安徽省宿州市五校20172018学年高二上学期期末考试联考数学理科试题含

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2017-2018 学年度第一学期期末安徽宿州五校联考 高二数学理科 第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 过两点
的直线的倾斜角为 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D. 1
【答案】C
【解析】由题意知直线 AB 的斜率为
，
所以
，
解得
．选 C．
2. “
”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：因为“若
，则 ”是真命题，“若 ，则
”是假
命题，所以“
”是“ ”成立的充分不必要条件．选 A．
考点：充分必要条件的判断．
【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题． 对于命
题“若 ,则
..................... 视频
3. 直三棱柱 -- 1 -
中，若
，则
（）


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A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】要表示向量 ，只需要用给出的基底
表示出来即可，要充分利用图形的直
观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．
解答：解： =
=故选 D．
4. 椭圆
的焦距是 2，则 的值是（ ）
A. 9 B. 12 或 4 C. 9 或 7 D. 20
【答案】C
【解析】①当椭圆的焦点在 x 轴上时，则有
，解得 ；
②当椭圆的焦点在 y 轴上时，则有
，解得 ．
综上可得 或 ．
选 C．
点睛：解答本题时注意两点：
（1）由于椭圆的焦点位置不确定，因此解题时需要分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情
况进行讨论，分别求出 m 的值；
（2）解题时要读懂题意，其中“焦距为 2”的意思是 ，容易常误认为是 ，这是在
解题时常犯的错误，要特别注意．
5. 下列曲线中离心率为 的是（ ）
A.
B.
C.
D.
-- 2 -


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【答案】B
【解析】由 得
，选 B.
视频
6. 过点 且平行于直线
的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意可设所求的直线方程为 x−2y+c=0
∵过点(−1,3)
代入可得−1−6+c=0 则 c=7
∴x−2y+7=0
故选 A.
7. 已知双曲线
的焦距为 10，点 在 的渐近线上，则 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，双曲线的焦距为 ，即
方程为
，点
在 的渐近线上，所以
，又双曲线的渐近线 ，联立方程组可得
，所以双曲线的方程为
．
考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质． 视频
8. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
-- 3 -


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【解析】结合几何体的特征和三视图的定义可得该几何体的侧视图如选项 D 所示. 本题选择 D 选项. 点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正 视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是 它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但 圆锥的不同．
9. 正方体 中， 分别是
的中点，则直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系
，
设正方体的棱长为 2，则
，
所以
，
故
，
所以直线 与 所成角的余弦值是 ．选 C．
点睛：用向量法求异面直线所成角的步骤
①根据题意建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标及相关向量的坐标；
②用数量积求出两个向量的夹角的余弦值；
③根据两异面直线所成角的范围得到结果．
注意：两向量的夹角不一定就是两异面直线所成的角．
10. 设长方体的长、宽、高分别为
，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
-- 4 -


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A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】依题意可得，该球是长方体的外接球，其直径等于长方体的体对角线
，所以该球的表面积
，故选 B
11. 设 是橢圆
的左、右焦点， 为直线 上一点，
角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】试题分析：如下图所示，
是底角为 的等腰三角形，则有
是底
所以
，所以
又因为
，所以，
所以答案选 C.
，所以
考点：椭圆的简单几何性质. 视频
12. 为坐标原点， 为抛物线 面积为（ ） -- 5 -
的焦点， 为 上一点，若
，则 的


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A. 2 B.
C.
D. 4
【答案】C
【解析】试题分析：∵抛物线 C 的方程为
∴
，可得 ，得焦点
设 P（m，n），根据抛物线的定义，得|PF|=m+ = ，即
，解得
∵点 P 在抛物线 C 上，得
∴
∵|OF|=
∴△POF 的面积为
考点：抛物线的简单性质
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 命题“存在实数 ，使 ”的否定是__________．
【答案】任意实数
【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：
对任意的 ，都有
考点：特称命题与全称命题
14. 已知
，则
__________．
【答案】
【解析】因为
，
所以
,
所以
．
答案：
15. 已知空间三点
__________．
【答案】
或
【解析】由题意得
设
，
，若
，且分别与
垂直，则向量
，
则
，解得
或
．
所以
或
．
-- 6 -


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答案：
或
16. 若椭圆
过抛物线
的焦点，且与双曲线
圆的方程为__________．
【答案】
有相同的焦点，则该椭
【解析】因为椭圆过抛物线焦点为(2,0),并且焦点为
所以 a=2,
.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知直线的倾斜角为 且经过点 . （1）求直线的方程；
(2)求点
关于直线的对称点 的坐标.
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】试题分析：
（1）先求得直线的斜率，再用点斜式可得直线的方程．（2）设出点 的坐标 ，根据直
线垂直平分线段 得到关于 的方程组，解方程组得到 的值后可得点的坐标．
试题解析：
（1）由题意得直线的斜率为
，
∴直线的方程为
，
即
.
（2）设点
，
由题意得
解得
．
∴点 的坐标为
.
-- 7 -


