八分。
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1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
1
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2
2.正确理解二项式系数的性质
-
剖析对称性:源于组合数的性质“C = C
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3
3.各二项式系数的和
(1)(1+x)n的展开式为
C0 + C1 + C2 2 + ⋯ + C + ⋯ + .
名师点拨由二项式定理,令a=1,b=x可得上式,这是赋值法在二项式中
的应用.
(2)C0 + C1 + C2 +…+C =2n.
-1
”,基础是C0 = C =1,
-2
然后从两端向中间靠拢,便有C1 = C , C2 = C ,….
最大值:①当 n 是偶数时,(a+b)n 的展开式共(n+1)项,n+1 是奇数,
名师点拨第一个式子由二项式定理,令a=1,b=1得到,第二个式子由二
项式定理,令a=1,b=-1及第一个式子得到.
第七页，编辑于星期日：点 十八分。
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1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
1
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2
(4)∵(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零,
∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)
=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0
=8 256-(-8 128)+(-1)=16 383.
-1
+1 +3
中间两项是第 2 , 2 项,它们的二项式系数是C2
+1
2
, C ,这两
个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大值.
各二项式系数和:C0 + C1 + C2 +…+C =2n 源于
(a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C bn 中令 a=1,b=1,即得到C0 + C1 +
+1
时,二项式系数是逐渐增大的,由对
2
(2)增减性与最大值:当 k<
称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是
2
偶数时,中间一项的二项式系数C 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两
-1
2
+1
2
项的二项式系数C 和C 相等,且同时取得最大值.
名师点拨求二项式系数的最大最小值时,一定要搞清楚n是奇数还
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题型三
题型二
求展开式中各项系数的和
【例2】 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:
(1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1;
(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
到右是展开式,由简变繁,从右到左则是由繁变简,为什么要把二项式
展开,化简为繁呢
剖析一般地,化繁为简是我们解题的基本思路,但有时候,化简
为繁也是一种创举.
由简变繁可以判断二项式系数的关系,如C =
-
C
-1
(n≥m),C-1 + C-1
= C (n≥k+1)等,可以更深刻地理解组合数的
式:
上面的二项式系数表称为杨辉三角.
归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出,在同一行中,每行两端都
是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1以外的每
一个数都等于它“肩上”两个数的和.
第三页，编辑于星期日：点 十八分。
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1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
1
2
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是偶数.
第五页，编辑于星期日：点 十八分。
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3
2
【做一做2-1】 在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,
第
(2+1)-1
+1
2
项和第
2+1+1
+1
2
项,即第(n+1)项和第(n+2)项.
答案:C
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1
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2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用.
第二页，编辑于星期日：点 十八分。
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3
1.杨辉三角
(a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形
【例1】 如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数
组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.
分析本题关键是观察数列的特征及数列的每一项在杨辉三角中的位置,
把各项还原为二项展开式中的二项式系数,再利用组合数求解.
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第十二页，编辑于星期日：点 十八分。
一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系数
之间的大小关系,如 n 是偶数,则中间一项的二项式系数最大等.如果
给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如 2n=C0 +
C1 +…+C , C0 + C2 +…=C1 + C3 +….
从这个角度看,二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简.
,第 18 项是C10
,第 19 项是C11
.
1
故 S19=(C21 + C22 )+(C31 + C32 )+(C41 + C42 )+…+(C10
+
(2+10)×9
+
2
2
2
1
2
C10
)+C11
=(C21 + C31 + C41 +…+C10
)+(C22 + C32 +…+C11
)=
3
C12
=274.
分析所求结果与各项系数有关,可以考虑用“赋值法”解题.
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反思解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
-14-
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与二项式系数的性质
题型一
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题型三
解:由题图知,数列中的首项是C22 ,第 2 项是C21 ,第 3 项是C32 ,第 4
2
1
2
项是C31 ,…,第 17 项是C10
2
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第十七页，编辑于星期日：点 十八分。
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题型三
①+②
(3)由 2 得,a6+a4+a2+a0
1
= [128+(-4)7]=-8 128.
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1.二项式定理(a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C an-rbr+…+C bn,从左
解:(1)令 x=0,则 a0=-1;
令 x=1,则 a7+a6+…+a1+a0=27=128,
所以 a7+a6+…+a1=128-(-1)=129.
(2)令 x=-1,
则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,
①
②
①-②
由
,得 a7+a5+a3+a1
2
1
= [128-(-4)7]=8 256.
反思“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要
求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,
令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系
与二项式系数的性质
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3
2.二项式系数的性质
(1)对称性:在(a+b)n 的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二
-1
-
项式系数相等,即C0 = C , C1 = C ,…,C = C .
Z 知识梳理
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3
【做一做1】 如图,满足①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关系类
似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2个数是
.
2 -+2
答案: 2
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3
【做一做 3】 3 +
为
1 6
的展开式中各项的系数和
.
解析:令 x=1,则 3 +
1 6
的展开式即为各项的系数和,即
(3+1)6=46.
答案:46
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中间一项是第2+1
2
项,它的二项式系数是C ,它是所有二项式系
数中的最大值;②当 n 是奇数时,(a+b)n 的展开式共有(n+1)项,n+1 是
偶数,这时展开式的形式是
C13
解析:由已知
C14
=
2
,
3
!
(-14)!·14!
2
×
= ,
!
3
(-13)!·13!
14
2
化简得
= 3.解得 n=34.
-13
即
答案:34
-15-
第十五页，编辑于星期日：点 十八分。
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
题型一
题型二
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C2 +…+C =2n.
-11-
第十一页，编辑于星期日：点 十八分。
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
题型一
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IANLI TOUXI
题型三
题型一
与杨辉三角有关的问题
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
题型一
题型二
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题型三
【变式训练1】
如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第
行中从左至
右第14个与第15个数的比为2∶3.
1.3.2
“杨辉三角”与二项式系数的性质
第一页，编辑于星期日：点 十八分。
-1-
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
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1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数.
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-9-
1.3.2 “杨辉三角”
与二项式系数的性质
1
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2
2.正确理解二项式系数的性质
-
剖析对称性:源于组合数的性质“C = C
IANLI TOUXI
3
3.各二项式系数的和
(1)(1+x)n的展开式为
C0 + C1 + C2 2 + ⋯ + C + ⋯ + .
名师点拨由二项式定理,令a=1,b=x可得上式,这是赋值法在二项式中
的应用.
(2)C0 + C1 + C2 +…+C =2n.
-1
”,基础是C0 = C =1,
-2
然后从两端向中间靠拢,便有C1 = C , C2 = C ,….
最大值:①当 n 是偶数时,(a+b)n 的展开式共(n+1)项,n+1 是奇数,