2021年高考数学 10.9 离散型随机变量的均值与方差练习

2021年高考数学 10.9 离散型随机变量的均值与方差练习
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(xx·聊城模拟)已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望E(X)=( )
【解析】选B.依题意得:.
E(X)=(-1)×.
【加固训练】(xx·嘉峪关模拟)签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为()
A.5
B.5.25
C.5.8
D.4.6
【解析】选B.由题意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)=,P(X=4)= ,P(X=5)= ,P(X=6)= .由数学期望的定义可求得E(X)=5.25.
2.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,则D(3ξ+5)=()
A.6
B.9
C.3
D.4
【解析】选A.由E(ξ)=(1+2+3)=2,得D(ξ)=,
D(3ξ+5)=32×D(ξ)=6.
3.(xx·枣庄模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=()
【解题提示】由题意知,X～B,由E(X)=5×=3,知X～B,由此能求出D(X).
【解析】选B.由题意知,X～B,所以E(X)=5×=3,解得m=2,所以
X～B,所以D(X)=.
4.(xx·贵阳模拟)一份数学试卷由25个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有1个选项是正确的,每题选正确得4分,不选或选错得0分,满分100分,小强选对任一题的概率为0.8,则他在这次考试中得分的期望为()
A.60分
B.70分
C.80分
D.90分
【解析】选C.设小强做对题数为ξ,则ξ～B(25,0.8),则他得分为
4ξ,E(4ξ)=4E(ξ)=4×25×0.8=80.
5.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是()
【解析】选C.由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=
(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,
则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,
解得p>或p<,又由p∈(0,1),可得p∈.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=p,令随机变量X=则X的方差D(X)等于.
【解析】X服从两点分布,故D(X)=p(1-p).
答案:p(1-p)
7.已知X的分布列
则下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;
③P(X=0)=,正确的个数是.
【解析】由E(X)=(-1)×,故①正确.
由D(X)=,知②不正确.由分
布列知③正确.
答案:2
8.(xx·上海模拟)已知随机变量ξ所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为p1,p2,p1,若随机变量ξ的方差D(ξ)=,则p1+p2的值是.
【解题提示】由分布列的性质可得2p1+p2=1,由数学期望的计算公式可得E(ξ)的值,由方差的计算公式可得D(ξ),进而即可解得p1,p2.
【解析】由分布列的性质可得2p1+p2=1,(*)
由数学期望的计算公式可得E(ξ)=1×p1+2×p2+3×p1=2(2p1+p2)=2.
由方差的计算公式可得D(ξ)=(1-2)2p1+(2-2)2p2+(3-2)2p1=2p1=,解得p1=,
把p1=代入(*)得2×+p2=1.解得p2=,
所以p1+p2=+=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.美国NBA总决赛采用七局四胜制,赛前预计参加决赛的两队实力相当,且每场比赛组织者可获得200万美元,问:
(1)比赛只打4场的概率是多少?
(2)组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元的概率是多少?
(3)组织者在本次比赛中获利的期望是多少?
【解析】(1)依题意,某队以4∶0获胜,其概率为.
(2)组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元,则两队至少打6场比赛,分两种情况:
①只打6场,则比赛结果应是某队以4∶2获得胜利,其概率为P1=××,②打7场,则比赛结果应是某队以4∶3获得胜利,其概率为P2=×,由于两种情况互斥,所以P=P1+P2=,
所以获利不低于1200万美元的概率为.
(3)设组织者在本次比赛中获利ξ万美元,则ξ的分布列为
=1162.5(万美元).
因此组织者在本次比赛中获利的期望是1162.5万美元.
10.(xx·永州模拟)抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币,它们正面向上的概率如表所示(0<a<1):
将这三枚纪念币同时抛掷一次,设ξ表示出现正面向上的纪念币的个数.
(1)求ξ的分布列及数学期望.
(2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求a的最大值.
【解析】(1)由题意知ξ个正面向上,3-ξ个背面向上.
ξ的可能取值为0,1,2,3.
所以ξ的分布列为
所以ξ的数学期望为E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×
(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a),
P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=,
P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.
即a的取值范围是,即a的最大值为.
(20分钟40分)
1.(5分)(xx·湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中,现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为()
【解析】选C.已知每一位学生打开柜门的概率为,所以打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×+2×+…+n×=.
2.(5分)(xx·杭州模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为()
【解析】选B.依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=
3.(5分)(xx·开封模拟)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表:
请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=.
【解析】设P(ξ=1)=x,则P(ξ=3)=x,
由分布列性质,所以P(ξ=2)=1-2x,
因此E(ξ)=1·x+2·(1-2x)+3·x=2.
答案:2
【加固训练】某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则D(X)=.
【解析】由题意知,
答案:
4.(12分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:
将频率视为概率,解答下列问题:
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率.
(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.
【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=.
(2)依题意得,X1的分布列为
X2的分布列为
(3)由(2)得E(X1)=
=2.86(万元),
E(X2)=1.8×=2.79(万元).
因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.
5.(13分)(能力挑战题)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中,随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).
(1)从这15天的数据中任取3天的数据,记ξ表示空气质量达到一级的天数,求ξ的分布列.
(2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到一级.
【解析】(1)由题意知N=15,M=6,n=3,
ξ的可能取值为0,1,2,3,
其分布列为P(ξ=k)= (k=0,1,2,3),
所以P(ξ=0)=
所以ξ的分布列是:
(2)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为
一年中空气质量达到一级的天数为η,
则η～B,
所以E(η)=360×=144,
所以一年中空气质量达到一级的天数为144天.32070 7D46 絆
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