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18. 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线
的一个焦点， 抛物线与双曲线
交点为
，求抛物线方程和双曲线方程.
【答案】抛物线方程为
；双曲线方程为
【解析】试题分析：
由题意可设抛物线的方程为
，由点
. 在抛物线上可得 ，故抛物线方程
为
．根据双曲线的焦点在抛物线的准线上可得 ，从而
．再由点在双曲
线上可得
，由两式可得
，故可得双曲线的方程．
试题解析：
依题意设抛物线方程为
，
∵点 在抛物线上，
∴
，
解得 ，
∴所求抛物线方程为
.
故抛物线的准线方程为
，
∵双曲线左焦点在抛物线的准线上，
∴，
故
，
又点 在双曲线上，
∴
，
由
解得
.
∴所求双曲线方程为
.
19. 如图，在梯形
中，
-- 8 -
， 平面
，
.


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（1）证明： 平面 ；
（2）若 为 的中点，求证： 平面 .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先证
，结合
，利用线面垂直的判定定理证明
平面 ；（2）先证
为等腰直角三角形，结合 为 中点，得到
，根据
得
，利用线面平行的判定定理证明 平面 .
试题解析：（1）证明：∵ 平面
，
平面
，∴
又∵
，
而
，所以 面
20. 已知圆
，直线
.
（1）求证：对任意 ，直线与圆 总有两个不同的交点；
（2）设与圆 交于 两点，若
，求的倾斜角.
【答案】(1)证明见解析；(2) 或 .
【解析】试题分析：
（1）先证明直线恒过定点 ，再证明点 P 在圆 内即可．（2）将直线方程与圆方程联立
消元后得到一个二次方程，运用根据系数的关系及弦长公式求得
，进而得到直线的
倾斜角为 或 .
试题解析：
（1）证明：直线
，
令
，解得
．
∴直线恒过定点 ．
∵
，
-- 9 -


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∴点 在圆 内， ∴直线与圆 总有两个不同的交点.
（2）由
消去 整理得
，
显然
．
设
，
是一元二次方程的两个实根，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
∴
，即直线的斜率为
∴直线的倾斜角为 或 .
点睛：圆的弦长的求法
(1)几何法：设圆的半径为，弦心距为 ，弦长为 l，则
．
(2)代数法：设直线与圆相交于
两点，由方程组
消y后
得到关于 x 的一元二次方程，从而求得
，则弦长为
(k 为直线斜率)．在代数法中，由于涉及到大量的计算，所 以在解题中要注意计算的准确性，同时也要注意整体代换的运用，以减少运算量．
21. 如图， 分别是椭圆
的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是
直线 与椭圆 的另一个交点，
.
-- 10 -


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（1）求椭圆 的离心率；
（2）已知
的面积为
，求 的值.
【答案】(1) ；(2)
.
【解析】试题分析：（1）由题意知
为等边三角形，从而得到 的关系式，进而求得
离心率；（2）首先根据椭圆的性质得到 的关系式，然后设出直线 的方程，并代入椭圆 方程得到 点坐标，从而求得 ，再根据三角形面积公式求得 的值，进而求得椭圆的方
程；别解：设
，然后利用椭圆的定义表示出 的长，再利用余弦定理得到 的关
系式，从而根据三角形面积公式求得 的值，进而求得椭圆的方程. 试题解析：
（1）由题意可知，
为等边三角形， ，所以 .
（2）（ 方法一）
，
.
直线 的方程可为
．
将其代入椭圆方程
，得
所以
由
，
解得 ，
，
（方法二）设 由椭圆定义 再由余弦定理 -- 11 -
. 因为
，所以
．
可知，
．
可得， ．


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由
知， ，
，
考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．
22. 三棱锥
中，侧面 与底面 垂直，
.
（1）求证：
；
（2）设
，求 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)30°.
【解析】试题分析：
（1）取 中点 ，连结
，可得
，根据侧面 与底面 垂直可证得
平面 ，再由
，得
，从而可得
．（2）以 为原点建立
空间直角坐标系，求出直线 的方向向量和平面 的法向量，用两向量的坐标表示出直
线和平面所成角的正弦值，从而得到线面角的大小．
试题解析：
（1）证明：取 中点 ，连结
.
∵
,
∴
.
又已知知平面
平面 ，平面
平面
，
∴ 平面 , 为垂足.
∵
，
∴
.
∴为
的外接圆直径，
∴
.
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（2）解：以 为原点，
的方向分别为 轴、 轴、轴的正方向建立如图所示的空
间直角坐标系
，
则
，
∴
.
设
为平面 的一个法向量，
由
，得
，
令 ，则 设直线 与平面
. 所成的角为，
则
，
∵
，
∴
，
∴ 与平面 所成的角为 .
点睛：利用向量法求线面角的方法： （1）分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或 其补角)； （2）通过平面的法向量来求，即若直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 ，则直
线 l 与平面 α 所成角 θ 满足
，其中
．解题时注意 θ 与
的
不同．
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。