安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第17讲数列概念及等差数列教案

数列概念及等差数列
点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。

2．等差数列
（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或
1(1)n n a a d n +-=≥。

（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

（3）等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中
2a b A +=
a ，A ，
b 成等差数列⇔2
a b
A +=。

（4）等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+。

二．典例分析
(2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )
A ．a n ＝1
B ．a n ＝－n
＋1
2 C ．a n ＝2－⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2
D ．a n ＝
－
n －1
＋32
由a n ＝2－⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
sin
n π2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，….
C
若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________． 答案：
a n ＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
n 为奇数，n 为偶数
⎝
⎛⎭
⎪⎫
或a n ＝1＋－
n
2或a n ＝1＋cos n π2
由题悟法
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n
或(－1)
n ＋1
来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
以题试法
1．写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；
(2)12，34，78，1516，31
32，…； (3)3,33,333,3 333，…； (4)－1，32，－13，34，－15，3
6
，….
解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24
，…，所以a n ＝2n
－1
2
n .
(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,10
2
－1,103
－1,104
－1，….
所以a n ＝13
(10n
－1)．
(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n
；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇
数项为2－1，偶数项为2＋1，
所以a n ＝(－1)n
·
2＋－
n
n
，也可写为
a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－1
n ，n 为正奇数，3
n ，n 为正偶数.
由a n 与S n 的关系求通项a n
典题导入
已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1)S n ＝2n 2
＋3n ；(2)S n ＝3n
＋1.
(1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12
＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2
＋3n )－＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.
当n ＝1时，2×3
1－1
＝2≠a 1，
故a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4， n ＝1，2×3n －1
， n ≥2.
由题悟法
已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；
(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当
n ≥2时a n 的表达式；
(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．
以题试法
2．(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n
n ＋1，则1
a 5
＝( ) A.56 B.6
5 C.1
30
D ．30
解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝
n
n ＋1－n －1n ＝1
n
n ＋，则a 5＝15×6＝1
30
.
数列的性质
典题导入
已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？
(1)因为a n ＝n 2
－21n ＋20＝⎝
⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因
n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.
(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2
－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．
在本例条件下，设b n ＝a n
n
，则n 为何值时，b n 取得最小值？并求出最小值．
解：b n ＝a n n ＝n 2－21n ＋20n ＝n ＋20
n
－21，
令f (x )＝x ＋20x －21(x >0)，则f ′(x )＝1－20
x
2，由f ′(x )＝0解得x ＝25或x ＝－
25(舍)．而4<25<5，故当n ≤4时，数列{b n }单调递减；当n ≥5时，数列{b n }单调递增．而b 4＝4＋204－21＝－12，b 5＝5＋20
5－21＝－12，所以当n ＝4或n ＝5时，b n 取得
最小值，最小值为－12.
由题悟法
1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．
2．前n 项和最值的求法
(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，则
S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
以题试法
3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝n n 2
＋90
，则数列{a n }中的最大值是
( )
A ．310
B ．19 C.1
19
D.1060
解析：选C a n ＝1n ＋
90n
，由基本不等式得，
1
n ＋
90n
≤1290，由于n ∈N *
，易知当n ＝9或10时，a n ＝1
19
最大．
在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n
＋3(n ≥2，且n ∈N *
)． (1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝
a n ＋3
2
n
(n ∈N *
)，证明：{b n }是等差数列．
(1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n
＋3(n ≥2，且n ∈N *
)，∴a 2＝2a 1＋22
＋3＝1，a 3＝2a 2
＋23
＋3＝13.
(2)证明：对于任意n ∈N *
， ∵b n ＋1－b n ＝
a n ＋1＋32
n ＋1
－
a n ＋3
2n
＝
12
n ＋1
＝1
2
n ＋1＝1， ∴数列{b n }是首项为
a 1＋32
＝
－3＋3
2
＝0，公差为1的等差数列． 由题悟法
1．证明{a n }为等差数列的方法：
(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2
＋Bn 或S n ＝
n a 1＋a n
2
.
2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．
以题试法
1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；
(2)证明：数列{a n }是等差数列． 解：(1)设S n ＝An 2
＋Bn ＋C (A ≠0)，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，
解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2
－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2
－4n －＝4n －6. ∴a n ＝4n －6(n ∈N *
)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列.
等差数列的基本运算
典题导入
(2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知
⎩⎪⎨⎪⎧
2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，d ＝2.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝
n a 1＋a n
2
＝
n
＋2n
2
＝n (n ＋1)． 因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2
k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2
＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2
－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.
由题悟法
1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝
n a 1＋a n
2
＝na 1＋
n n －
2
d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方
程的思想．
2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
以题试法
2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10， S 5＝5，则S 8＝________.
(2)(2012·江西联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3
9
＝1，则公差为
________．
解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.
解方程组得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－5，d ＝3.
则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44.
(2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d
12－
3a 1＋3d
9
＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案：(1)44 (2)6
等差数列的性质
典题导入
(1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( ) A ．66 B ．99 C ．144
D ．297
(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12
＋a 13＋a 14＝( )
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
(1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3
＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.
所以S 9＝
a 1＋a 9
2
＝
a 4＋a 6
2
＝99.
(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝1
4
，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.
(1)B (2)A
由题悟法
1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的
⎨
22－k＋，
⎩⎪
11。